有理数的加减法(提高)知识讲解

有理数的加减法（提高）
【学习目标】
1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；
2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，体会其中蕴含的转化的思想；
3．熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简 算，并且会解决简单的实际问题. 【要点梳理】
要点一、有理数的加法
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数． 要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：
(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则． (2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．
(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 3.
要点二、有理数的减法
1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-．
要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
要点三、有理数加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【典型例题】
类型一、有理数的加法运算
1．计算：（1）21358⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）1
3(6)(2)3
4
+++
（3）21.12535⎛⎫+- ⎪⎝⎭
（4）20(5)3+- （5）1
3
( 3.5)2
-++ 【思路点拨】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条：；（3）（5）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（4）用的是法则的第三条． 【答案与解析】
（1）2121213(3
)3585840
⎛⎫⎛⎫-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； （2）1
313131(6)(2)(62)8934341212
+++=++=+
= （3）21.1253 1.125( 3.4)(3.4 1.125) 2.2755⎛
⎫+-=+-=--=- ⎪⎝⎭
（4）220(5)533
+-=- （5）1
3
( 3.5) 3.5 3.502
-++=-+= 【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值． 举一反三：
【高清课堂：有理数的加减法 382681 有理数的加法例2】 【变式1】计算：(1) -721+1061; (2) (-21)+(-7.3); (3) 14
1
+(-231); (4)
7
5
1
+(-3.8)+(-7.2) 【答案】（1）原式=11112(107)(97)(1)262623
+-=-+-=； （2）原式=(0.57.3)7.8-+=-；（3）原式=111
(21)13412
--=-；
（4）原式=7.27.2 3.80 3.8 3.8--=-=-
【变式2】计算：1
15112
36⎛⎫
-++-
⎪⎝⎭
【答案】1151151151111(11)12
36236236⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-=--++-=-++-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
【变式3】计算：
11(6)( 3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫++++-+++-+++++++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
【答案】解法一：
11(6)( 3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫++++-+++-+++++++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11(6)(3)(0.3)(8)(6)( 3.3)(6)(16)644⎡⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=++++++++++++-+-+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣
⎦→同号
的数一起先加
(23.55)(31.55)8=++-=-．
解法二：11(6)( 3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫
+++
+-+++-+++++++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11(6)6[( 3.3)(3)(0.3)][(6)(6)][(16)(8)]44⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=++++-+-+++++-+++-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦
→同分母，互为相反数的数，或几个数可以凑整的数分别结合相加
000(8)8=+++-=-． 类型二、有理数的减法运算
2． (1)2-(-3)； (2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)； (3)41
373⎛⎫+
- ⎪⎝⎭
． 【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数
的加法进行计算．
【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．
(1)2-(-3)＝2+3＝5 (2)原式＝0+3.72+(-2.72)+4＝(0+4)+(3.72-2.72)＝4+1＝5 （3）原式=
411416(3)(3)2733721
+-=--=- 【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性
质符号按多重符号化简进行计算.
类型三、有理数的加减混合运算
3．计算：（1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72；
（2）11-12+13-15+16-18+17； （3）1
113.7639568 4.762
1362
--+--+ （4）51133.464
3.872 1.54 3.376344+---+++ （5）1355354624618-++-； （6）13
2.2532 1.87584
+-+
【答案与解析】
（1）观察各个加数，可以发现-3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组；
4.18、-2.93与-1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便． 解：-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72 ＝(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23 ＝0+0-1.23＝-1.23
（2）把正数和负数分别分为一组．
解：11-12+13-15+16-18+17 ＝(11+13+16+17)+(-12-15-18) ＝57+(-45)＝12
（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是-1，两个整数的和是29，三个分数通分
后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组．
解：1113.7639568 4.762
1362
--+--+ 111
(3.76 4.76)(521)(3968)362
=-+--++-+1(6)2922=-+-+=
（4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；-3.87与3.37的和为-0.5，把它们分为一
组；54
6与13- 易于通分，把它们分为一组；124-与3
4
同分母，把它们分为一组． 解：5113
3.464 3.872 1.54 3.376344
+---+++
5113
(3.46 1.54)( 3.87 3.37)(4)(2)6344
=++-++-+-+
11
5(0.5)4(1) 4.537.522
=+-++-=+=
（5）先把整数分离后再分组．
解：13553
54624618-++- 1355354624618
=--++++--
1355
(3546)()24618
=-++-+-++-
18273010
036
-++-=+
2936
= 注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如 113
322-=--． （6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．
解：13
2.2532
1.8758
4
+-+ (2.25 2.75)(3.125 1.875)=-++
0.55 4.5=-+=
【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.
举一反三：
【变式】（2014•甘肃模拟）5.6+[0.9+4.4﹣（﹣8.1）]．
【答案】解：原式=5.6+0.9+4.4+8.1=19．
类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用
【高清课堂：有理数的加减法382681有理数加减的应用】
4．（2014秋•郑州期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国
古代数学史上经常研究这一神话．
（1）现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15；
（2）通过研究问题（1），利用你发现的规律，将3，5，﹣7，1，7，﹣3，9，﹣5，﹣1
这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．
【答案与解析】
解：（1）15÷3=5，
∴最中间的数是5，其它空格填写如图1；
（2）如图2所示．
【总结升华】本题考查了有理数加法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键．
举一反三：
【变式】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：
197，202，197，203，200，196，201，198．
计算出售的粮食总共多少千克?
【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6
200×8+(-6)＝1594(千克)
答：出售的粮食共1594千克．
法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)
答：出售的粮食共1594千克．。