沪科版八年级数学上册《第13章三角形中的边角关系,命题和证明 》单元试题及解析

沪科版八年级数学上册《第13章三角形中的边角关系，命题与证明》
单元试题及解析
一、选择题（本大题共15小题，共45分）
1.如图，△ABC的角平分线BD与中线CE相交于点O.有下列两个结论：
①BO是△CBE的角平分线；②CO是△CBD的中线．
其中()
A. 只有①正确
B. 只有②正确
C. ①和②都正确
D. ①和②都不正确
2.下列说法正确的是()
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ②④
3.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是()
A. ∠A+∠B=∠C
B. ∠A−∠B=∠C
C. ∠A：∠B：∠C=1：2：3
D. ∠A=∠B=3∠C
4.已知三角形的两边长是2cm，3cm，则该三角形的周长l的取值范围是()
A. 1<l<5
B. 1<l<6
C. 5<l<9
D. 6<l<10
5.以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6.下列说法错误的是()
A. 锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点
B. 钝角三角形有两条高线在三角形外部
C. 直角三角形只有一条高线
D. 任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线
7.给出下列命题：
①三条线段组成的图形叫三角形；
②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；
③三角形的角平分线是射线；
④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；
⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；
⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．
正确的命题有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
8.如图，在△ABC中，D，E分别为BC上两点，且BD=DE=EC，则图中面
积相等的三角形有()对．
A. 4
B. 5
C. 6
D. 79.下列说法正确的是()
A. 三角形的内角中最多有一个锐角
B. 三角形的内角中最多有两个锐角
C. 三角形的内角中最多有一个直角
D. 三角形的内角都大于60°
10.已知△ABC中，∠A=2(∠B+∠C)，则∠A的度数为()
A. 100°
B. 120°
C. 140°
D. 160°
11.已知三角形两个内角的差等于第三个内角，则它是()
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 等边三角形
12.等腰三角形的底边BC=8cm，且|AC−BC|=2cm，则腰长AC的长为()
A. 10cm或6cm
B. 10cm
C. 6cm
D. 8cm或6cm
13.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°−∠B，④∠A=∠B=1
2
∠C 中，能确定△ABC是直角三角形的条件有()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
14.已知三角形的三边分别为2，a，4，那么a的取值范围是()
A. 1<a<5
B. 2<a<6
C. 3<a<7
D. 4<a<6
15.在△ABC中，∠A=1
2
∠B=1
3
∠C，则此三角形是()
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
16.如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，
DE//AB，交AC于E，则∠ADE的大小是______ ．
17.在△ABC中，AC=5cm，AD是△ABC中线，把△ABC周长分为两部分，若其差为3cm，则BA=______ ．
18.将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是．
19.如图，在△ABC中，∠B=42°，△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则
∠AEC=_______．
20.已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a−b+c|−|a−b−c|=______．
21.等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长为____cm．
22.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______ 度．
23.如图，点D，B，C点在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1=______度．
三、解答题（本大题共4小题，共31分）
24.如图所示，求∠1的大小．
25.已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，
若∠B=30°，∠C=50°．
(1)求∠DAE的度数；
(2)试写出∠DAE与∠C−∠B有何关系？(不必证明)
26.如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，
∠D=42°，求∠ACD的度数．27.将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、
C．
(1)如图①，若∠A=40°时，点D在△ABC内，则∠ABC+∠ACB=______ 度，∠DBC+∠DCB=______
度，∠ABD+∠ACD=______ 度；
(2)如图②，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC内，请探究∠ABD+∠ACD与∠A之间存在
怎样的数量关系，并验证你的结论．
(3)如图③，改变直角三角板DEF的位置，使点D在△ABC外，且在AB边的左侧，直接写出∠ABD、
∠ACD、∠A三者之间存在的数量关系．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵△ABC的角平分线BD与中线CE相交于点O，
∴∠ABD=∠CBD，AE=BE，
∴∠EBO=∠CBO，
∴BO是△CBE的角平分线，
又∵BO和DO不一定相等，
∴CO不一定是△CBD的中线
故选A．
根据角平分线的定义和中线的定义，可直接得出结论．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，是基础知识要熟练掌握．
2.【答案】D
【解析】解：①三角形的角平分线是线段，说法错误；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，说法正确；
③锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．说法错误；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确．
故选D．
根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，是基础题．从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
3.【答案】D
【解析】解：A中∠A+∠B=∠C，即2∠C=180°，∠C=90°，为直角三角形，
同理，B，C均为直角三角形，
D选项中∠A=∠B=3∠C，即7∠C=180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，
故选：D．
由直角三角形内角和为180°求得三角形的每一个角，再判断形状．
注意直角三角形中有一个内角为90°．
4.【答案】D
【解析】解：第三边的取值范围是大于1而小于5．
又∵另外两边之和是5，
∴周长的取值范围是大于6而小于10．
故选D．
根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可求解．
考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
5.【答案】C
【解析】解：首先可以组合为13，10，5；13，10，7；13，5，7；10，5，7.再根据三角形的三边关系，发现其中的13，5，7不符合，则可以画出的三角形有3个．故选：C．
从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．
考查了三角形的三边关系：任意两边之和>第三边，任意两边之差<第三边．这里一定要首先把所有的情况组合后，再看是否符合三角形的三边关系．
6.【答案】C
【解析】解：A、解：A、锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点，故本选项说法正确；
B、钝角三角形有两条高线在三角形的外部，故本选项说法正确；
C、直角三角形也有三条高线，故本选项说法错误；
D、任意三角形都有三条高线、中线、角平分线，故本选项说法正确；
故选：C．
根据三角形的高线、中线、角平分线的性质分析各个选项．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，是基础题，熟记概念是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形，故①错误；
三角形的角平分线是线段，故③错误；
三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，故④错误；
所以正确的命题是②、⑤、⑥，共3个．
故选：C．
要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．
此题综合考查三角形的定义以及三角形的三条重要线段．
8.【答案】A
【解析】解：等底同高的三角形的面积相等，所以△ABD，△ADE，△AEC三个三角形的面积相等，有3对，又△ABE与△ACD的面积也相等，有1对，所以共有4对三角形面积相等．
故选A．
根据三角形的面积公式知，等底同高的三角形的面积相等，据此可得面积相等的三角形．
本题考查了三角形的面积，理解三角形的面积公式，掌握等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．9.【答案】C
【解析】解：A、直角三角形中有两个锐角，故本选项错误；
B、等边三角形的三个角都是锐角，故本选项错误；
C、三角形的内角中最多有一个直角，故本选项正确；
D、若三角形的内角都大于60°，则三个内角的和大于180°，这样的三角形不存在，故本选项错误．
故选C．
根据三角形内角和定理对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．
10.【答案】B
【解析】解：∵∠A=2(∠B+∠C)，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+1
2
∠A=180°，
∠A=120°．
故选B．
根据三角形的内角和定理和已知条件即可得到∠A的方程，从而求解．
此题考查了三角形的内角和定理．
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°.利用三角形内角和可直接根据两已知角求第三个角或依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角，也可在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
设三角形三个内角分别为∠A、∠B、∠C，且∠A−∠B=∠C，则∠B+∠C=∠A，根据三角形内角和定理得到∠A+∠B+∠C=180°，于是可计算出∠A=90°，由此可判断三角形为直角三角形．
【解答】
解：设三角形三个内角分别为∠A、∠B、∠C，且∠A−∠B=∠C，则∠B+∠C=∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴这个三角形为直角三角形．
故选C．
12.【答案】A
【解析】解：∵|AC−BC|=2cm，
∴AC−BC=2cm或−AC+BC=2cm，
∵BC=8cm，
∴AC=(2+8)cm或AC=(8−2)cm，即10cm或6cm．
故选A
根据绝对值的性质求出AC的长即可．
本题考查的是等腰三角形的性质，熟知“等腰三角形的两腰相等”是解答此题的关键．
13.【答案】D
【解析】解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，∴①正确；
②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=3
1+2+3
×180°=90°，
∴△ABC是直角三角形，∴②正确；
③∵∠A=90°−∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，∴③正确；
④∵∠A=∠B=1
2
∠C，
∴∠C=2∠A=2∠B，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+∠A+2∠A=180°，
∴∠A=45°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，∴④正确；故选D．
根据三角形的内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，再根据已知的条件逐个求出∠C的度数，即可得出答案．
本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出每种情况的∠C的度数是解此题的关键，题目比较好，难度适中．
14.【答案】B
【解析】解：由于在三角形中任意两边之和大于第三边，
∴a<2+4=6，
任意两边之差小于第三边，
∴a>4−2=2，
∴2<a<6，
故选B．
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
本题考查了构成三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，难度适中．15.【答案】B
【解析】解：∵∠A=1
2
∠B=1
3
∠C，
∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+3∠A=180°，
解得∠A=30°，
所以，∠B=2×30°=60°，
∠C=3×30°=90°，
所以，此三角形是直角三角形．
故选B．
用∠A表示出∠B、∠C，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求解即可．
本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理并用∠A列出方程是解题的关键．
16.【答案】40°
【解析】解：∵DE//AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∵∠B=46°，∠C=54°，
∴∠BAD=180°−46°−54°=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=40°，
∴∠ADE=40°，
故答案为40°．
根据DE//AB可求得∠ADE=∠BAD，根据三角形内角和为180°和角平分线平分角的性质可求得∠BAD的值，即可解题．
本题考查了三角形内角和为180°性质，考查了角平分线平分角的性质，本题中求∠ADE=∠BAD是解题的关键．
17.【答案】8cm或2cm
【解析】解：∵AD是△ABC中线，
∴BD=CD．
AD把△ABC周长分为的两部分分别是：AB+BD，AC+CD，
|(AB+BD)−(AC+CD)|=|AB−AC|=3，
如果AB>AC，那么AB−5=3，AB=8cm；
如果AB<AC，那么5−AB=3，AB=2cm．
故答案为：8cm或2cm．
先根据三角形中线的定义可得BD=CD，再求出AD把△ABC周长分为的两部分的差等于|AB−AC|，然后分AB>AC，AB<AC两种情况分别列式计算即可得解．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出AD把△ABC周长分为的两部分的差等于|AB−AC|是解题的关键．
18.【答案】75°
【解析】【分析】
本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
先根据直角三角形两锐角互余求出∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
内角的和列式计算即可得解．
【解答】
解：如图，∠1=90°−60°=30°，
∴∠α=30°+45°=75°．
故答案为：75°．
19.【答案】69°
【解析】【分析】
根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得1
2
∠DAC+
1 2∠ACF=1
2
(∠B+∠B+∠1+∠2)=111°；最后在△AEC中利用三角形内角
和定理可以求得∠AEC的度数．本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质．解题时注意挖掘出隐含在题干中已知条件“三角形内角和是180°”．【解答】
解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF 的平分线交于点E，
∴∠EAC=1
2∠DAC，∠ECA=1
2
∠ACF，
∵∠DAC=∠B+∠2，∠ACF=∠B+∠1
∴1
2∠DAC+1
2
∠ACF=1
2
(∠B+∠2)+1
2
(∠B+∠1)=1
2
(∠B+∠B+∠1+∠2)，
∵∠B=42°(已知)，∠B+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理)，
∴1
2
∠DAC+
1
2
∠ACF=111°
∴∠AEC=180°−(1
2∠DAC+1
2
∠ACF)=69°．
故答案是：69°．
20.【答案】2a−2b
【解析】解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴a+c>b，b+c>a，
∴a−b+c>0，a−b−c<0，
∴|a−b+c|−|a−b−c|=(a−b+c)−(b+c−a)=a−b+c−b−c+a=2a−2b，故答案为：2a−2b．先根据三角形的三边关系定理得出a+c>b，b+c>a，再去掉绝对值符号合并即可．
本题考查了三角形三边关系定理，绝对值，整式的加减的应用，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．21.【答案】6或8
【解析】解：①6cm是底边时，腰长=1
2
(20−6)=7cm，
此时三角形的三边分别为7cm、7cm、6cm，
能组成三角形，
②6cm是腰长时，底边=20−6×2=8cm，
此时三角形的三边分别为6cm、6cm、8cm，
能组成三角形，
综上所述，底边长为6cm或8cm．
故答案为：6或8．
分6cm是底边与腰长两种情况讨论求解．
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
22.【答案】360
【解析】解：如右图所示，
∵∠AHG=∠A+∠B，∠DNG=∠C+∠D，∠EGN=∠E+∠F，
∴∠AHG+∠DNG+∠EGN=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，
又∵∠AHG、∠DNG、∠EGN是△GHN的三个不同的外角，
∴∠AHG+∠DNG+∠EGN=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为：360°．
利用三角形外角性质可得∠AHG=∠A+∠B，∠DNG=∠C+∠D，∠EGN=∠E+∠F，三式相加易得∠AHG+∠DNG+∠EGN=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，而∠AHG、∠DNG、∠EGN是△GHN的三个不同的外角，从而可求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F．
本题考查了三角形内角和定理．解题的关键是三角形内角和定理与三角形外角性质的联合使用，知道三角形的外角和等于360°．
23.【答案】45
【解析】解：∵∠ABD是△ABC的外角，∴∠ABD=∠A+∠C=60°+50°=110°，
∴∠1=180°−∠ABD−∠D=180°−110°−25°=45°．
根据三角形的外角的性质及三角形的内角和定理可求得．
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，比较简单．
24.【答案】解：如图所示，∵∠ACB=180°−140°=40°，且∠1是△ABC的外角，
∴∠1=∠A+∠ACB=80°+40°=120°．
【解析】先根据邻补角的定义求得∠ACB，再根据三角形外角性质，求得∠1的度数即可．
本题主要考查了三角形的外角性质的运用，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
25.【答案】解：(1)∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°−30°−50°=100°．
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=50°．
在Rt△ABD中，∠BAD=90°−∠B=60°，
∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=60°−50=10°；
(2)∠C−∠B=2∠DAE．
【解析】(1)由三角形内角和定理可求得∠BAC=100°，由角平分线的性质知∠BAE=50°，在Rt△ABD中，可得∠BAD=60°，故∠DAE=∠BAD−∠BAE；
(2)由(1)可知∠C−∠B=2∠DAE．
本题利用了三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质求解．
26.【答案】解：∵∠AFE=90°，
∴∠AEF=90°−∠A=90°−35°=55°，
∴∠CED=∠AEF=55°，
∴∠ACD=180°−∠CED−∠D=180°−55°−42°=83°．
答：∠ACD的度数为83°．
【解析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．
三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角
形的三个内角和为180°．
27.【答案】(1)140；90；50；
(2)∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD=90°−∠A.证明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A.
在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°.
∴∠ABC+∠ACB−(∠DBC+∠DCB)=180°−∠A−90°．
∴∠ABD+∠ACD=90°−∠A．
(3)∠ACD−∠ABD=90°−∠A．
【解析】解：(1)在△ABC中，∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−40°=140°，
在△DBC中，∵∠BDC=90°，
∴∠DBC+∠DCB=180°−90°=90°，
∴∠ABD+∠ACD=140°−90°=50°；
故答案为：140；90；50.
(2)见答案；
(3)见答案．
【分析】
(1)根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°−∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°−∠DBC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
(2)根据三角形内角和定义有90°+(∠ABD+∠ACD)+∠A=180°，则∠ABD+∠ACD=90°−∠A．
(3)由(1)(2)的解题思路可得：∠ACD−∠ABD=90°−∠A．
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，实际上证明了三角形的外角和是360°，解答的关键是沟通外角和内角的关系．。