北师大版八年级数学上册课件《等腰三角形第2课时》

其中不正确的个数是( C )
A.1
B.2
C.3
D.4
探究新知
知识点 2
等边三角形的性质
想一想： 等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内
角有什么特征呢？
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
思考： 怎样证明这一定理？
可以利用等腰三角形的性质进行证明.
探究新知
证明：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
课堂小结
等腰三角 形重要线 段的性质
底角的两条角平分线相等 两条腰上的中线相等 两条腰上的高相等
等边三角 形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且 每个角都等于60°
NM
B
C
探究新知
证明：∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.
又∵CM= 1 AC
，B1NA=B
，
2
2
∴CM=BN．
在△BMC与△CNB中，
∵ BC=CB,∠MCB=∠NBC, CM=BN，
∴△BMC≌△CNB（SAS）．
∴BM=CN.
A
NM
B
C
探究新知
猜想证明： 等腰三角形两腰上的高相等．
例 如图,在△ABC中,AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,求
证:DE∥BC.
证明：∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. 又∵CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E, ∴∠AEB=∠ADC=90°, ∴∠ABE=∠ACD, ∴∠ABC-∠ABE=∠ACB-∠ACD, 即∠EBC=∠DCB.
探究新知
素养目标
3.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决 问题． 2.了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰 上的高，中线）的性质.
1.进一步学习等腰三角形的相关性质.
探究新知
知识点 1 等腰三角形的重要线段的性质
想一想： 上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，即顶角的 平分线、底边上的高、底边上的中线. 试猜想等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、两 腰上的中线有什么关系呢？
课堂检测
能力提升题
2. 如图, △ABC是等边三角形,D是AB边上一点,以CD为边作等边 △CDE,使点E,A在直线DC的同侧,连接AE,判断AE与BC的位置关系,
并说明理由.
证明:AE∥BC,理由如下: ∵△ABC和△DEC是等边三角形, ∴BC=AC,CD=CE,∠BCA=∠ECD=60°,∠B=60°, ∴∠BCA-∠DCA=∠ECD-∠DCA,即∠BCD=∠ACE,
课堂检测
在△ACE和△BCD中,
AC = BC， ∠ACE = ∠BCD， CE = CD，
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴∠EAC=∠B=60°,
∵∠ACB=60°,∴∠EAC=∠ACB,
∴AE∥BC.
课堂检测
拓广探索题
如图,在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且AE=CD,BE与AD
线．
A 求证: BD=CE.
E
D
B 12 C
探究新知
证明：∵AB=AC(已知),∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
又∵∠1= 1 ∠ABC ∠2= 1
，
2
2
∴∠1=∠2(等式性质)．
∠ACB(已知),
在△BDC与△CEB中，
A
∠DCB=∠ EBC（已知）， BC=CB（公共边），
E
D
∠1=∠2（已证），
课堂检测
基础巩固题
4. 若如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是 等边三角形,AB,ED相交于点F,下列结论:①AD⊥BC;② EF=FD;③BE=BD.其中正确的有_____①__②__③__.(填序号)
课堂检测
基础巩固题
5. 如图,在△ABC中,AB=AC,中线BD,CE相交
相交于点P,BQ⊥AD于点Q.
(1)求证:△ABE≌△CAD. 证明:∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°，
在△BAE和△ACD中,
AE = CD， ∠BAC = ∠ACB，
AB = AC，
∴△BAE≌△ACD（SAS）.
课堂检测
(2)求∠PBQ的度数. 解:∵△BAE≌△ACD, ∴∠ABE=∠CAD, ∵∠BPQ为△ABP的外角, ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD, ∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°， ∵BQ⊥AD,∴∠PBQ=30°.
结论 在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= ∠ABC，
∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE.
E
D
B
C
简述为：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.
探究新知
猜想证明： 等腰三角形两腰上的中线相等．
已知: 如图, 在△ABC中, AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的中
线．
A
求证: BM=CN.
探究新知
作图观察,我们可以猜想： 等腰三角形两底角的平分线相等； 等腰三角形两腰上的中线相等；
你能证明 你的猜想 吗？
等腰三角形两腰上的高相等．
A
A
A
E
D
N
MQ
P
B
CB
CB
C
探究新知
猜想证明： 等腰三角形两底角的平分线相等．
已知: 如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的角平分
XXX学校
1.1 等腰三角形
第2课时
班级：X年级X班
北师大版 八年级 数学 下册
导入新知 在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角
形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架 等，它们都是等边三角形.
思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三 角形的各角之间有什么关系呢？等腰三角形中有哪些相等的线段？
∠BEC = ∠CDB，
在△BEC与△CDB中, ∠EBC = ∠DCB，
BC = CB，
∴△BEC≌△CDB,∴BD=CE, ∴AB-BD=AC-CE,即AD=AE, ∴∠ADE=∠AED. 又∵∠A是△ADE和△ABC的顶角, ∴∠ADE=∠ABC, ∴DE∥BC.
巩固练习
变式训练
如图,已知AD,BE分别是△ABC的中线和高,且AB=AC,
1. 如图,AB=AC,BD=DC,DF⊥AB,DE⊥AC,垂足分别是F,E. 求证:DE=DF. 证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C, ∵DF⊥AB,DE⊥AC,∴∠BFD=∠CED=90°, 在△BDF和△CDE中， BD=DC, ∠B=∠C， ∠BFD=∠CED， ∴△BDF≌△CDE（AAS）,∴DE=DF.
已知: 如图, 在△ABC中, AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高．
求证: BP=CQ.
证明： ∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.
A
在△BMC与△CNB中，
Q
∵ BC=CB,∠QBC=∠PCB, ∠BQC=∠CPB，
P
∴△BQC≌△CPB（AAS）．
B
C
∴BP=CQ.
探究新知 思考：如图，在等腰三角形ABC中，
B.28° D.45°
课堂检测
基础巩固题
1.若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°,则顶角 的度数为 ( B )
A.50°
B.80 °
C.100 °
D.130 °
2 .在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分
线，BD=5，则CE=
5
.
课堂检测
基础巩固题
3 .如图,在△ABC中,CA=CB,AD⊥BC,BE⊥AC,AB=5,AD=4, 则AE=____3__.
于点O.求证:OB=OC.
证明:∵BD,CE是△ABC的两条中线,
∴CD=
1 2
AC,BE=1
2
AB,
∵AB=AC,∴CD=BE,∠EBC=∠DCB.
在△EBC和△DCB中,BE=CD,∠EBC=∠DCB,BC=CB, ∴△EBC≌△DCB(SAS),∴∠ECB=∠DBC,∴OB=OC.
课堂检测
能力提升题
（1）如果AD= AC，AE= AB，那么BD=CE吗？
（2）如果AD= AC，AE= AB，那么BE=CE吗？
由此你得到什么结论?
A
结论 在△ABC中，如果AB=AC，AD= AC，
E
D
AE= AB，那么BD=CE.
B
C
简述为：两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.
探究新知 素养考点 1 等腰三角形的重要线段的性质
已知：如图,在△ABC中， AB=AC=BC．
求证：∠A=∠B=∠C=60°．
A
证明：在△ABC中，∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等边对等角).
同理∠A=∠B．
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
B
C
∴∠A=∠B=∠C=60°．
探究新知 素养考点 2 等边三角形的性质
例 如图,△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，
C
D
A
∴ ∠BDE=(180 °－∠DBA) ÷2 =(180°－30°)
÷∴2=∠75E°DA.=90 °－ ∠BDE=90°－75°=15°.
连接中考
（2020·绵阳）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三
角形，∠ABC=124°，∠CDE=72°，则∠ACD=(
C)
A.16° C.44°
则∠ADB的度数为（ D
）
A.25° B.60° C.85° D.95°
巩固练习
变式训练
如图,等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求
∠EDA的度数.
B
解：∵ △ABC是等边三角形， ∴∠CBA=60°.
∵BD是AC边上的中线，
∴∠BDA=90°, ∠DBA=30°.
E
∵ BD=BE，
∴ △BDC≌△CEB（ASA）．
B 12 C
∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
探究新知 思考：如图，在等腰三角形ABC中，
（1）如果∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE吗？
（2）如果∠ABD= ∠ABC，∠ACபைடு நூலகம்= ∠ACB，那么BD=CE吗？
由此你得到什么结论?
A
∠EBC=20°,则∠BAD的度数为 ( B )
A.18°
B.20°
C.22.5°
D.25°
巩固练习
变式训练
下列说法:
(1)等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合;
(2)等腰三角形的两腰上的中线长相等;
(3)等腰三角形的腰一定大于其腰上的高;
(4)等腰三角形的一边长为8,一边长为16,那么它的周长是32或40.