高考数学压轴专题最新备战高考《空间向量与立体几何》易错题汇编附答案解析

高中数学《空间向量与立体几何》期末考知识点
一、选择题
1．以下说法正确的有几个（ ）
①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行； A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】B 【解析】 【分析】
对四个说法逐一分析，由此得出正确的个数. 【详解】
①错误，如空间四边形确定一个三棱锥. ②错误，直线可能和平面相交. ③正确，根据公理二可判断③正确. ④错误，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能异面，也可能平行.综上所述，正确的说法有1个，故选B. 【点睛】
本小题主要考查空间有关命题真假性的判断，属于基础题.
2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )
A ．
132
π
B ．7π
C ．
152
π
D ．8π
【答案】B 【解析】 【分析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可． 【详解】
由题意可知：几何体是一个圆柱与一个1
4
的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2， 可得：该几何体的表面积为：
221
41212274
ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯=．
故选：B ． 【点睛】
思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
3．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）
A ．8(6623)+
B ．6(8823)+
C ．8(632)+
D ．6(8832)+ 【答案】A 【解析】 【分析】
该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可. 【详解】
由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为222+的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为22，则该几何体的表面积为
2116(222)42282322S ⎡=⨯+-⨯+⨯⨯⎢⎣8(623)=+.
故选：A. 【点睛】
本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.
4．《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事，通过讲述已知乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧，认真思考才能让问题迎刃而解的道理，如图2所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为3厘米，瓶底直径为9厘米，瓶口距瓶颈为23厘米，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为332
厘米，现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移
3
厘米，若只有当水位线到达瓶口时乌鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（ ）
A ．2颗
B ．3颗
C ．4颗
D ．5颗
【答案】C 【解析】 【分析】
利用图形中的数据，分别算出石子的体积和空瓶的体积即可. 【详解】
如图，9,3,33AB cm EF GH cm LO cm ====
所以60A ∠=︒，原水位线直径6CD cm =，投入石子后，水位线直径5IJ cm = 则由圆台的体积公式可得石子的体积为：
()2231913324
MN CN IM CN IM cm ππ⋅⋅++⋅= 空瓶的体积为：(
)
22
2
1
3
LN CN EL CN EL EL KL ππ⋅++⋅+⋅⋅
633363993
888
πππ
=
+=
所以需要石子的个数为：()
993
297
83,4
91
913
24
π
π
=∈
所以至少需要4颗石子
故选：C
【点睛】
本题考查的是圆台和圆柱体积的算法，掌握其公式是解题的关键.
5．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（）
A．
2
3
B．
1
3
C．
1
2
D．
3
4
【答案】B
【解析】
分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.
详解：几何体如图S-ABCD，高为1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于2
11
11=
33
⨯⨯，
选B.
点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断求解.
6．在以下命题中：
①三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r ，c r
共面；
②若两个非零向量a r ，b r 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a r ，b r
共线；
③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若222OP OA OB OC =--u u u r u u u r u u u u r u u u u r
，则P ，
A ，
B ，
C 四点共面
④若a r ，b r
是两个不共线的向量，且(,,,0)c a b R λμλμλμ=+∈≠r r r ，则{},,a b c r r r 构成空
间的一个基底
⑤若{}
,,a b c r r r 为空间的一个基底，则{}
,,a b b c c a +++r r r r r r
构成空间的另一个基底；
其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
根据空间向量的运算法则，逐一判断即可得到结论. 【详解】
①由空间基底的定义知，三个非零向量a r ，b r ，c r 不能构成空间的一个基底，则a r ，b r
，c r
共面，故①正确；
②由空间基底的定义知，若两个非零向量a r ，b r
与任何一个向量都不能构成空间的一个基
底，则a r ，b r
共线，故②正确；
③由22221--=-≠，根据共面向量定理知,,,P A B C 四点不共面，故③错误；
④由c a b λμ=+r r r ，当1λμ+=时，向量c r 与向量a r ，b r
构成的平面共面，则{}
,,a b c r r r 不
能构成空间的一个基底，故④错误；
⑤利用反证法：若{}
,,a b b c c a +++r r r r r r
不构成空间的一个基底， 设()()(
)1a b x b c x c a +=++-+r r r r r r ，整理得()1c xa x b =+-r r r ，即,,a b c r r r
共面，又因{}
,,a b c r r r 为空间的一个基底，所以{
}
,,a b b c c a +++r r r r r r
能构成空间的一个基底，故⑤正确.
综上：①②⑤正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查空间向量基本运算，向量共面，向量共线等基础知识，以及空间基底的定义，共面向量的定义，属于基础题．
7．已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A ．若m ∥β，则m ∥l B ．若m ∥l ，则m ∥β C ．若m ⊥β，则m ⊥l D ．若m ⊥l ，则m ⊥β
【答案】D 【解析】 【分析】
A 由线面平行的性质定理判断.
B 根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.
C 根据线面垂直的定义判断.
D 根据线面垂直的判定定理判断. 【详解】
A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 故选：D. 【点睛】
本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题.
8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且ABC ∆为等边三角形，2AP AB ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．
272
π B ．
283
π C ．
263
π D ．
252
π 【答案】B 【解析】 【分析】
计算出ABC ∆的外接圆半径r
，利用公式R =可得出外接球的半径，进而可
得出三棱锥P ABC -的外接球的表面积. 【详解】
ABC ∆
的外接圆半径为
32sin
3
AB r π
=
=
，
PA ⊥Q 底面ABC ，所以，三棱锥P ABC -
的外接球半径为
3R ===，
因此，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2
2
2128443R πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
. 故选：B. 【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.
9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点12,P P 分别是线段1,AB BD （不包括端点）上的动点,且线段12PP 平行于平面11A ADD ,则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A ．
1
24
B ．
112
C ．
16
D ．
12
【答案】A 【解析】
由题意在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点12,P P 分别是线段1,AB BD 上的动点，
且线段12PP 平行于平面11121,A
ADD PP B AD B ∆~∆， 设1,(0,1)PB x x =∈，即122
2,PP x P =到平面11AA B B 的距离为x ， 所以四棱锥121PP AB 的体积为2111
(1)1()326
V x x x x =⨯⨯-⨯⨯=-， 当1
2x =
时，体积取得最大值124
，故选A ．
点睛：本题考查了空间几何体的结构特征，及几何体的体积的计算，其中解答中找出所求四面体的底面面积和四面体的高是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于空间几何体的体积与表面积的计算时，要正确把握几何体的结构特征和线面位置关系在解答中的应用．
10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P P 平面1A BM ，则1C P 的最小值是（ ）
A ．305
B ．230
5 C ．
27
5
D ．
47
5
【答案】B 【解析】 【分析】
在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值. 【详解】
如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD
//DN BM Q ，1//DQ A M 且DN DQ D =I ，1BM A M M =I
∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）
又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值
此时，22512CP ==+ 2
21223025C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.
11．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=
1
2
．则下列结论中正确的个数为
①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ；
③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等， A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B 【解析】
试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②E F ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确 考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质
12．如图，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -的底面边长为a ，侧棱长为2a ，则1AC 与侧面11ABB A 所成的角是( )
A ．30°
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
【答案】A 【解析】 【分析】
以C 为原点，在平面ABC 中，过点C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出1AC 与侧面11ABB A 所成的角． 【详解】
解：以C 为原点，在平面ABC 中，过点C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，
则
3
(
a
A，
2
a
，0)，
1
(0
C，0
，2)a，
1
3
(
a
A，
2
a
，2)a，(0
B，a，0)，1
3
(
a
AC=-
u u u u r
，
2
a
-，2)a，3
(
a
AB=-
u u u r
，
2
a
，0)，
1
(0
AA=
u u u r
，0，2)a，
设平面
11
ABB A的法向量(
n x
=
r
，y，)z，
则
1
3
·0
2
·20
a a
n AB x y
n AA az
⎧
=-+=
⎪
⎨
⎪==
⎩
u u u v
v
u u u v
v
，取1
x=，得(1
n=
r
，3，0)，
设
1
AC与侧面
11
ABB A所成的角为θ，
则1
1
1
||31
sin|cos,|
2
||||23
n AC a
n AC
n AC a
θ=<>===
r u u u u r
r u u u u r g
r u u u u r
g
，
30
θ
∴=︒，
1
AC
∴与侧面
11
ABB A所成的角为30°．
故选：A．
【点睛】
本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
13．已知平面α，β和直线1l，2l，且2
αβl=
I，则“
12
l l
P”是“
1
lα
∥且
1
lβ
∥”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
将“12
l l
P”与“
1
lα
∥且
1
lβ
∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.
【详解】
当“12l l P ”时，1l 可能在α或β内，不能推出“1l α∥且1l β∥”.当“1l α∥且1l β∥”时，由于2αβl =I ，故“12l l P ”.所以“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的必要不充分条件. 故选：B.
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.
14．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”.题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示（单位：尺），问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有（取整数）（ ）
A ．441斛
B ．431斛
C ．426斛
D ．412斛
【答案】A
【解析】
【分析】 由三视图可知：上面是一个横放的三棱柱，下面是一个长方体．由体积计算公式即可得出．
【详解】
解：由三视图可知：上面是一个横放的三棱柱，下面是一个长方体．
∴体积1171278127142V =⨯⨯⨯+⨯⨯=，
∴粮仓可以储存的粟米7144411.62
=≈斛．
故选：A ．
15．设三棱锥V ﹣ABC 的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形，VA ⊥底面ABC ，M 是线段BC 上的点（端点除外），记VM 与AB 所成角为α，VM 与底面ABC 所成角为β，二面
角A ﹣VC ﹣B 为γ，则（ ）
A ．2παββγ+＜，＞
B ．2παββγ+＜，＜
C ．2παββγ+＞，＞
D ．2παββγ+＞，＜ 【答案】C
【解析】
【分析】
由最小角定理得αβ>，由已知条件得AB ⊥平面VAC ，过A 作AN VC ⊥，连结BN ，得BNA γ=∠，推导出BVA γ>∠，由VA ⊥平面ABC ，得VMA β=∠，推导出MVA γ>∠，从而2πβγ+>
，即可得解.
【详解】 由三棱锥V ABC -的底面是A 为直角顶点的等腰直角三角形，
VA ⊥平面ABC ，M 是线段BC 上的点（端点除外），
记VM 与AB 所成角为α，VM 与底面ABC 所成角为β，二面角A VC B --为γ， 由最小角定理得αβ>，排除A 和B ；
由已知条件得AB ⊥平面VAC ，
过A 作AN VC ⊥，连结BN ，得BNA γ=∠， ∴tan tan AB BNA AN γ=∠=
， 而tan AB BVA AV
∠=，AN AV <，∴tan tan BNA BVA ∠>∠， ∴BVA γ>∠，
∵VA ⊥平面ABC ，∴VMA β=∠， ∴2MVA πβ+∠=
， ∵tan AM MVA AV
∠=，AB AM >，∴tan tan BVA MVA ∠>∠， ∴MVA γ>∠，∴2πβγ+>
．
故选：C ．
【点睛】
本题查了线线角、线面角、二面角的关系与求解，考查了空间思维能力，属于中档题.
16．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P -ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）
A ．PA ，P
B ，P
C 两两垂直
B ．三棱锥P -AB
C 的体积为83 C ．||||||6PA PB PC ===
D ．三棱锥P -ABC 的侧面积为35
【答案】C
【解析】
【分析】 根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图，然后再计算可得.
【详解】
解：根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图如图所示，
其中D 为AB 的中点，PD ⊥底面ABC .
所以三棱锥P -ABC 的体积为114222323
⨯⨯⨯⨯=，
2AC BC PD ∴===，22
22AB AC BC ∴=+=，||||||2DA DB DC ∴===，()22||||||226,PA PB PC ∴===+=
222
PA PB AB +≠Q ，PA ∴、PB 不可能垂直，
即,PA ,PB PC 不可能两两垂直， 1222222PBA S ∆=⨯⨯=Q ，()22161252
PBC PAC S S ∆∆==⨯-⨯=Q .
∴三棱锥P -ABC 的侧面积为2522+.
故正确的为C.
故选：C.
【点睛】 本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.
17．如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为2、4、6，A 点为长方体的一个顶点，B 点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从A 点到B 点的最短距离为（ ）
A 29
B ．35
C 41
D ．213【答案】C
【解析】
【分析】 由长方体的侧面展开图可得有3种情况如下：①当B 点所在的棱长为2；②当B 点所在的棱长为4；③当B 点所在的棱长为6，分别再求出展开图AB 的距离即可得最短距离. 【详解】
由长方体的侧面展开图可得：
（1）当B 点所在的棱长为2，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为
()
22461101++=()2241661++=()2246165++= （2）当B 点所在的棱长为4，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为()
22226213++=()22262217++=()22262217++= （3）当B 点所在的棱长为6，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为()2223441++=()2224335++=()2
223453++= 综上所述，沿着长方体的表面从A 点到B 41.
故选：C .
【点睛】
本题考查长方体的展开图，考查空间想象与推理能力，属于中等题.
18．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．920π+
B ．926π+
C ．520π+
D ．526π+
【答案】C
【解析】
【分析】 根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积2112141222
S ππ=⨯+
⨯⨯⨯+⨯⨯14224520π+⨯⨯+⨯=+，故选C. 【点睛】
本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
19．在空间中,下列命题为真命题的是( ).
A ．对于直线,,a b c ,若,a c b c ⊥⊥则//a b
B ．对任意直线a ,在平面α中必存在一条直线b 与之垂直
C ．若直线a ,b 与平面α所成的角相等,则a ∥b
D ．若直线a ,b 与平面α所成的角互余,则a ⊥b
【答案】B
【解析】
【分析】
通过空间直线与直线的位置关系判断选项的正误即可。

【详解】
若,a c b c ⊥⊥则a 与b 可能平行，相交，异面，所以，A 假；
若直线在平面内,则在平面内必可作出其垂线，若直线在平面外，作出直线在平面内的射
影，在平面内只要作射影的垂线即可垂直于此直线，B 真；
设当a 、b 与平面α所成的角都为45°，则//a b ，a b ⊥r r
都有可能，C 、D 均为假，故选：B 。

【点睛】
本题考查直线与直线的位置关系的判断与应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，属于中等题。

20．由两个14
圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．π3
B ．π2
C ．π
D ．2π
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知，圆柱的底面半径为1，高为2，利用圆柱的体积公式即可求出结果。

【详解】 由三视图可知圆柱的底面半径为1，高为2，
则21122
V ππ=
⋅⨯=， 故答案选C 。

【点睛】 本题主要考查根据几何体的三视图求体积问题，考查学生的空间想象能力。