2011届高三数学第二次模拟考试 文

揭阳市2011年高中毕业班第二次高考模拟考
数学(文科)
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题将答案代号填在答题卡的选择题答案栏中，不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：
锥体的体积公式：1
3
V Sh =
,其中S 表示底面积，h 表示高． 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{|11,}M x x x Z =-≤≤∈,{0,1,2}N =，则M
N 为
A. {1}
B. {0,1,2}
C. {|01}x x ≤≤
D. {0,1} 2．已知sin x ＝
13，则cos()2
x π
+的值为
A.
13 B.－1
3
C. 3
D.－3
3．已知复数z 满足(1i)2z -=，则||z 为
A ．1i +
B ．1i -
C
D ．2 4．已知奇函数()f x 在R 上单调递增，且1(21)()0.2
f x f -+< 则x 的取值范围为 A.1(,)4-∞ B.1(,)4+∞ C.3(,)4-∞ D.3(,)4
+∞ 5．已知命题p ：x R ∃∈，5cos 4
x =
；命题q ：2
,10x R x x ∀∈-+>.则下列结论正确的是 A ．命题p q ∧是真命题 B ．命题p q ∧⌝是真命题 C ．命题p q ⌝∧是真命题 D ．命题p q ⌝∨⌝是假命题
111ABC A B C -图1
主视图
2
2
4
C 1
B 1
A 1
C
B A
6．如图1，三棱柱 的侧棱长和底面边长均为4，且侧棱 1AA ⊥底面ABC ，其主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则
此三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为
A ．16
B ．23
C ．43
D ．837．已知a ，b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面,下列命题中正确的是 A. //a b ，//b α，则//a α B. a ，b α⊂，//a β，//b β，则//αβ C. a α⊥，//b α，则a b ⊥
D.当a α⊂，且b α⊄时，若b ∥α，则a ∥b
8．在Rt ABC ∆中，0
C=90∠，AC=3，则AB AC ⋅= A ．9- B ．9 C ．16- D ．16 9．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市 居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n 位居民的月均用 水量分别为1,
,n x x (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若
2n =，且1x ，2x 分别为1，2，则输出的结果s 为．
A.1
B.
32 C. 1
4
D.12 10．已知平面区域2
{(,)|}4y x y y x
≥⎧⎪Ω=⎨≤-⎪⎩，直线2y x =+和曲线24y x =-围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，则点A 落在区域M 内的概率()P M 为. A ．
24ππ- B ．24ππ+ C ．22ππ+ D ．2
2ππ
- 二．填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．函数1
()ln(2)
f x x =
- 的定义域为 .
12．双曲线2
9
x －216y =1的离心率e = ；焦点到渐近线的距离为 .
高一级
高二级
高三级
D
E
C
B A
D
C
B
A
P
13．某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如右表示，已知在全校学生中随机抽取1
名，抽到高二级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法（按年级分层）在全校学生中抽取64人，则应在高三级中抽取的学生人数为 .
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题, 两题全答的，只计前一题的得分）
14．（几何证明选做题）如图3，BD ⊥AE ，90C ，AB ＝4, BC ＝2,
AD ＝3,则DE ＝ ；CE ＝ . 图
3
15．(坐标系与参数方程选做题) 设M 、N 分别是曲线2sin 0ρθ+=和2
s ()4
2
in π
ρθ+=
上的动点，则M 与N 的最小距离是 .
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. （本小题满分12分）
在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，△ABC 的面积S 满足
3
cos 2
S bc A =
. （1）求角A 的值； （2）若3a =
B 的大小为,x 用x 表示c ，并求c 的最大值．
17.(本小题满分12分)
已知集合{2,0,2},{1,1}A B =-=-，设M ={(,)x y |x ∈A ,y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(,)x y .
（1）求以(,)x y 为坐标的点落在圆2
2
1x y +=上的概率；
（2）求以(,)x y 为坐标的点位于区域D ：20,20,1x y x y y -+⎧⎪
+-⎨⎪-⎩
≥≤≥内（含边界）的概率.
18．（本小题满分14分）
已知如图4，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为矩形，且PA=AD=1,AB=2,
120PAB ∠=,90PBC ∠=.
女生 385 a
b 男生
375
360
c
(1)求证：平面PAD ⊥平面PAB ；
(2)求三棱锥D －PAC 的体积． 图4
19. （本小题满分14分）
已知数列{}n a 是首项11a =的等差数列，其前ｎ项和为n S ，数列{}n b 是首项12b =的等比数列，且2216b S =,134b b b =． (1) 求n a 和n b ；
(2) 令11c =，221k k c a -=，212k k k c a kb +=+（⋅⋅⋅=,3,2,1k ），求数列{}n c 的前12+n 项和12+n T ．
20．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知向量(,2),(,2)a x y b kx y =-=+（k R ∈），a b ⊥，动点(,)M x y 的轨迹为T ．
（1）求轨迹T 的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；
（2）当1
2
k =时，已知点(0,B -，是否存在直线l ：y x m =+，使点B 关于直线l 的对称点落在轨迹T 上?若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分14分）
已知：函数2
()21f x ax x =-+. (1)试讨论函数()f x 的单调性； (2)若
1
13
a ≤≤，且()f x 在[1,3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-，求()g a 的表达式；
（3）在(2)的条件下，求证：1()2
g a ≥.
揭阳市2011年高中毕业班第二次高考模拟考
数学(文科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．
一．选择题：DBCAC DCBCD
解析：5．因命题p 假，命题q 真，所以答案选C. 6．该三棱柱的侧视图是长为4
，宽为 D.
7．注意A 选项是易错项，由//,//a b b α也可能a α⊂，正确答案应选C. 8. ()
2
AB AC AC+CB AC AC 9⋅=⋅==，或AB AC |AB ||AC |cos A ⋅=⋅
||
|AB ||AC |
|AB |
AC =⋅2||9AC ==．选B ． 9.第一次运行121,1,0s s s ===，第二次运行2
12123,125s s =+==+=2111
(53)224
s =-⨯=，故选C.
10.结合右图易得2
()2P M ππ
-=，故选D.
二．填空题：11. {|23x x <<或3}x >(或{|2,3}x x x >≠)；12.
5
3
、4
； 13. 16；14.5、
；1 .
解析：12．因3,45a b c ==⇒=，所以53e =
，焦点(5,0)到渐近线4
3
y x =的距离为45
45
d ⨯=
= 13．依题意得0.192000380a =⨯=， 2000(385375380360)500b c +=-+++=，故应在高三级中抽取的学生人数为64
500162000
⨯=. 14.依
题
意
得
△
ADB
∽
△
ACB AD AB
AD AE AC AB AC AE
⇒
=⇒⋅=⋅()AD AD DE AC AB ⇒+=⋅
6495
3DE ⨯-⇒=
=,DB =
=由DB AD DB AC
EC EC AC AD
⋅=⇒==15.将方程2sin 0
ρθ+=和s ()4
in π
ρθ+
=
化为普通方程得22
20x y y ++=1x y
+=
结合图形易得M 与N 1.
三．解答题：
16.
解：（1）在ABC ∆中，由cos S A =
1
sin 2
bc A = 得
tan A =-------------------------------------------------------------------------------3分
∵0A π<< ∴3
A
π
=
-------------------------------------------5分
（2）由3
a
A π
==
及正弦定理得
2sin sin 2
a c
A C
===，------------7分 ∴2sin c C =-------------------------------------------------------8分
∵A B C π++= ∴23
C A B x π
π=--=
- ∴22sin(
)3c x π
=----------------------------------------------------10分 ∵3A π= ∴203x π<<
∴当6
x π
=
时，c 取得最大值，c 的最大值为2.----------------------------12分
17．解：（1）集合M 的所有元素有(-2, -1)，(-2, 1)，(0, -1)，(0, 1)，(2, -1)，(2, 1)
共6个-------3分
记“以(,)x y 为坐标的点落在圆2
2
1x y +=上”为事件A ，则基本事件总数为6. 因落在圆2
2
1x y +=上的点有(0, -1)，(0, 1)2个，即A 包含的基本事件数为２，------------4分
所
以
21()63
P A =
= --------------------------------------------------------------6分
（2）记“以(x ，y )为坐标的点位于区域D 内”为事件B. 则基本事件总数为由右图知位于区域D 内（含边界）的点有：(-2, -1)，(2, -1)，
D
C
B
A
P (0, -1)，(0, 1)共４个，即B 包含的基本事件数为4，---------------10分 故42
()63
P B =
=.-----------------------------------------12分 18. (1)证明：∵ABCD 为矩形
∴AD AB ⊥且//AD BC ----------------------------------2分 ∵BC PB ⊥ ∴DA PB ⊥-------------------------------3分 又AB PB B =
∴DA ⊥平面PAB ---------------------------------------------5
分 又∵DA ⊂平面PAD
∴平面PAD ⊥平面PAB -----------------------------------------7分
(2) ∵D PAC P DAC V V --=
又ADC ABC S S ∆∆=
∴D PAC P DAC V V --==P ABC C PAB V V --=-----------------------------------9分 由（1）知DA ⊥平面PAB ，且//AD BC ∴BC ⊥平面PAB --------------11分 ∴111
sin 332
C PAB PAB V S BC PA AB PAB BC -∆=⋅=⋅⋅⋅∠
⋅11216=⨯⨯=．-----14分
19.解：(1)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，
则1(1),n a n d =+- 1
2n n b q -=.
由134b b b =得4
13
2b q b b =
==，-------------------------------------2分 由222(2)16b S q d =+=， 解得2d =.------------------------------4分
∴21n a n =-，2n
n b =.----------------------------------------------6分
(2)()211121342()2n T c a a b a a b +=++++++⋅ +⋅⋅⋅212()n n n a a nb -+++
＝2121(2)n n S b b nb ++++⋅⋅⋅+---------------------------------------9分
令122n A b b nb =+++，
则2
2222n A n =+⋅+
+⋅
2312222(1)22n n A n n +=+⋅+
+-+⋅
212222n n A n +-=+++-⋅，∴11222n n A n ++=⋅-+----------------11分
又2222(1)
42
n n n a S n +=
=，---------------------------------------------12分 ∴2112114222n n n T n n +++=++⋅-+21
34(1)2n n n +=++-.--------------------14分
20．解：（1）∵a b ⊥
∴(,,0a b x y kx y ⋅=-+=
得2
2
20kx y +-= 即2
2
2kx y +=------------------------------------2分 当0k =时，方程表示两条与x 轴平行的直线；----------------------------3分 当1k =
为半径的圆；-----------------------4分 当0k >且1k ≠时，方程表示椭圆；-----------------------------------------5分 当0k <时，方程表示焦点在ｙ轴上的双曲线.---------------------------------6分
(2) 当1
2
k =时， 动
点M 的轨迹
T
的方程为
22
142
x y +=
-----------------------------------7分
设满足条件的直线l 存在，点B 关于直线l 的对称点为00'(,)B x y
，则由轴对称的性质可得：
000
01,22
y y x m x +=-=+，
解得：00,x m y m ==，
----------------------------------------------------------------------10分
∵点00'(,)B x y 在椭圆上，∴
22
()142
m m +=
，整理得2320m +-=
解得3
m =
或m =-----------------------------------------------------------------------------12分
∴直线l
的方程为3
y x =+
或y x =-分
经检验3
y x =+
和y x =- ∴满足条
件
的
直
线
l
存在，其方程
为
y x =+
或
y x =------------------------------14分
21.解：（1）当0a =时，函数()21f x x =-+在(,)-∞+∞上为减函数；-----------------1分
当0a >时，抛物线2
()21f x ax x =-+开口向上，对称轴为1
x a
= ∴函数()f x 在1(,]a -∞上为减函数，在1[,)a
+∞上为增函数
-----------------------2分
当0a <，抛物线2
()21f x ax x =-+开口向下，对称轴为1x a
= ∴函数()f x 在1(,]a -∞上为增函数，在1[,)a
+∞上为减函
数.-----------------------3分 （2）∵211
()()1f x a x a a
=-+-
由113a ≤≤得113a ≤≤ ∴11
()()1N a f a a ==-.-----------------------5分 当112a ≤<，即112a <≤时，()M a (3)95f a ==-,故1
()96g a a a
=+-；
-----------7分
当123a ≤≤，即11
32a ≤≤时，()M a (1)1f a ==-，故1
()2g a a a
=+-.-------------9分
∴
1112,[,];32
()1196,(,1].2a a a g a a a a ⎧+-∈⎪⎪=⎨⎪+-∈⎪⎩
-------------------------------------------------10分
（3）∵当11
[,]32a ∈时，21'()1g a a =-0
<，∴函数()g a 在11
[,]32
上为减函数；---------11分
当1
(,1]2a ∈时，2
1'()90g a a =->，∴函数()g a 在1
(,1]2
上为增函数，-------------12分 ∴当12a =时，()g a 取最小值，min 11
()()22
g a g ==, 故
1
()
g a .-------------------------------------------------------------------14
2
分。