2012年高考数学一轮复习 10A-4课时作业

课时作业(五十)
一、选择题
1．已知不同直线m、n及不重合平面P、Q，给出下列结论：
①m⊂P，n⊂Q，m⊥n⇒P⊥Q
②m⊂P，n⊂Q，m∥n⇒P∥Q
③m⊂P，n⊂P，m∥n⇒P∥Q
④m⊥P，n⊥Q，m⊥n⇒P⊥Q
其中的假命题有( )
A．1个B．2个
C．3个 D．4个
答案 C
解析①为假命题，m不一定与平面Q垂直，所以平面P与Q不一定垂直．命题②与③为假命题，②中两平面可以相交，③没有任何实质意义．只有④是真命题，因为两平面的垂线所成的角与两平面所成的角相等或互补．
2．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或q”为假
C．命题“p且q”为真 D．命题“綈p或非q”为假
答案 B
解析据题意可知对于命题p，显然与一平面都垂直的两平面的位置关系是平行或相交，如将一本书打开，每一X纸所在平面都与桌面垂直，但这些平面相交，即命题p是假命题；对命题q，只需使平面α内的两点连线与平面β平行，使第三点与这两点的连线与平面β的交点为线段的中点即可满足条件，故命题q是假命题；A.由于p和q都是假命题，因此命题：“p且q”应为假命题；B.由于p和q都是假命题，故“p或q”应为假命题．故B正确；C错误；D.由于p和q都是假命题，故非p和非q都是真命题，从而“非p或非q”为真命题，故D是错误的．
3．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE 和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在四面体A－EFH中必有( )
A．AH⊥△EFH所在平面
B．AG⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面
D．AG⊥△EFH所在平面
答案 A
解析∵AD⊥DF，AB⊥BE
∵B、C、D重合记为H
∴AH⊥HF，AH⊥HE
∴AH⊥面EFH.
4．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；
②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；
③若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α；
④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β.
则其中正确命题的序号为________．
答案①③④
解析①③④正确．②中，可能有m∥β，故②不正确．
5．若平面α，β，满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题为( ) A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
B．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面β
C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D．过点P垂直于直线l的直线在平面α内
答案 D
解析根据面面垂直的性质定理，得选项B、C正确．对于A，由于过点P垂直于平面α的直线必平行于β内垂直于交线的直线，因此平行于平面β.因此A正确．6．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
答案 A
解析BD1⊥平面AB1C.
7．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H 必在( )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线CA上
D．△ABC内部
答案 A
解析∵CA⊥AB，CA⊥BC1，AB∩BC1＝B，
∴CA⊥平面ABC1.∴平面ABC⊥平面ABC1.
∴过C1作垂直于平面ABC的直线在平面ABC1内，
∴H∈AB.
二、解答题
8．(09·某某)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
(3)设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
答案(1)(2)
解析(1)α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，正确．
(2)平面α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l平行于α，正确．
(3)如图，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，但不一定有α⊥β，错误．
(4)直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故为假命题．
综上所述，真命题的序号为(1)(2)．
9．如图所示，PA ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的射影，给出下列结论：
①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC . 其中正确结论的序号是________． 答案①②③
解析 由题意知PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC . 又AC ⊥BC ，PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC .
∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ， ∴AF ⊥PB ，AF ⊥BC .又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ， ∴PB ⊥平面AEF .∴PB ⊥EF .故①②③正确． 三、解答题
10．四面体ABCD 中，AC ＝BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ＝2
2
AC ，∠BDC ＝90°. 求证：BD ⊥平面ACD .
证明 如图所示，取CD 的中点G ，连结EG 、FG 、EF . ∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点， ∴EG 綊12AC ，FG 綊1
2BD .
又AC ＝BD ，∴FG ＝1
2
AC .
∴在△EFG 中，EG 2＋FG 2＝12AC 2＝EF 2
.
∴EG ⊥FG .∴BD ⊥AC .
又∠BDC ＝90°，即BD ⊥CD ，AC ∩CD ＝C ， ∴BD ⊥平面ACD .
11．如右图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F
分别是AB 、PB 的中点．
(Ⅰ)求证：EF ⊥CD ；
(Ⅱ)在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论． 解析 (Ⅰ)证法一：∵AE ＝EB ，PF ＝FB ， ∴EF ∥AP .
∵ABCD 为正方形，∴AD ⊥DC ，
又∵PD ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥CD (三垂线定理)， ∴EF ⊥CD .
证法二：取BD 的中点O ，连结FO 、OE . ∵AE ＝EB ，∴OE ∥AD . 又∴AD ⊥CD ∴OE ⊥CD . ∵FP ＝FB ，∴OF ∥PD . ∵PD ⊥底面ABCD ， ∴FO ⊥底面ABCD ， ∵EF ⊥CD (三垂线定理)． (Ⅱ)答：G 是AD 的中点． 方法一：取PC 的中点H ，连结DH . ∵PD ＝DC ，∴DH ⊥PC .
又∵BC ⊥平面PDC ，∴BC ⊥DH ，
∴DH ⊥平面PCB .取DA 中点G ，连结GF 、FH . ∵HF 綊1
2
BC 綊DG ，
∴四边形DGFH 为平行四边形， ∴DH ∥GF ，∴GF ⊥平面PCB .
方法二：取AD 中点G ，连结PG 、GB 、GF .
∵△PGD ≌△BGA ，∴PG ＝GB . 又∵F 为PB 中点，∴GF ⊥PB .
连结GO ，∵FO ⊥底面ABCD ，OG ⊥AD ，∴FG ⊥AD ，∴FG ⊥BC ， ∴FG ⊥平面PBC .
12．(2010·东城区)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥DC ，∠
ABC ＝60°，
PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．
(1)证明CD ⊥AE ： (2)证明PD ⊥平面ABE ； (3)求二面角A －PD －C 的大小．
答案 (1)证明：在四棱锥P －ABCD 中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故PA ⊥CD .
∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC . 而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .
(2)证明：由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA . ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .
由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面PCD . 而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .
∵PA ⊥底面ABCD ，PD 在底面ABCD 内的射影是AD ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥PD . 又∵AB ∩AE ＝A ，综上得PD ⊥平面ABE .
(3)解法一：过点A 作AM ⊥PD ，垂足为M ，连结EM ，由(2)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面
PCD 内的射影是EM ，则EM ⊥PD .
因此∠AME 是二面角A －PD －C 的平面角． 由已知，得∠CAD ＝30°，设AC ＝a ，可得
PA ＝a ，AD ＝
233a ，PD ＝213a ，AE ＝2
2
a . 在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ·PD ＝PA ·AD ，则AM ＝
PA ·AD
PD
＝a ·
23
3
a 213
a ＝277
a .
在Rt △AEM 中，sin ∠AME ＝
AE AM ＝144
. 所以二面角A －PD －C 的大小是arcsin
14
4
. 解法二：由题设PA ⊥底面ABCD ，PA ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ACD ，交线为AD . 过点C 作CF ⊥AD ，垂足为F ，故CF ⊥平面PAD ，过点F 作FM ⊥PD ，垂足为M ，连结CM ，故CM ⊥PD ，因此∠CMF 是二面角A －PD －C 的平面角．
由已知，可得∠CAD ＝30°，设AC ＝a ，可得
PA ＝a ，AD ＝
233a ，PD ＝213a ，CF ＝12a ，FD ＝3
6
a . ∵△FMD ～△PAD ，∴FM PA ＝FD PD
. 于是，FM ＝FD ·PA PD ＝3
6a ·a
21
3
a ＝7
14a .
在Rt △CMF 中，tan ∠CMF ＝
CF FM ＝12
a 7
14
a
＝7. 所以二面角A －PD －C 的大小是arctan 7.
13．(2011·某某八校)如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，AD ＝DE ＝2AB ，且F 是CD 的中点．
(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE . 证明 (1)取CE 中点P ，连结FP 、BP ， ∵F 为CD 的中点， ∴FP ∥DE ，且FP ＝1
2
DE .
又AB ∥DE ，且AB ＝1
2DE ，
∴AB ∥FP ，且AB ＝FP ，
∴ABPF 为平行四边形，∴AF ∥BP . 又∵AF ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE .
(2)∵△ACD 为正三角形，∴AF ⊥CD . ∵AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ， ∴DE ⊥平面ACD . 又AF ⊂平面ACD ，
∴DE ⊥AF .又AF ⊥CD ，CD ∩DE ＝D ， ∴AF ⊥平面CDE .
又BP ∥AF ，∴BP ⊥平面CDE . 又∵BP ⊂平面BCE ，
∴平面BCE ⊥平面CDE .
14．(2010·卷，文)如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，
AB ＝2，CE ＝EF ＝1.
(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE . 解析 (1)设AC 与BD 交于点G .
因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝1
2AC ＝1，
所以四边形AGEF 为平行四边形，
所以AF∥EG.
因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，
所以AF∥平面BDE.
(2)连结FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，
所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC，
又因为平面ACEF⊥平面ABCD，
且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
所以BD⊥平面ACEF. 所以CF⊥BD.
又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.
15．(2011·海淀区)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC ＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明(1)∵PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA，
又CD⊥AC，PA∩AC＝A，故CD⊥平面PAC，
AE⊂平面PAC，故CD⊥AE.
(2)∵PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，故PA＝AC.
∵E是PC的中点，故AE⊥PC.
由(1)知CD⊥AE，
从而AE⊥平面PCD，故AE⊥PD.
易知BA⊥PD，故PD⊥平面ABE.。