不等式必修5试题及答案

不等式必修5试题及答案
一、选择题
1. 若不等式\(ax^2 + bx + c > 0\)的解集为\((-1, 2)\)，则a的值是：
A. 1
B. -1
C. 0
D. 2
答案：B
2. 已知\(x^2 - 5x + 6 < 0\)，求x的取值范围。

A. \((-\infty, 2) \cup (3, +\infty)\)
B. \((2, 3)\)
C. \((-\infty, 1) \cup (4, +\infty)\)
D. \((1, 4)\)
答案：B
二、填空题
1. 已知\(\frac{1}{x} > 0\)，则x的取值范围是________。

答案：\(x > 0\) 或 \(x < 0\)（x不能为0）
2. 若不等式\(2x - 3 > 5\)的解集为\((4, +\infty)\)，则x的取值范围是________。

答案：\(x > 4\)
三、解答题
1. 解不等式\(3x^2 - 5x - 2 < 0\)。

答案：
首先，找到方程\(3x^2 - 5x - 2 = 0\)的根，通过求解得到\(x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} = \frac{5 \pm 7}{6}\)，即\(x = 2\)和\(x = -\frac{1}{3}\)。

因此，不等式的解集为\((-\frac{1}{3}, 2)\)。

2. 已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，且\(a + b = 2\)，求\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\)的最小值。

答案：
利用基本不等式，我们有\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =
\frac{1}{2}(a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = \frac{1}{2}(2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b})\)。

由于\(a > 0\)，\(b > 0\)，根据算术-几何平均不等式，
\(\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2\sqrt{\frac{b}{a} \cdot
\frac{a}{b}} = 2\)。

因此，\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{1}{2}(2 + 2) = 2\)。

当且仅当\(a = b = 1\)时，等号成立，所以\(\frac{1}{a} +
\frac{1}{b}\)的最小值为2。