【首发】广东省汕头市金山中学2012-2013学年高二12月月考数学理试题Word版含答案

2012～2013学年度汕头金山中学高二年级月考
理数试题 2012.12
一、选择题(以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共40分)
1. 设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O ，球面上有两个点,A B 的坐标分别为
()()1,2,2,2,2,1A B -，则=||AB ( )
A ．18
B ．12 C
． D ．32 2. 函数()23x
f x x =+的零点所在的一个区间是（ ）
A ．()2,1--
B ．()1,0-
C ．()0,1
D ．()1,2 3. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ） A ．62n - B ．82n -
C ．62n +
D ．82n + 4. 圆2
2
1x y +=与直线2y kx =+没有公共点的充要条件是（ ）
A ．
(k ∈ B ．(,(3,)k ∈-∞+∞ C ．(k ∈ D ．(,(2,)k ∈-∞+∞
5. 以椭圆
22
1259
x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程( ) A ．
2211641x y -= B ．221169y x -= C ．221169x y -= D ．22
11641
y x -= 6. 如图，三棱锥V ABC -底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且
VA VC =,已知其主视图的面积为
2
3
，则其侧视图的面积为( ) A ．
2 B ．
3 C ．
4 D ．6 ks5u
7. 在ABC ∆中, AM 2=+， 1AM =,点P 在AM 上且满
足
2=,则()PA PB PC ⋅+等于( ) A ．49 B ．43 C ．43- D ．49
-
… ① ③
8. 对于平面直角坐标系内的任意两点()()1122,,,A x y B x y ，定义它们之间的一种“距离”：
1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：
①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=; ②在ABC ∆中，若∠C =90°，则2
22
AC
CB AB +=；
③在ABC ∆中，AC CB AB +>．
其中真命题的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 二、填空题（每小题5分，共30分）
9. 对于命题p ：x R ∃∈，2
10x x ++<，则p ⌝是 ．ks5u 10. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三
个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生． 11. 已知函数2()log f x x =，在区间1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上随机取一个数0x ，则使得0()f x ≥0的概率
为 ．
12. 已知,x y 满足10
10250
x x y x y -≥⎧⎪
--≤⎨⎪+-≤⎩
，则2y z x =+的最大值为 ．
13. 已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60︒，
则双曲线C 的离心率为 ．ks5u
14. 如图，边长为a 的正△ABC 的中线A ks5u F 与中位线DE 相交于G ，已知△A′ED 是△AED
绕DE 旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题： ① 动点A′在平面ABC 上的射影在线段AF 上； ② 恒有平面A′GF ⊥平面BCED ； ③ 三棱锥A′—FED 的体积有最大值； ④ 异面直线A′E 与BD 不可能互相垂直； 其中正确命题的序号是 ．
三、解答题（共6小题，共80分） 15. (本小题满分12分)
在ABC ∆中，已知4A π
=
，4cos 5
B =
．
（1）求cos C 的值；（2）若10BC =，求ABC ∆的面积．
16. (本小题满分12分)
已知命题p ：方程
22
131x y t t +=-+所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆；命题q ：实数t 满足不等式2(1)t a t a ---＜０．
（1）若命题p 为真，求实数t 的取值范围；
（2）若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
17. (本小题满分14分)
如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，
PC AC ⊥．
（1）求证：PC AB ⊥；
（2）求二面角B AP C --的正弦值；
18. (本小题满分14分)
已知圆22211:(0)O x y r r +=>与圆222
22:()()(0)C x a y b r r -+-=>内切，且两圆的
圆心关于直线:0l x y -+=对称．直线l 与圆O 相交于A 、B 两点，点M 在圆O 上，且满足.OM OA OB =+
（1）求圆O 的半径1r 及圆C 的圆心坐标；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长．
19. (本小题满分14分)
如图，椭圆的中心在坐标原点O ，左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ，离心率3
5
e =
，三角形12BF F ∆的周长为16．直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭A
C
B
P
圆相交于,E F 两点．
（1）求该椭圆的标准方程．（2）求四边形AEBF 面积的最大值．
20. (本小题满分14分)
已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=,12
4,(1)(321),3
n n n n n a a n b a n +=
+-=--+其中λ为实数，n 为正整数．
（1）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （2）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）设0a b <<,n S 为数列{}n b 的前n 项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有n a S b <<?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
汕头市金山中学2012-2013学年第一学期月考
高二理科数学试卷答案 2012．12
二、填空题
9． 2
10x R x x ∀∈++≥
， 10． 15 11．
23
12．
1 13．
14．
①②③ 三、解答题：
15．解：（1）
4cos ,5B =且(0,)B π∈
，∴3
sin 5
B ==．…………2分
∴3cos cos()cos()4
C A B
B π
π=--=
- …………………………………………4分
3343cos
cos sin sin 4455B B ππ=
+=+=……………………6分 （2）由（1
）可得sin C === ………………8分 由正弦定理得
sin sin BC AB
A C =
7AB =，解得14AB =（或AC =）10分 在BCD ∆中，113
sin 141042225
ABC S AB BC B ∆=
⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= ………………12分 16．解：（1）∵方程
22
131
x y t t +=-+所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆 ∴310t t ->+>………………3分 解得：11t -<<………………6分 （2）∵命题P 是命题q 的充分不必要条件
∴11t -<<是不等式2
(1)t a t a ---＝(1)()t t a +-0<解集的真子集……９分 法一：因方程2
(1)t a t a ---＝(1)()0t t a +-=两根为1,a -．
故只需1a >………………12分
法二：令2()(1)f t t a t a =---，因(1)0,(1)0f f -=<故只需………９分
解得：1a > ………………12分
17．（1）取AB 中点D ，连结PD CD ，．
A
B
D
P
AP BP =， PD AB ∴⊥． AC BC =， CD AB ∴⊥． PD CD D =， AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂平面PCD ，
PC AB ∴⊥． …………………… 6分 （2）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△．
又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥．
又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且AC
PC C =，
BC ∴⊥平面PAC ．
取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥．
EC 是BE 在平面PAC 内的射影，CE AP ∴⊥． BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．
在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =
，2
BE AB =
=
sin 3
BC BEC BE ∴∠=
=．………………………14分 18．解：（1）
法一：
OM OA OB =+，且OA OB OM ==
∴四边形OAMB 为菱形，OM 垂直平分AB 且60MOA ∠=︒
∴点O 到AB 距离为1
2r
∴
12r =，解出12r =…………………………6分
两圆的圆心关于直线:0l x y -+=对称，
0220110
a b
b a ⎧-+=⎪⎪∴⎨-⎪⨯=-⎪-⎩
解得(C ………………………………………………9分
法二：由222
10x y x y r ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩消去y
，得221220x r ++-=
(()2
214220r ∆=-⨯⨯-≥得11r ≥（*）………………………………………3分
设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，
A
C
B
E
P
则012x x x =+=
01212y y y x x =+=++=
又
(2,M -在圆O
上，(
2
2
214r ∴=+=满足（*）式……………6分
（2）
圆22:4O x y +=
与圆22222:(((0)C x y r r +=>内切，
222r OC ∴-==
=解得20()4r r ==舍去或………………12分
圆心C 到直线l
的距离为1d
=
=
∴
直线l 被圆C
截得的弦长为==14分
19．解：（1）设椭圆的方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ，焦距为2c ，
依题意有222
352216
a b c c e a a c ⎧=+⎪
⎪==⎨⎪+=⎪⎩，解得543
a b c =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∴椭圆的方程为22
12516
x y +=， ·········································································· 5分
(2) 解法一：由2212516
y kx x y =⎧⎪⎨+
=⎪⎩消去y ,得22
(1625)400k x +=
如图，设1122()()E x kx F x kx ，，
，，其中12x x <
，
12x x ∴==
．① ························································ 8分
直线AB 的方程分别为
154
x y
+=即45200x y +-=， ∴
点E F ，到
AB
的距离分别为12045k h +
=
=
，
22045k h +=
=
···········································
··· 10分
又AB ==AEBF 的面积为
121()2S AB h h =+
4045141
2
4116k
+=
+2045k +=
=
==，
当且仅当2
1625k =即4
5
k =
时，上式取等号．所以S 的最大值为··············· 14分 解法二：由题设，4BO =，5AO =．
设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->，且22
221625400x y +=
故四边形AEBF 的面积为
BEF AEF S S S =+△△2245x y =+ ······································································· 10分
===
当且仅当2245x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为 ·························· 14分
20．解：（1）证明：假设存在一个实数λ，使｛n a ｝是等比数列， 则有312
2a a a ⋅=,即
,0949
4
9494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾． 所以｛n a ｝不是等比数列． …………………………………………………………．．…3分 (2)解：因为n n n n b n a b 3
2
]21)1(3[)
1(11
1=
++--=+++……………………………．…5分 又)18(1+-=λb ，所以
当18-=λ，)(0*
∈=N n b n ，此时0=n S ……………………………………………6分
当18-≠λ时，0)18(1≠+-=λb ，
3
2
1-=+n n b b )(*∈N n ， 此时，数列｛n b ｝是以)18(+-λ为首项，3
2
-为公比的等比数列． ∴=n S ])3
2
(1[)18(53n --⋅+-
λ………………………………………………………8分 (3)要使b S a n <<对任意正整数n 成立， 即)(])3
2(1[)18(53*
∈<--⋅+-<N n b a n λ
得
()3
185
221133n
n
a b λ<-
+<⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
（1） ……………………………………10分
令()213n
f n ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，则当n 为正奇数时，,1)(95;35)(1<≤≤<n f n n f 为正偶数时，当
∴)(n f 的最大值为35)1(=
f , )(n f 的最小值为95
)2(=f ,…………………………12分 于是，由（1）式得<a 59<+-)18(53λ.183185
3
--<<--⇔a b b λ
当a b a 3≤<时，由18318--≥--a b ，不存在实数满足题目要求；………13分
当a b 3>存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有b S a n <<,且λ的取值范围是)183,18(----a b ………………………………………………………．．…14分。