6运输问题

min f ( x ) wij xij
i 1 j 1
m n
max g (u, v ) ai ui b j v j
i 1 j 1
m
n
n 1 xij ai i 1,2,, m j m xij b j j 1,2,, n i 1 xij 0
4
2 运输问题的求解方法
• • • • 约束条件非常有规律，技术系数非 0 即 1 基变量的个数远小于决策变量的个数 采用表上作业法，称为位势法和踏石法 运算中涉及两个表：运费表和产销平衡表(分配表)
1 2 n
销地 运费 产地 1 2 m
w 11 w 12 w 21 w 22 wm1 wm2
w 1n w 2n wmn
5
2.1 寻找初始可行解的方法
1、西北角法 – 从 x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配
– xij 的分配公式
( ai i 行已分配的总量 ) i 行尚余物资量 xij min (b j j 列已分配的总量 ) j 列待分物资量
16
3.3.3 关于退化问题
1、初始解退化。即所求初始基变量的个数少于 m+n1。必须 补足基变量的个数，否则不能正常解出 m+n个 ui 和 vj
– 所补基变量的值为 0 ，补充的原则：(1)尽量先选运费小的实变量； (2)补充后不能有某个基变量独占一行一列（必要但不充分）
15
3 关于退化问题
2、迭代过程中出现退化
5 10 12 15 12 12
编号 II
分配表{x ij }
20 11 3 5 9 10 18 7 (4)
运费表{w ij }
6 2 1 3 3
5 10 x 33 12 15 12 12
5 5 4 10 3 12 15 12 12
f(x)=121，比 西北角法低 84
8
5
编号 III
分配表{x ij }
运费表和产销平衡表分配表销地运费12?n产地1w11w12w21w22???w1nw2n2????mwm1wm2?wmn621寻找初始可行解的方法1西北角法从x11开始分配从西北向东南方向逐个分配xij的分配公式?????列待分物资量列已分配的总量行尚余物资量j行已分配的总量jminbiiaxjiij例321销地产量ai运费1234产地1232051831197336215104121015销量bj127销地销地销地销地销地销地销地产量aiaiaiaiaiaiai运量运量运量运量运量运量运量1111111222222233333334444444产地产地产地产地产地产地产地12333333355555551015151515151515销量bj销量bj销量bj销量bj销量bj销量bj销量bj333333333333331212121212121212121212121212例1西北角法产量产量产量产量产量产量1222222333333x122x221111101010101010111112222x239x333399x33121i34120567jijijxwxfnm个基变量有82最低费用法最小元素法?采用最小费用优先分配的原则看一步编号运费表wij1197分配表xij205183104621x135i101512123312编号运费表wij1197分配表xij20518362155ii1041015x3312121233编号运费表wij119107分配表xij2051836215435iii331015412123312fx121比西北角法低8493运费差额法采用最大差额费用即利用每行或列中最小费用与次最小之间的差额中选最大优先分配的原则看两步?编号运费表wij11972运费表wij11972运费表wij11974运费表wij1197分配表xij2051813362113335i104131015331212fx98比最低费用法又低了23编号分配表xij2051813362113735ii1041371015331212编号分配表xij2051813362153735iii10413751015331212编号分配表xij20518133621587355iv1043751015337312121022利用位势法检验分配方案是否最优?不采用单纯型法如何获得xij的检验数?找到原问题的基础可行解保持互补松弛条件
最优化理论与算法
帅天平
北京邮电大学数学系 Email:tpshuai@, Tel:62281308, Rm:主楼814 §6， 运输问题
1 运输问题的一般数学模型
• 有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资 • 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各销 地的销量，ai=bj 称为产销平衡 • 设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，wij表示对应的单 位运费，则我们有运输问题的数学模型如下：
例3.2.1
销地 1 运费 产地 1 2 3 销量 bj
产量 2 3 4
ai4 1 15 3 3 12 12
6
例1 西北角法
销地 运量
产量 1 2 3 4
ai
产地 1 2 3 销量 b j
mn 7
3
3
x2 5 12 x1 x9 10 22 23 x3 x 33 15 33 12 3 12 12
ui
分配表 {xij }
5 5 4 x 24 10 3 + 12 15 12 12
OBJ=121
OBJ=101
3 / 20 6 / 11
3 4 4
0/6
III vj
5
4 / 18
8 / 9 5 / 10
答：最优解如上分配表，OBJ=98
4
7 7
2 1 1
1 1 3 0 3
分 配表 {xij }
3 10 4 1
3 10 4 1
6 2 1 1
6 2 1 1
3 3 3
3 7 3
3 3
3 3 3 12
分配表{x ij }
5 10 15 3 12 12
7 12 5 10 15
分配表{x ij }
编号 II
运费表{w ij }
编号 III
运费表{w ij }
20 5 18 13
11 9 7 4
3 10 4 1
3
1 运输问题的基本性质
销地 运费 产地 1 2 m
1
2

n
w 11 w 12 w 21 w 22 wm1 wm2
w 1n w 2n wmn
• 定义5.1.1：上表中变量序列{xij}称为闭回路，若序 列{xij}由互不相同的变量组成，且沿水平或垂直方 向延伸，每个变量所在的行与列均恰好有该序列 中二个变量（不在序列中变量除外）。
u1 , u2 , v1 , v2 , v3 不 限
位势法的原理
• 为满足互补松弛条件，原问题中xij被选为基变量，即xij0， 则要求对偶问题中ui+vj=wij，即该行的松弛变量为0 • 共有m+n1个基变量xij ，因此可得m+n1个等式 ui+vj=wij • m+n1个等式只能解出 m+n1个 ui 和 vj ，而一共有m+n个 ui 和 vj ，但可令任一个ui 或 vj =0，从而解出其它 m+n1个 的值；这就是位势法 • 令 zij= ui + vj ，其相当原问题xij的机会费用 • 若对所有非基变量有 zij wij 0，即 ui + vj wij，表明当前ui 和 vj 是对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前 m+n1个基变量xij 是最优解，否则 • 从 zij wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
3、求入变量 xi*j* 的最大值及新基变量的解
– 从 xij出发，沿任一个方向对回路拐角上的基变量依此标“” 和“+”，表示“”和“+” xij ，从而迭代后仍满足分配的平 衡 – 标有“”的变量中最小者就是出变量xi*j* ，对应 xi*j*的值就 是所求入变量 xij 的最大值 – 标有“”的变量减去 xi*j*，标有“+”的变量加上 xi*j*
4、用位势法求新基变量的检验数
– 若所有 zij wij 0，则达到最优，算法停止；否则返回 1
13
例2 踏石法，以最低费用法所得初始解开始
编号 I 运 费表 {z ij / w ij }
-2 / 20 2 / 11
ui
分 配表 {xij }
5
9
-1 / 18 3 / 7
v j 5 1 编号 运费表 { zij / wij }
ui v j wij ui , v j 不限 i 1,2,, m, j 1, 2,, n
10
min w11 x11 w12 x12 w13 x13 w21 x21 w22 x22 w23 x23 a1 x11 x12 x13 x21 x22 x23 a2 x21 b1 x11 x12 x22 b2 x13 x23 b3
20 11 3 6 5 9 (10) 2 18 7 4 1
3 3
3 3
3、运费差额法
• 采用最大差额费用(即利用每行或列中最小费用与次最小之间的差 额中选最大)优先分配的原则，看两步
编号 I 运费表{w ij } 分配表{x ij }
20 5 18 13
20 5 18 13
11 9 7 2
11 9 7 2
u1 u 1 u1 v1 v2 u2 u2 u2 v1 v2
u1 u2 v1 v2 v3
w11 w12 v3 w13 w21 w22 v3 w23
11
max a1 u1 a2 u2 b1v1 b2 v2 b3 v3
f ( x ) wij xij 205
i 1 j 1
7
有6个基变量
3 4
2、最低费用法（最小元素法）
• 采用最小费用优先分配的原则，看一步
编号 I 运费表{w ij } 分配表{x ij }
20 11 (3) 5 9 10 18 7 4
运费表{w ij }
6 2 1 3 3
x 13
min f ( x ) wij xij
i 1 j 1
m n
n i 1,2,, m 产地约束 xij ai j 1 m xij b j j 1,2,, n 销量约束 i 1 xij 0
运输问题有mn个决 策变量，m+n 个约束 条件。由于产销平衡 条件，只有m+n–1个 相互独立，因此，运 输问题的基变量只有 m+n–1 个
2
1 运输问题的基本性质 • 定理5.1.1： 产销平衡的运输问题 必存在最优解。
• 定理5.1.2：运输问题的系数矩阵及其增广矩阵的 秩均为m+n-1
• 定理5.1.3：运输问题的系数矩阵A中任何方子阵 的行列式值为1，-1，或0 • 定理5.1.4：运输问题中的一组变量{xij}对应的列 向量{pij}线性无关当且仅当{xij}不包含闭回路。 • 闭回路定义见后
5 7 3 7 5 3 12 12
5 10 15
14
3 运输问题迭代中的一些具体问题
3.3.1 闭合回路的画法
– 从入变量xij出发，遇到某个基变量则选一个方向拐角，若不能再遇 到其它基变量，则返回上一拐角，换一个方向走，采用深探法 – 闭合回路不一定是矩形
3.3.2 产销不平衡
– 供过于求，即 ai > bj ，增加一个虚收点Dn+1，bn+1= ai - bj , 令 wi,n+1=0, i=1,2,…,m – 供小于求，即 ai < bj ，增加一个虚发点Wm+1，am+1= bj - ai , 令 wm+1,j=0, j=1,2,…,n
3 / 20 7 / 11
3 10 4 0
0/6 7/2
1 3
3 10 4
ui
3 3
3 3
3
5 / 10
0/6
II vj 编号
5 5
9 9
4 / 18 8 / 7
运 费表 { zij / wij }
4 5
2 1 2
5 5 2 0 3 3 4 + 10 x 32 7 8 15 1 3 3 12 12
6 2 1 5
3 7 3
3 3 3 12
分配表{x ij }
7 5 12
5 10 15
编号 IV
运费表{w ij }
20 5 18 13
11 9 7 -
3 10 4 -
6 2 1 5
8 7 3
5 3 3 3 3 7 12 7 5 12
5 10 15
f(x)=98，比 最低费用法 又低了23
9
2.2 利用位势法检验分配方案是否最优 • 不采用单纯型法，如何获得xij的检验数 • 找到原问题的基础可行解，保持互补松弛条件，求出 对应对偶问题的解，若该对偶问题的解非可行，则原 问题的解不是最优解；否则，达到最优解
– 闭合回路中标有“”的基变量同时有多个达到最小 – 变换后，有多个原基变量变为 0，选运费最大者为出变量，其 余保留在新的基础解中 – 退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在 转移。此时，一要耐心，二要正确选择出变量
踏石法迭代中需注意的问题：
1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中 2、不能正确画闭合回路 3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中 多次令某个 ui 或 vj 为 0； 4、在位势法中只能令一个 ui 或 vj 为 0；若不能求出全部 ui 和 vj ，说明基变量未选够数或未选对
12
2.3 踏石法
1、找入变量
– 从 zij wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
2、以 xij 为起点，寻找由原基变量构成的闭合回路
– 该回路只在每个拐角各有一个基变量，中间允许穿越某些基 变量；因此，闭合回路中必有偶数个变量(包括 xij )，且回路中 每行每列只有两个变量