二次根式与因式分解

2021中考数学--因式分解
考点、因式分解
1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2、因式分解的常用方法
〔1〕提公因式法：)(c b a ac ab +=+
〔2〕运用公式法：))((22b a b a b a -+=-， 222)(2b a b ab a +=++， 222)(2b a b ab a -=+- 〔3〕分组分解法：))(()()(d c b a d c b d c a bd bc ad ac ++=+++=+++ 〔4〕十字相乘法：))(()(2q a p a pq a q p a ++=+++
3、因式分解的一般步骤：
〔1〕如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

〔2〕在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
〔3〕分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

提公因式法
〔2021，9，4〕分解因式：269mn mn m ++=． 〔2021市，13， 3分〕分解因式a 2
－8a 。

〔2021省市，5，4分〕把2
4a a -多项式分解因式，结果正确的选项是〔 〕 A. ()4a a - B. (2)(2)a a +- C. (2)(2)a a a +- D.2(2)4a -- 〔株洲市3,9〕因式分解：2
2a a -= . 〔2021，1l ，4分〕分解因式：25x x -=________．
〔2021随州，11,4分〕分解因式：2
49x -=______________________。

〔2021，10，3分〕因式分解：mn m -2
=.
(2021，9，4分)分解因式：2x 2
﹣10x=．
(2021，12，3分)假设a=2，a+b=3，那么a 2
+ab=． 〔2021，15，3分〕分解因式ab a -2
=.
〔2021，9，3分〕因式分解：=-a a 22．
公式法
1. 2484554+-+
2. 233232
6--
3. 21
4
181
22
-+- 4. 3)154276485(÷+-
5.：
的值。

求代数式22,211881-+-
+++-+-=x y
y x x y
y x x x y
6.))((36163--⋅-；
7. 633
1
2⋅⋅
；
8. )(102
132531
-⋅⋅； 9. z y x 10010101⋅⋅-．
12. 521312321
⨯÷； 13. )(b
a b b a 1223÷⋅．
14. 2712135272
2-； 15. b
a c abc 4322-．
16. ：24
20-=x ，求221x
x +的值．
〔2021，11，4分，〕分解因式：x 2
-16=.
〔2021，4，4分〕下面的多项式中，能因式分解的是〔〕
A.n m +2
B. 12+-m m
C. n m -2
D.122
+-m m
〔2021，11，4分，〕分解因式：x 2
-16=. 〔2021，10，3分〕分解因式：a 2
-4b 2
=. 〔2021市，15,3分〕分解因式：a 2-6a +9=．
( 2021年省市,11,3)因式分解：x 2
-9=__________.
综合法
〔20214分，12题〕分解因式：2x 2
-8=________. (2021省市，15，3分〕分解因式=+296-a ab ab .
(2021省市，12，4分) 分解因式：2
412x x --=________________________. 〔2021省市，3，3′〕分解因式2(1)2(1)1x x ---+的结果是〔 〕 A ．(1)(2)x x -- B 2
x ． C ．2(1)x + D ．2
(2)x -
〔2021省，11，5分〕因式分解：a 3
－a =▲.
17.()1()2
()(()
30,0a b -≥≥())40,0a
b
()5()6⎛÷ ⎝
18. 化简：
())10,0a b ≥≥()2
()3a
19.. 把根号外的因式移到根号：
()1.-()(2.1x -
20.
21.. (231⎛
++ ⎝
〔2021江，13，5分〕分解因式：ab 3
－4ab ＝. (2021省市，15，3分〕分解因式=+296-a ab ab .
(2021省市，12，4分) 分解因式：2
412x x --=________________________. 〔2021，21，3分〕因式分解：3
269x x x -+=。

〔2021，10，4分〕写出一个在实数围能用平方差公式分解因式的多项式：．
(2021六盘水，12，4分)分解因式：2x 2
+4x+2=▲. 〔202112，3分〕分解因式：3223
-2+=x y x y xy ．
〔2021,13，3分〕13．因式分解：－m 2
＋n 2
＝___________。

〔2021市 13 ，3分〕分解因式：a ab -=3
2。

〔2021，9，3分〕分解因式：3m 2-6mn+3n 2
= 〔2021东营，14，4分〕分解因式：x x 93-=．
(2021黔西南州，19，3分)分解因式：a 4
－16a 2
=__________． 〔2021·省市·9题·3分〕因式分解：8a 2-2=________. 〔2021，，13，3分〕分解因式：a 3
b -ab =________．
(2021中考试题第11题，3分)分解因式3a 2
-12=_____________________． 〔2021省市，12，3分〕分解因式：a 2
+2a +1 =．
〔2021，黔东南州，12〕分解因式3
4x x -= 〔2021黄冈，10，3〕分解因式x 3
-9x=__________.
〔2021，13，3分〕P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，当x ≠0时，3P-2Q=7恒成立，那么y 的值为 考点、二次根式
1、二次根式：式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“
〞；被开方数a 必
须是非负数。

2、最简二次根式
假设二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
〔1〕如果被开方数是分数〔包括小数〕或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进展化简。

〔2〕如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。

3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数一样，这几个二次根式叫做同类二次根式。

4、二次根式的性质 〔1〕)0()(2≥=a a a
)0(≥a a
〔2〕==a a 2
)0(<-a a
〔3〕)0,0(≥≥•=
b a b a ab 〔4〕
)0,0(≥≥=b a b
a
b a 5、二次根式混合运算：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有
括号的先算括号里的〔或先去括号〕。

2021中考全国试卷分类汇编
二次根式
1、实数0.5的算术平方根等于〔 〕.
A.2
B.2
C.
22 D.2
1
2、〔2-3二次根式·2021东营中考〕16的算术平方根是〔 〕 A. 4± B. 4
C. 2±
D. 2
3、〔2021•〕以下运算正确的选项是〔 〕
A ． x 6+x 2=x 3
B ．
C ． 〔x+2y 〕2=x 2+2xy+4y 2
D ．
4、计算1
489
3
-的结果是 (A)3-. (B)3.
(C)11
33
-
. (D)
11
33
. 5、式子1-x 在实数围有意义，那么x 的取值围是〔 〕 A ．x <1 B ．x ≥1 C ．x ≤－1 D ．x <－1 6、〔2021凉山州〕如果代数式
有意义，那么x 的取值围是〔 〕
A ．x ≥0
B ．x ≠1
C ．x ＞0
D ．x ≥0且x ≠1 7、〔2021•资阳〕16的平方根是〔 〕 A ． 4 B ． ±4 C ． 8 D ． ±8
8、〔2021〕要使式子
有意义，那么x 的取值围是〔 〕
A ．x ＞0
B ．x ≥﹣2
C ．x ≥2
D ．x ≤2． 9、〔2021•〕以下计算正确的选项是〔 〕
A ． 4
B ．
C ． 2
=
D ． 3
10、〔2021•〕假设式子在实数围有意义，那么x 的取值围是〔 〕 A ． x ＞1
B ． x ＜1
C ． x ≥1
D ． x ≤1
11、〔2021•〕式子有意义的x 的取值围是〔 〕 A ． x ≥﹣且x ≠1
B ． x ≠1
C ．
D ．
12、〔2021•〕以下运算正确的选项是〔 〕 A ． 3a ﹣2a=1 B ． x 8﹣x 4=x 2
C ．
D ． ﹣〔2x 2y 〕3=﹣8x 6y 3
13、〔2021•〕假设式子
在实数围有意义，那么x 的取值围是〔 〕
A ． x=1
B ． x ≥1
C ． x ＞1
D ． x ＜1 14、〔2021•〕以下运算正确的选项是〔 〕 A ． 5﹣1= B ． x 2•x 3=x 6
C ． 〔a+b 〕2=a 2+b 2
D ．
=
15、〔2021•〕以下各式计算正确的选项是〔 〕
A ． 3a 3+2a 2=5a 6
B ．
C ． a 4•a 2=a 8
D ． 〔ab 2〕3=ab 6
16、〔2021年市〕假设代数式
1
x
x -有意义，那么实数x 的取值围是〔 〕 A 1x ≠ B 0x ≥ C 0x > D 01x x ≥≠且 18、〔2021•〕求9的平方根的值为． 20、〔2021•〕假设整数x 满足|x|≤3，那么使
为整数的x 的值是 ﹣2 〔只需填一个〕．
21、〔德阳市2021年〕假设2231210a a b b -++-+=，那么2
21
||a b a
+-＝＿＿＿＿＿
22、(2021年)计算 3
2
-
1
2
的结果是。

23、〔2021•〕二次根式中，x 的取值围是 x ≥3 ． 24、〔2021〕化简：
〔
﹣
〕﹣
﹣|
﹣3|=．
25、〔2021•〕假设式子在实数围有意义，那么x 的取值围是．
26、〔2021•〕计算：
=．
27、〔2021〕计算：3
272
-
= ． 28、〔2021•黔东南州〕使根式
有意义的x 的取值围是．
29、〔2021•六盘水〕无论x 取任何实数，代数式都有意义，那么m 的取值围为 m ≥9 ．
30、〔2021•〕化简：
=．
31、〔2021•〕假设二次根式
有意义，那么x 的取值围是．
32、(2021年省4分、12)假设实数a 、b 满足042=-++b a ，那么=b
a 2________.
33、〔2021、3〕k 、m 、n 为三整数，假设=k ，=15，=6，那么以下有关于k 、
m 、n 的大小关系，何者正确？〔 〕
A ．k ＜m=n
B ．m=n ＜k
C ．m ＜n ＜k
D ．m ＜k ＜n 填空题
1.分解因式：x 2
－9y 2
＋2x －6y=. 2.化简：
221
93
m m m -=-+ ．
3.分解因式：2
242x x -+=． 4.假设单项式22m
x y 与3
13
n x y -
是同类项，那么m n +的值是． 5.分解因式：=-a ax 42
6.分解因式：4x 2
－4＝． 7.分解因式：2mn m -= 8.分解因式：3a a - =. 三、解答题
1.先化简再求值：4
2
222222y 1x )xy 1)(xy 1(y xy 2x y 2xy x ÷
-+--+--+，其中x=23+，y=23-
2.先化简，再求值：〔2
x x
2x x +-
-〕÷2x x 4-，其中x=2005
3.先化简代数式⎪⎭
⎫
⎝⎛-++222a a a
÷412-a ，然后选取一个适宜．．的a 值，代入求值．
4.先化简分式22222936931
a a a a a a a a a ---÷-+++-，然后在0，1，2，3中选一个你认为合
适的a 值，代入求值．
5.，x =2021 ，y =2021 ，求代数式22x y xy y x x x ⎛⎫
--÷- ⎪⎝⎭
的值．
27. a b
a b ⎛⎫+--
28. ：
x y ==3243223
2x xy x y x y x y -++的值。

- .. - -可修编.
29.
：1
1a a +=+221
a a +的值。

30. ：,x y
为实数，且13y x -+
，化简：3y -。