梯形的转化

梯形的转化
梯形，相对于其他特殊的平行四边形而言，所具有的性质较“贫乏”，因此给解决相关问题所能提供和使用的性质定理也就比较单一，解题难度随之加大，这使我们不得不将梯形问题化归为其他更易于解决的问题。

化归思想，其实质就是将一个问题进行等价变形，使其转化为另一个已经解决的问题，从而使原来的问题得到解决。

梯形知识的学习是建立在三角形、平行四边形、矩形等知
识基础上的，因此，在解决梯形问题时，应充分考虑将问题转化为上述问题来研究.
把梯形转化成其他图形，一般有两条常用的思路供我们选择：一是“就梯形论梯形”，在梯形中添加适当的辅助线进行重新分割；二是“向梯形外扩张”，因势利导地把梯形“扩”为其他图形。

有时，这两种思路都能解决问题；有时，必须根据图形的特征选择其中一种能解决问题的思路。

例如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝45°，AD＝4，AB＝22，求BC的长和梯形ABCD的面积。

解法1 如图，过D作DE∥AB交BC于E，易得四边形ABED
是平行四边形，
∴AD＝BE＝4，DE＝AB＝22
∴在等腰直角三角形DEC中，斜边EC＝4，斜边上的高＝2
∴BC＝BE＋EC＝8
∴梯形ABCD的面积＝（4＋8）×2÷2＝12
解法2如图，过A，D分别作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∴四边形AEFD为矩形，∴AD＝EF＝4，AE＝DF，
Rt⊿ABE≌Rt⊿DCF，∠B＝45°，
∴BE＝AE＝DF＝CF＝2，
∴ BC＝2＋4＋2＝8
∴梯形ABCD的面积＝（4＋8）×2÷2＝12
解法3如图，延长BA，CD交于E，因为∠B＝∠C＝45°，所以∠E＝90°
在等腰直角三角形ADE中，斜边AD＝4
∴AE＝DE＝22
∴等腰直角三角形BCE的直角边BE＝22＋22＝42，
∴BC＝8，
∴梯形ABCD的面积＝⊿BCE的面积－⊿ADE的面积＝16－4
＝12
有时，当梯形的对角线相互垂直时，下面的方法也是常用的化归方法。

D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A。