【红对勾】高中数学 1.3.1.1函数的单调性课件 新人教版必修1

1．在增函数与减函数的定义中，能否把“任意两个自 变量”改为“存在两个自变量”？
提示：不能，如图所示：虽然 f(－1)<f(2)，但原函数在[－1，2]上不是增函数．
2．设x1、x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变 量，如果f(x)满足以下条件，该函数f(x)是否为增函数？ (1)对任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)； (2)对任意x1，x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0； fx1－fx2 (3)对任意x1、x2都有 >0. x1－x2 提示：是增函数，它们只不过是增函数的几种等价命 题．
k 3．设反比例函数的解析式为y＝x(k≠0)．若k>0，则函 k (－∞，0) 数y＝x在 上是减函数，在 (0，＋∞) 上也是减函 k (－∞，0) 数；若k<0，则函数y＝x在 上是增函数，在 (0，＋∞) 上也是增函数．
6．函数y＝x2－x＋2的单调区间如何划分？ 1 1 提示：函数在(－∞， ]上是减函数，在[ ，＋∞)上是 2 2 增函数．
4．函数的单调区间与其定义域是什么关系？ 提示：函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间 而言的，故单调区间是定义域的子集．
1 5．函数f(x)＝ x的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)吗？ 提示：不是．例如：取x1＝1，x2＝－1，则x1>x2，这时f(x1) ＝f(1)＝1，f(x2)＝f(－1)＝－1，故有f(x1)>f(x2)． 1 这样与函数f(x)＝ x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减矛 盾． 1 事实上，f(x)＝ x的单调减区间应为(－∞，0)和(0，＋ ∞)．
3．由2推广，能否写出减函数的几个等价命题？ 提示：减函数(x1，x2∈M)⇔任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2) fx1－fx2 ⇔ <0⇔[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0. x1－x2
函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是 增函数(或减函数) ， 那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性， 区间D叫做y＝f(x)的 单调区间 ．
通法提炼 函数单调性的判断或证明是最基本的题型，最基本的 方法是定义法，整个过程可分为五个步骤： 第一步：取值.即设x1，x2是该区间内的任意两个值， 且x1<x2. 第二步：作差.准确作出差值fx1－fx2[或fx2－fx1].
第三步：变形.通过因式分解、配方、分子分母有理 化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形. 第四步：确定fx1－fx2[或fx2－fx1]的符号.当符号 不能直接确定时，可通过分类讨论、等价转化，然后作 差，作商等思路进行. 第五步：判断.根据定义作出结论. 以上五个步骤可以简记为“取值——作差——变形 ——定号——判断”.
预习篇01
新知导学
增函数与减函数的定义
设函数f(x)的定义域是I： 如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1，x2，当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2) ，那么就说函数f(x) 在区间D上是增函数．
设函数f(x)的定义域是I： 如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值 x1，x2，当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2) ，那么就说函数f(x)在 区间D上是减函数．
课堂篇02
合作探究
用定义判断或证明函数的单调性
【例1】
9 证明函数y＝x＋x在(0,3]上递减．
【证明】
设0<x1<x2≤3，则有
9 9 y1－y2＝(x1＋x )－(x2＋x ) 1 2 9x1－x2 9 ＝(x1－x2)－ x x ＝(x1－x2)(1－x x )． 1 2 1 2 9 9 ∵0<x1<x2≤3，∴x1－x2<0，x x >1，即1－x x <0，∴y1 1 2 1 2 9 －y2>0，即y1>y2.∴函数y＝x＋ 在(0,3]上递减． x
(1)函数的单调性是函数在定义域的某个子集上的性 质．这个子集可以是整个定义域，也可以是定义域的真子 集． (2)若x1>x2，f(x1)>f(x2)，则函数y＝f(x)是单调增函数； 若x1>x2，f(x1)<f(x2)，则函数y＝f(x)是单调减函数，即若(x1 －x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)，则函数y＝f(x)是增(减)函数．
第一章
集合与函数的概念
1.3
函数的基本性质
1．3.1
单调性与最大(小)值
第1课时 预习篇
函数的单调性
巩固篇
课堂篇
课时作业 提高篇
学习目标
1.记住函数的单调性及其几何意义，会证明简单函数 的单调性； 2.会用函数的单调性解答有关问题； 3.记住常见函数的单调性.
重点难点
重点：函数的单调性定义及其应用；常见函数的单调性 及应用；函数单调性的证明； 难点：函数单调性定义的理解及函数单调性的证明.
(3)如果一个函数有多个单调增(减)区间，这些增(减)区 间应该用逗号隔开(即“局部”)或用“和”来表示，而不能用并 1 集的符号“∪”连接(并完之后就成了“整体”)．例如，f(x)＝ x 的单调减区间可以写成(0，＋∞)，(－∞，0)，或者写成(0， ＋∞)和(－∞，0)，但不能写成 x 在(0,1)上是减函数．
解：任取x1，x2且0<x1<x2<1，则
x1－x2 1 1 f(x2)－f(x1)＝x2＋x －x1＋x ＝(x2－x1)＋ x x ＝(x2－ 2 1 1 2 1 x2－x1x1x2－1 x1)1－x x ＝ . x x 1 2 1 2
常见函数的单调性
1．设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，当k>0 时，函数y＝kx＋b在R上是 增函数 ＝kx＋b在R上是 减函数 ． ；当k<0时，函数y
2．设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若 b b ( －∞，－ ] a>0，则该函数在 2a上是减函数，在 [－2a，＋∞) b ] 上是增函数．若a<0，则该函数在(－∞，－2a上是增函 b [－ ，＋∞) 数，在 2a 上是减函数．