与抛物线相切有关的三种直线方程的统一形式

与抛物线相切有关的三种直线方程的统一形式
吴家华（四川省遂宁中学 629000）
在高三数学复习中，笔者惊奇地发现与抛物线相切的三类问题的三种直线方程的形式是完全一样的. 现介绍如下：
（1）过抛物线py x 22=上一点),(00y x P 的切线方程为)(00y y p x x +=.
（2） 过抛物线py x 22=外一点),(00y x P 引抛物线的两条切线，切点为B A ,，则直线AB 的直线方程为)(00y y p x x +=.
（3） 过不在抛物线py x 22=上一点),(00y x P 的直线与抛物线相交于B A ,两点，则过B A ,两点的切线的交点的轨迹是一条直线，其方程也为)(00y y p x x +=. 证明 (1) 由py x 22=得：221x p y =，对x 求导，得：x p
y 1='， ∴ 01|0x p
y x x ='= 又∵点),(00y x P 在抛物线py x 22=上，∴0202py x =。

∴切线方程为)(1000x x x p
y y -=-，即0020002py x x x x x py py -=-=-， ∴切线方程为)(00y y p x x +=.
（2）设),(11y x A ，),(22y x B ，则由（1）可得：切线PB 、PA 的方程分别为： )(11y y p x x += ， )(22y y p x x +=。

∵点),(00y x P 在切线PB 、PA 上，∴)(1001y y p x x += ，)(2002y y p x x += 由此可见，B A ,两点在直线)(00y y p x x +=上，即直线AB 的方程为
)(00y y p x x +=。

（3）设)21,(211x p x A ，)21,(222x p
x B )(21x x ≠，则直线AB 的方程为 )(21212111
2212221x x x x x p x p x p y ---=-，
即 2121)(2x x x x x py -+=，
∵点),(00y x P 在直线AB 上， ∴210210)(2x x x x x py -+= ①
又由（1）知：过抛物线上A 点的切线方程为)21(211x p
y p x x +
= ，即 21122x x x py -= ② 同理：过抛物线上B 点的切线方程为
22222x x x py -= ③
由②、③解得：x x x 221=+， py x x 221=，代入①，得：
)(00y y p x x +=，即为过B A ,两点的切线的交点的轨迹方程.
同理，对于抛物线标准方程的其它几种形式：py x 22-=，px y 22=，
px y 22-=，它们对应的直线方程的统一形式分别为：)(00y y p x x +-=，)(00x x p y y +=，)(00x x p y y +-=.
类似地，可以证明，对于解析几何中的圆、椭圆、双曲线的类似于抛物线的上述三
种情形，我们也有相应的直线方程的统一形式，它们是
1. 圆2
22R y x =+，对应的直线方程的统一形式为200R y y x x =+； 2. 椭圆122
22=+b
y a x ，对应的直线方程的统一形式为12020
=+b y y a x x ； 3. 双曲线122
22=-b
y a x ，对应的直线方程的统一形式为12020
=-b y y a x x . 应用上述结论，我们可迅速地解答和编拟一些新问题.。