人教B版高中数学选修知能优化训练(1)(1)

高中数学 第2章2.2.1知能优化训练 新人教B 版选修1-2
1．直接证明中最基本的两种证明方法是( ) A ．类比法与归纳法 B ．综合法与分析法 C ．反证法和二分法 D ．换元法和配方法
解析：选B.直接证明的方法包括综合法与分析法．
2．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋b a
≤－2成立的一个充分而不必要条件是( )
A ．a ·b >0
B ．a ·b <0
C ．a >0，b <0
D ．a >0，b >0
解析：选C.∵a b ＋b a ≤－2，∴a 2＋b 2
ab
≤－2.∵a 2＋b 2≥0，
∴ab <0，即a 、b 异号，故选C.
3．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，若当x ≤1时，f (x )＝(x ＋1)2－1，则当x >1时，f (x )的解析式为__________．
解析：∵函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴有f (x )＝f (2－x )，当x >1时，有2－x <1，则f (2－x )＝[(2－x )＋1]2－1＝(3－x )2－1＝(x －3)2－1＝f (x )．
答案：f (x )＝(x －3)2－1
4．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值
为________．
解析：由sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0， 得sin α＋sin β＝－sin γ， cos α＋cos β＝－cos γ，
两式平方相加得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，
∴cos(α－β)＝－1
2
.
答案：－1
2
5．求证：3＋6<4＋ 5.
证明：欲证不等式3＋6<4＋5成立， 只需证3＋218＋6<4＋220＋5成立， 即证18<20成立． 即证18<20成立． 由于18<20成立，
因此3＋6<4＋ 5.
一、选择题
1．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )
A.12 B ．a 2＋b 2
C ．2ab
D ．a
解析：选B.∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，
∴2ab <12
.
而a 2＋b 2
>a ＋b 22＝12
，
又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，
∴a <1
2
.∴a 2＋b 2最大，故选B.
2．下面四个不等式：
(1)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ；
(2)a (1－a )≤1
4
；
(3)b a ＋a b
≥2； (4)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.
其中恒成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
解析：选C.a 2
＋b 2
＋c 2
＝
a 2＋
b 22＋
a 2＋c 22＋
b 2＋
c 2
2≥ab ＋ac ＋bc ，a (1－a )≤⎝
⎛⎭
⎪
⎫a ＋1－a 22
＝14；(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2；当b a <0时，b a ＋a
b
≥2不成立．
3．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →
，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．梯形 C ．矩形 D ．平行四边形
解析：选D.∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →
， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →， ∴四边形ABCD 为平行四边形．
4．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )
A ．若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α
B ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β
C ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β
D ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
解析：选C.对于A ，
m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直．
5．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1
y
的最大值为( )
A ．2 B.32 C ．1 D.12
解析：选C.∵a x ＝b y
＝3，x ＝log a 3，y ＝log b 3， ∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3(a ＋b 2)2＝1.故选C. 6.
函数y ＝ax 3
＋bx 2
＋cx ＋d 的图象如图所示，则( ) A ．a >0，b >0，c >0 B ．a >0，b >0，c <0 C ．a <0，b <0，c >0 D ．a <0，b <0，c <0
解析：选B.f (0)＝0⇒d ＝0，
由f (1)＝0，f (－2)＝0得b ＝a ，c ＝－2a ， ∴f (x )＝ax 3＋ax 2－2ax .
＝a (x 3＋x 2
－2x )
由x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0，得a >0，b >0，c <0. 二、填空题
7．函数f (x )＝
x
x ＋1
的最大值为________．
解析：由f (x )＝x
x ＋1
知，x ≥0.
①当x ＝0时，f (x )＝0；
②当x ≠0时，f (x )＝
1
x ＋
1
x
.
∵x ＋1
x
≥2，当且仅当x ＝1时取“＝”． ∴0＜
1
x ＋
1x
≤12
. 即0＜f (x )≤1
2.
故0≤f (x )≤1
2
综上，f (x )max ＝1
2
.
答案：12
8．定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y ＝f (x ＋2)
为偶函数，则f (－1)，f (4)，f (51
2
)的大小关系是__________．
解析：f (x ＋2)为偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)．
故f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且开口向下，画出图象，显然有f (4)>f (－1)>f (51
2
)．
答案：f (4)>f (－1)>f (51
2
)
9．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则a
b ＋
c ＋
b
c ＋a
＝__________.
解析：∵∠C ＝60°，∴a 2＋b 2＝c 2＋ab .
∴(a 2＋ac )＋(b 2
＋bc )
＝c 2＋ab ＋ac ＋bc ＝(a ＋c )(b ＋c )，
∴a b ＋c ＋b c ＋a ＝a 2＋ac ＋b 2＋bc b ＋c c ＋a ＝1. 答案：1
三、解答题 10.
如图，四棱锥P ­ABCD 的底面是平行四边形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点．求证：AF ∥平面PEC .
证明：∵四棱锥P ­ABCD 的底面是平行四边形，∴AB CD .
又∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，
∴CF AE .
∴四边形AECF 为平行四边形． ∴AF ∥EC .
又AF ⊄平面PEC ，EC ⊆平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .
11．已知a >b >0，求证a －b 28a <a ＋b
2
－ab <
a －b
2
8b
.
证明：要证原不等式成立，
只需证a －b 28a <a －b 22<a －b 2
8b
.
由已知得a >b >0，
即证a ＋b 24a <1<a ＋b 2
4b
，
也就是证
a＋b
2a
<1<
a＋b
2b
，
即证a＋b<2a且2b<a＋b，
即证b<a.
因为a>b>0，所以b<a成立．故原不等式成立．
12.
如图所示，M是抛物线y2＝x上的一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA ＝MB.若M为定点，求证直线EF的斜率为定值．
证明：设M(y20，y0)，直线ME的斜率为k(k>0)，
∵MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，
∴直线MF的斜率为－k，
∴直线ME的方程为y－y0＝k(x－y20)．
由
⎩
⎨
⎧y－y0＝k x－y20
y2＝x
，消去x得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0.
解得y E＝
1－ky0
k
，∴x E＝
1－ky02
k2
.
同理可得y F＝
1＋ky0
－k
，∴x F＝
1＋ky02
k2
.
∴k EF＝
y E－y F
x E－x F
＝
1－ky0
k
－
1＋ky0
－k
1－ky02
k2
－
1＋ky02
k2
＝
2
k
－4ky0
k2
＝－
1
2y0
(定值)．
∴直线EF的斜率为定值．。