高中数学课时跟踪检测七直线与椭圆的位置关系新人教A版选修3

学 习 资 料 汇编
课时跟踪检测（七） 直线与椭圆的位置关系
层级一 学业水平达标
1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2
4＝1的位置关系为( )
A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．不确定
解析：选B 直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k (x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x 29＋y 24＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2
4
＝1相交，故选B ．
2．椭圆mx 2
＋ny 2
＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为
22，则m
n 的值是( ) A ．
22
B ．233
C ．922
D ．2327
解析：选A 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
mx 2
＋ny 2
＝1，
y ＝1－x 消去y 得，
(m ＋n )x 2
－2nx ＋n －1＝0．
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝
2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n
， 代入y ＝1－x 得y 0＝m
m ＋n
．
由题意y 0
x 0＝
22，∴m n ＝2
2
，选A ． 3．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1·MF 2＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．0，12
C ．0，
22
D ．
2
2
，1
解析：选C ∵MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M 在椭圆内部，∴
c <b ，∴c 2
<b 2
＝a 2
－c 2
，即2c 2
<a 2
，∴c 2a 2<12，即c a <22．又e >0，∴0<e <2
2
．
4．已知椭圆C ：x 2
2＋y 2
＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于
点B ，若FA ＝3FB ，则|AF |＝( )
A ． 2
B ．2
C ． 3
D ．3
解析：选A 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 2
2＋y 2＝1知a 2＝2，b 2
＝1，
∴c 2
＝1，即c ＝1．∴右焦点F (1,0)． 由FA ＝3FB 得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)． ∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0． ∴x 0＝43，y 0＝1
3n ．
将x 0，y 0代入x 2
2＋y 2
＝1，
得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2
＝1． 解得n 2＝1， ∴|AF |＝
－
2
＋n 2
＝1＋1＝2．
5．(全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E
于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )
A ．x 245＋y 236＝1
B ．x 236＋y 2
27＝1 C ．x 2
27＋y 2
18
＝1
D ．x 2
18＋y 2
9
＝1 解析：选D 因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)， 所以直线AB 的方程为y ＝1
2
(x －3)，
代入椭圆方程x 2a 2＋y 2
b
2＝1消去y ，
得⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
2
4＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，
所以AB 的中点的横坐标为32
a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋
b 2＝1，即a 2＝2b 2
，
又a 2
＝b 2
＋c 2
，所以b ＝c ＝3． 所以E 的方程为x 218＋y 2
9
＝1．
6．椭圆x 2＋4y 2
＝16被直线y ＝12
x ＋1截得的弦长为______．
解析：由⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋4y 2
＝16，y ＝1
2
x ＋1，
消去y 并化简得x 2
＋2x －6＝0．
设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6． ∴弦长|MN |＝1＋k 2
|x 1－x 2| ＝
54
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2]＝
54
＋＝35．
答案：35
7．已知动点P (x ，y )在椭圆
x 2
25
＋
y 2
16
＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM |＝1，且
PM ·AM ＝0，则|PM |的最小值是________．
解析：易知点A (3,0)是椭圆的右焦点． ∵PM ·AM ＝0， ∴AM ⊥PM ．
∴|PM |2
＝|AP |2
－|AM |2
＝|AP |2
－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP |min ＝2，∴|PM |min ＝3． 答案： 3
8．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3
＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则
OP ·FP 的最大值为________．
解析：由x 24＋y 2
3
＝1可得F (－1,0)．
设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP ·FP ＝x 2
＋x ＋y 2
＝x 2
＋x ＋31－x 24＝1
4x 2
＋x ＋3＝14
(x
＋2)2
＋2，
当且仅当x ＝2时，OP ·FP 取得最大值6． 答案：6
9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 2
4＋y 2
＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的
长．
解：∵a 2
＝4，b 2
＝1，∴c ＝a 2
－b 2
＝3， ∴右焦点F (3，0)，∴直线l 的方程y ＝x －3．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x －3，x 24
＋y 2
＝1，消去y 并整理，得5x 2
－83x ＋8＝0．
设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，
∴|AB |＝＋k
2
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2]
＝
2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫8352
－4×85＝85， 即弦AB 的长为8
5
．
10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为3
5
．
(1)求C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为4
5的直线被C 所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16
b
2＝1，
∴b ＝4．又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝9
25
，
即1－16a 2＝9
25，∴a ＝5，
∴C 的方程为x 225＋y 2
16
＝1．
(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝4
5
(x －3)．
设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得
x
2
25
＋
x －
2
25
＝1，即x 2
－3x －8＝0，解得x 1＋x 2＝3，∴AB 的中点坐标 x 0＝
x 1＋x 22
＝3
2
，y 0＝
y 1＋y 2
2
＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2
，－65．
层级二 应试能力达标
1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2
＋y 2
＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋
y 2
4＝1的交点个数为( )
A ．2
B ．1
C ．0
D ．0或1
解析：选A 由题意，得
4
m 2＋n
2
>2，所以m 2＋n 2
<4，则－2<m <2，－2<n <2，所以点P (m ，n )在椭圆x 29
＋y 24
＝1内，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29
＋y 2
4
＝1有2个交点．故选A ．
2．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 2
4＝1有两个公共点，则实数k 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
54，54 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫
54，－54
C ．⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ D ．⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－
54∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫－54，54 解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋3，x 216＋y
2
4
＝1得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0，当Δ＝16(16k 2
－5)>0，
即k >
54或k <－5
4
时，直线与椭圆有两个公共点．故选C ． 3．若点(x ，y )在椭圆4x 2
＋y 2
＝4上，则y
x －2
的最小值为( )
A ．1
B ．－1
C ．－233
D ．以上都不对
解析：选C 设
y
x －2
＝k ，则y ＝k (x －2)．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
4x 2＋y 2
＝4，y ＝k x －消去y ，整理得
(k 2
＋4)x 2
－4k 2x 2
＋4(k 2
－1)＝0， Δ＝16k 4
－4×4(k 2
－1)(k 2
＋4)＝0， 解得k ＝±233，
∴k min ＝－23
3
．选C ．
4．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的两个焦点，P (不在x 轴上)为椭圆上一点，
且满足PF 1·PF 2＝c 2
，则椭圆离心率的取值范围是( )
A ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
33，1 B ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，12
C ．⎣⎢
⎡⎭⎪⎫3
3
，22 D ．⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，
22 解析：选C 由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，平方得|PF 1|2
＋|PF 2|2
＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2
． ①
又PF 1·PF 2＝c 2
，
∴|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2＝c 2
， ②
由余弦定理，得|PF 1|2
＋|PF 2|2
－2|PF 1|·|PF 2|·cos∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2
＝4c 2
， ③ 由①②③，得cos ∠F 1PF 2＝c 2
2a 2
－3c
2
<1，
所以2c <a ，即e <2
2
． 又|PF 1|·|PF 2|≤⎝
⎛⎭
⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2，
∴2a 2
－3c 2
≤a 2
，a 2
≤3c 2
，e ≥33
， 则椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3
3
，22，故选C ． 5．若过椭圆x 2
16
＋y 2
4
＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程是
________．
解析：设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 22
4
＝1，两式相减
并将x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入，得y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以所求直线的方程为y －1＝－1
2
(x －2)，即x ＋2y －4＝0．
答案：x ＋2y －4＝0
6．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y
2
b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M
是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得
x 1－x 2
x 1＋x 2
a
2
＋
y 1－y 2
y 1＋y 2
b
2
＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且
y 1－y 2x 1－x 2＝－1
2
，所以2a 2＋2b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2
，所以c a ＝22，即e
＝22． 答案：
22
7．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2
4＋y 2
＝1的左、右焦点，过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于
不同的两点A ，B ，且∠AOB (O 为坐标原点)为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．
解：显然直线x ＝0不满足题设条件，故设直线l ：y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋2，x 2
4
＋y 2
＝1消去y 并整理，得⎝
⎛⎭⎪⎫k 2＋14x 2
＋4kx ＋3＝0，
所以x 1＋x 2＝－
4k
k 2＋14，x 1x 2＝3
k 2
＋
14
． 由Δ＝(4k )2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14＝4k 2
－3>0，得k >32或k <－32．①
又0°<∠AOB <90°⇒cos ∠AOB >0⇒OA ·OB >0， 所以OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2>0．
又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2
x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝3k
2k 2＋14＋－8k 2k 2＋14＋4＝－k 2
＋1
k 2
＋
14
，
所以3
k 2＋14＋－k 2
＋1k 2＋
14
>0，即k 2
<4，所以－2<k <2．②
综合①②，得直线l 的斜率k 的取值范围为－2，－
32∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2．
8．(2016·浙江高考)如图，设椭圆x 2a
2＋y 2
＝1(a ＞1)．
(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；
(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 解：(1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AP ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，x 2a
2＋y 2
＝1得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2
kx ＝0，
故x 1＝0，x 2＝－2a 2
k 1＋a 2k
2.
因此|AP |＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝2a 2
|k |1＋k
2
1＋a 2k
2
. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，
Q ，满足|AP |＝|AQ |.
记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2. 由(1)知，|AP |＝2a 2
|k 1|1＋k 2
11＋a 2k 2
1， |AQ |＝2a 2
|k 2|1＋k 22
1＋a 2k 2
2
， 故2a 2
|k 1|1＋k 2
11＋a 2k 21＝2a 2
|k 2|1＋k 2
21＋a 2k 2
2
， 所以(k 2
1－k 2
2)[1＋k 2
1＋k 2
2＋a 2
(2－a 2
)k 21k 2
2]＝0. 由k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得 1＋k 2
1＋k 2
2＋a 2
(2－a 2
)k 21k 2
2＝0，
因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21
＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2
－2)． ①
因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是 1＋a 2
(a 2
－2)＞1，所以a ＞ 2.
因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤ 2.
由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0＜e ≤22
.
所求离心率的取值范围为⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，
22. 敬请批评指正。