2020届陕西省宝鸡中学高三上学期第一次模拟数学(文)试题(解析版)

2020届陕西省宝鸡中学高三上学期第一次模拟数学（文）试
题
一、单选题
1．已知集合{2,1,0,3}A =-，集合{3,0,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A ．{}0,1,3 B ．{}0,3
C ．{}
0,1,2,3
D ．{}3,2,0,1,2,3--
【答案】A
【解析】根据集合的交集运算,化简即可求得A B I . 【详解】
因为集合{2,1,0,3}A =-,集合{3,0,1,2,3}B =-
由集合的交集运算可知{}{}{}2,1,0,33,0,1,2,3=0,1,3A B ⋂=-⋂- 故选:A 【点睛】
本题考查了集合交集的简单运算,属于基础题. 2．i 为虚数单位，复数(1)(3)i i -+=（ ） A ．3i - B ．42i -
C ．2
D ．42i +
【答案】B
【解析】根据复数的乘法运算,展开化简即可求解. 【详解】
由复数的乘法运算可得
(1)(3)i i -+
2=33i i i +-- =42i -
故选:B 【点睛】
本题考查了复数的乘法与加法运算,属于基础题.
3．已知向量()2,1a =-r ，向量(),7b m =r ，向量()3,0c =r
，()
2a c b +⊥r r r ，则实数m
的值为（ ）
A ．2
B ．-2
C ．
492
D ．492
-
【答案】A
【解析】根据向量的加法运算,先求得2a c +r r
,再由向量垂直的坐标关系即可求得m 的值. 【详解】
向量()2,1a =-r ,向量()3,0c =r ,向量(),7b m =r
根据向量的数乘和加法的坐标运算可得
则()()()222,13,07,2a c +=-+=-r r
因为()
2a c b +⊥r r r
由向量垂直的关系可知()
20a c b +⋅=r r r
即()()7,2,70m -⋅= 即7140m -= 解得2m = 故选:A 【点睛】
本题考查了向量的数乘运算与加法运算,向量垂直的坐标关系,属于基础题.
4．观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，则88a b +=（ ） A ．47 B ．76
C ．121
D ．123
【答案】A
【解析】根据数与式的归纳推理,可知从第三项开始后一项等于前两项的和,即可得
88a b +.
【详解】
由1a b +=,223a b +=,334a b +=,447a b +=,5511a b += 可知从第三项开始后一项等于前两项的和 所以6671118a b +=+=,77111829a b +=+= 则88182947a b +=+= 故选:A 【点睛】
本题考查了数与式的归纳推理的应用,找出规律是解决此类问题的关键,属于基础题. 5．某篮球教练对甲乙两位运动员在近五场比赛中的得分情况统计如下图所示，根据图表给出如下结论:(1)甲乙两人得分的平均数相等且甲的方差比乙的方差小；(2)甲乙两人得分的平均数相等且甲的方差比乙的方差大；(3)甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高；(4)甲的成绩较稳定,乙的成续基本呈上升状态；结论正确的是( )
A ．（1）（3）
B ．（1）（4）
C ．（2）（3）
D ．（2）（4）
【答案】C
【解析】根据图示,求得甲乙两人的平均数,由成绩的变化趋势和范围,即可判断方差的大小及稳定情况. 【详解】
由图示可知,甲五次得分情况分别为:0,3,2,4,6.五次得分的平均值为
03246
=
35
x ++++=甲
乙五次得分情况分别为:3,4,2,2,4.五次得分的平均值为34224
=
35
x ++++=乙
甲乙两人得分的平均数相等,因为乙得分的波动范围小,所以乙的方差小,成绩稳定. 从折线图可知,甲的成绩在不断提高,乙的成绩没有显著提高. 结合四个选项可知, (2)(3)为正确选项 故选:C 【点睛】
本题考查了折线图的应用,平均数的计算与方差大小的判断,属于基础题. 6．已知条件p ：k=
；条件q ：直线y= kx+2与圆x 2+y 2=1相切，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】【详解】 当3k =
时，圆心到直线的距离为1，所以直线与圆相切；
当直线与圆相切时，由
2
11
k =+得3k =±，
所以则p 是q 的充分不必要条件, 故选A.
7．已知函数()()()11
3
3,0()log 1,0x x f x x x +⎧≤⎪
=⎨+>⎪⎩，则函数()y f x =-的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】画出函数()()()11
3
3,0()log 1,0x x f x x x +⎧≤⎪
=⎨+>⎪⎩的图像,根据()y f x =-的图像与()
f x 关于y 轴对称,即可得()y f x =-的图像. 【详解】
函数()()()11
3
3,0()log 1,0x x f x x x +⎧≤⎪
=⎨+>⎪⎩
则()f x 的图像如下图所示:
因为()y f x =-的图像与()f x 关于y 轴对称,所以()y f x =-的图像如下图所示:
故选:D 【点睛】
本题考查了分段函数图像的画法,函数图像关于y 轴对称的画法,属于基础题.
8．已知椭圆22
142x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且1||3PF =，则
12PF F ∆的面积为（ ）
A ．
22
B 2
C 3
D 3
【答案】B
【解析】根据椭圆的标准方程及椭圆的定义,可得焦距2c 及2PF ,由勾股定理逆定理可判断12PF F ∆为直角三角形,进而求得12PF F ∆的面积. 【详解】
圆22142
x y +=的左右焦点分别为1F ,2F ,点P 在椭圆上,且1||3PF =
所以1224PF PF a +== 则2431PF =-= 而2222c a b =-=
所以12222F F c == 因为2
2
2
1122PF F F PF =+
所以12PF F ∆是以1PF 为斜边的直角三角形 则1221211
122222
PF F P F F S F ∆⨯=⨯⨯⨯==
故选:B 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及定义,焦点三角形面积的求法,利用勾股定理的逆定理判断三角形形状,属于基础题.
9．设函数()sin 2f x x =，()y f x =的图像向左平移8
π
个单位，再将图像上所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的3倍得到()y g x =的图像，则()y g x =在[,]124
ππ
-上的
最大值为（ ）
A ．3
B ．
2
C ．
2
D ．1
【答案】A
【解析】根据三角函数图像的变换,可得()y g x =的解析式.结合正弦函数的图像与性质,即可求得在[,]124
ππ
-上的最大值. 【详解】
函数()sin 2f x x =
将()y f x =的图像向左平移
8π个单位,可得()sin 2sin 284f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭;再将
图像上所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的3倍可得()3sin 24g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
因为,124x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦ 则32,4124x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦
所以当242
x ππ+
=
,即8
x π=
时取得最大值
最大值为()max 3sin 32
g x π
==
故选:A 【点睛】
本题考查了三角函数图像的平移伸缩变换,正弦函数的图像与性质的综合练习,属于基础题.
10．已知tan α=cos(
2)2
π
α+=（ ）
A ．
B ．
C ．±
D ．12
±
【答案】A
【解析】根据诱导公式化简cos 22πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
,利用正弦二倍角公式展开.结合同角三角函数关系式即可化简求值. 【详解】
由诱导公式及正弦二倍角公式化简cos 22πα⎛⎫
+
⎪⎝⎭
可得 cos 2sin 22sin cos 2παααα⎛⎫
+=-=- ⎪⎝⎭
由tan α=可得
sin cos α
α
=
即sin αα=,两边同时平方可得22sin 3cos αα= 由同角三角函数关系式22sin cos 1αα+= 由上述两式可得2
1cos 4
α=
而()
2sin cos 2cos αααα-=-⋅
2α==
即cos 222
πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭ 故选:A 【点睛】
本题考查了同角三角函数式的化简求值,诱导公式及正弦二倍角公式的应用,属于基础题.
11．已知双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且垂
直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若1F AB ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B 1
C 1
D
【解析】根据双曲线的对称性可知若1F AB ∆为等腰直角三角形,则11AF BF =且
190AF B ∠=o ,进而由通径长与焦距关系求得双曲线的离心率.
【详解】
双曲线22
221x y a b
-=（0a >,0b >）的左右焦点分别为1F 、2F ,若1F AB ∆为等腰直角
三角形
则11AF BF =且1
90AF B ∠=o 由双曲线的对称性可知121245AF F BF F ∠=∠=o
由等腰直角三角形性质可得212AF F F =
即2
2b c a
= 化简可得22b ac =,由双曲线中222b c a =- 可得2220c ac a --= 同时除以2a 可得2210e e --=
解得1e = 因为1e >
所以1e =故选:C 【点睛】
本题考查了双曲线的标准方程与几何性质的应用,双曲线离心率的求法,属于基础题. 12．若过点(1,)P m -可作曲线32()6f x x x =-+的三条切线，则实数m 的取值范围为（ ） A ．198m -<< B ．207m -<< C ．19m <-或8m > D ．20m <-或7m >
【答案】B
【解析】设出切点坐标,利用导数求得切线的斜率,再用两点式表示出斜率.令两个斜率相等,即可得关于切点横坐标的方程,分离参数后研究三次函数的极值情况即可求得m 的
【详解】
过点(1,)P m -作曲线32
()6f x x x =-+的切线
则2
'()312f x x x =-+ 设切点坐标为()00,Q x y 则3
2
0006y x x =-+
则过切点的直线方程的斜率为2
000'()312k f x x x ==-+ 过切点()00,Q x y 和(1,)P m -的斜率为001
PQ y m
k x -=
+ 则320002
000063121y x x y m x x x ⎧=-+⎪-⎨-+=⎪+⎩
化简可得320002312m x x x =-- 令()3200002312g x x x x =--,
则()()()200000'6612621g x x x x x =--=-+ 令()0'0g x = 解得01x =-或02x =
当01x <-时, ()0'0g x >,所以()0g x 单调递增 当012x -<<时, ()0'0g x <,所以()0g x 单调递减 当02x <时, ()0'0g x >,所以()0g x 单调递增 画出函数图像如下图所示:
所以当01x =-时, ()3200002312g x x x x =--取得极大值为
()()()()32
121311217g -=⨯--⨯--⨯-=
所以当02x =时, ()3200002312g x x x x =--取得极小值为
()322223212220g =⨯-⨯-⨯=-
所以若320002312m x x x =--有三个不同交点,则207m -<<
此时满足过点(1,)P m -可作曲线32
()6f x x x =-+三条切线
故选:B 【点睛】
本题考查了导数的几何意义与切线方程的应用,利用导数研究函数单调性、极值和最值,属于中档题.
二、填空题
13．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪封花纹，用于装点生活或配合其它民俗活动的民间艺术，蕴含了极致的数学美和丰富的文化信息.下图是一个半径为2个单位的圆形中国剪纸图案,为了测算图中黑色部分的面职，在圆形区域内随机投掷400个点,其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分面积是__________．
【答案】94
π 【解析】根据几何概型概率的计算方法即可求得黑色部分的面积.
【详解】
半径为2个单位的圆形
面积为24S r ππ==
根据几何概型概率计算公式可知,设黑色部分面积为'S 则
'225400S S =,即'2254400
S π= 解得9'4S π= 故答案为:
94
π 【点睛】
本题考查了几何概型概率的计算公式用法,属于基础题.
14．已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(1)(1)f x f x -=+，当01x <<时，2()log f x x =，则()944f f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
的值为_____. 【答案】2
【解析】根据(1)(1)f x f x -=+可知函数为周期函数,并求得周期T ,结合奇函数的性质即可求值.
【详解】
因为(1)(1)f x f x -=+
令1x x =+,代入可得()(2)f x f x =+
即()f x 为周期为2T =的周期函数
()f x 为定义在R 上的奇函数,则(0)0f = 所以()944f f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ()920224f f ⎛⎫=-+++⨯ ⎪⎝⎭ ()104f f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 21log 24
=-= 故答案为:2
【点睛】
本题考查了奇函数的性质及应用,周期函数的判断及求值,属于基础题.
15．三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知60C =︒，5b =，7c =，则a =__________，ABC ∆的面积为________．
【答案】8
【解析】先由余弦定理求得a 的值,再根据三角形面积即可求得ABC S ∆.
【详解】
由余弦定理可知,2222cos c a b ab C =+- 代入可得214925252
a a =+-⨯⨯⨯ 化简得25240a a --=,即()()830a a -+=
所以8a = 由三角形面积公式可得1sin 2ABC S ab C ∆=
代入可得185sin 602
ABC S ∆=⨯⨯=o
故答案为: 8;
【点睛】
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的求法,属于基础题.
16．如图所示，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，3BAC π∠=,2PA AB BC ===，E 是PC 的中点，求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值___．
【答案】14
【解析】取BC 中点F ,连接,AF EF ,则可得AEF ∠即为AE 和PB 所成角.由垂直关系可分别求得AEF ∆的三边长,再由余弦定理即可求得AEF ∠的余弦值.
【详解】
因为三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,3BAC π∠=
,2PA AB BC === 则ABC ∆为等边三角形 所以2222AE AC ==⨯= 取BC 中点, 连接,AF EF .则AEF ∠即为AE 和PB 所成角,如下图所示:
1122222EF PB =
=⨯=3323AF AB ===则在AEF ∆中,由余弦定理可知2222cos AF AE EF AE EF AEF =+-⋅⋅∠ 代入可得322222AEF =+-∠
解得1cos 4
AEF ∠=
即异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14 故答案为:
14
【点睛】 本题考查了异面直线夹角的求法,余弦定理解三角形中的应用,属于基础题.
三、解答题
17．如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 正方形，E 为PD 中点.
（1）求证：PB P 平面ACE ；
（2）已知PA ⊥平面ABCD 且2PA AB ==，求三棱锥D ACE -体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）23
【解析】(1)连接BD 交AC 与O ,连接OE ,根据中位线定理即可证明OE PB P ,从而证明PB P 平面ACE ;
(2)根据12
D AC
E E ACD P ACD V V V ---==
,由三棱锥体积公式即可求解. 【详解】
(1)连接BD 交AC 与O ,连接OE
则OE PB P ,又OE ⊆平面AEC ,且PB ⊄平面AEC
所以PB P 平面ACE
(2)取AD 的中点F ,连接EF ,则PA EF P PA ⊥Q 平面ABCD
∴12D ACE E ACD P ACD V V V ---==. 111[()]232
AD CD PA =⨯⨯⨯ 1112[(22)2]2323
=⨯⨯⨯⨯⨯=
【点睛】
本题考查了直线与平面的平行判定,三棱锥体积的求法,属于基础题.
18．某某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：
⋯，并整理得到如下频率分布直方图：
[20,30),[30,40),[80,90]
（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；
（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
【答案】(1)0.4.
(2)20人.
(3)3:2.
【解析】【详解】
分析：(1)根据频率分布直方图可知,即可求解样本中分数不小于70的频率，进而得到分数小于70的概率；
(2)根据题意，根据样本中分数不小于50的频率为0.9，求得分数在区间[40,50)内的人数为5人，进而求得总体中分数在区间[40,50)内的人数；
（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为60人，求得样本中分数不小于70的男生人数，即可求解.
详解：(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为
(0.02+0.04)×10=0.6 ,
样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.
∴从总体的400名学生中随机抽取一人其分数小于70的概率估计为0.4
(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为
()
+++⨯=，
0.010.020.040.02100.9
分数在区间[)40,50内的人数为1001000.955-⨯-=．
所以总体中分数在区间[)40,50内的人数估计为540020100
⨯=． （3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为
()0.020.041010060+⨯⨯=，
所以样本中分数不小于70的男生人数为160302
⨯= 所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，男生和女生人数的比例为60:403:2=
点睛：本题主要考查了用样本估计总体和频率分布直方图的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.
19．已知等差数列{}n a 满足124a a =+且182012a a +=，等比数列{}n b 的首项为2，公比为q .
（1）若3q =，问3b 等于数列{}n a 中的第几项？
（2）若2q =，数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别记为n S 和n T ，n S 的最大值为M ，试比较M 与9T 的大小.
【答案】(1) 16 (2) 9M T <
【解析】
(1)根据等差数列的通项公式,即可求得数列{}n a 的通项公式.根据等比数列的首项与公比,求得等比数列{}n b 的通项公式,进而可求得3b .即可求出3b 等于数列{}n a 中项.
(2)根据等差数列的求和公式即可求得等差数列前n 项和的最大值为M .由等比数列的前n 项和公式求得9T 的值,即可比较M 与9T 的大小.
【详解】
(1) 因为等差数列{}n a 满足124a a =+
即214a a -=-,所以等差数列{}n a 的公差4d =-
又182012a a +=
得11171912a d a d +++=,代入可得178a =
所以()()()117814482n a a n d n n =+-=+--=-+
当等比数列{}n b 的首项为2,公比为q .
当3q =时
11123n n n b b q --==⨯
所以22312318b b q ==⨯=
所以当18482n =-+时
解得16n =
即3q =时3b 等于数列{}n a 中的第16项
(2) 等比数列{}n b 的首项为2,若2q =
由()111n n a q T q -=-可得()9
10921222102212T ⨯-==-=-
又等差数列{}n a 中()112
n n n d S na -=+代入可得 ()()214782802
n n n S n n n --=+=-+ ()2220800n =--+
所以当20n =时, n S 的最大值为800M =
所以9M T <
【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式的应用,等差数列前n 项和的最值求法,属于基础题.
20．已知ln ()x a f x x
+=，()1x g x e =-. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若0x >时，()()g x f x ≥恒成立，求实数a 的最大值.
【答案】（1）1(0,)a e -递增，1(,)a e -+∞递减.；（2）1
【解析】(1)先求得导函数'()f x ,并令'()0f x =,求得两个极值点.在定义域内讨论导函数的符号,即可求得函数()f x 的单调区间;
(2)通过对不等式()()g x f x ≥转化,即可分离参数a ,构造函数()(1)ln x F x x e x =--,利用导函数求得()F x 的最小值,即可求得a 的最大值.
【详解】
(1)∵()f x 的定义域为(0,)+∞,21ln '()a x f x x
--= 由'()0f x =得,ln 1x a =-,1a x e -=,可得到下表：
即()f x 在1(0,)a e -上递增,在1(,)a e -+∞上递减
(2)当0x >时,()()g x f x ≥
即ln 1x x a e x
+-≥ 化简可得(1)ln x a x e x ≤--
令()(1)ln x F x x e x =--（0x >）,只需min ()a F x ≤
∵()1'()1x F x x e x ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭
令()1x h x e x =-（0x >）,由于21'()0x h x e x
=+>,所以()h x 在()0,∞+上递增 ∵121()202
h e =-<,(1)10h e =-> ∴存在唯一的0(0,)x ∈+∞,使得000
1()0x h x e x =-=
易知()F x 在区间0(0,)x 上递减,在区间0(,)x +∞上递增
∴00min 000000()()(1)ln (ln )x x F x F x x e x x e x x ==--=-+ 由00
10x e x -=得001x x e =,两边取对数得00ln 0x x += ∴()()0min 1F x F x ==
∴1a ≤,即a 的最大值为1
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性,根据导函数研究函数的极值与最值,不等式中参数取值范围的求法,构造函数求最值形式,综合性强,属于难题.
21．已知动圆Q 与直线102x +=相切，且与圆223204
x y x +-+=外切. （1）求动圆Q 圆心轨迹C 的方程；
（2）已知过点(),0M m 的直线l :x ky m =+与曲线C 交于A ，B 两点，是否存在常数m ，使得2211AM
BM +恒为定值？ 【答案】（1）24y x =；（2）存在
【解析】(1)根据两点间距离公式及相切条件,即可求得动圆圆心的轨迹方程.
(2)将直线方程与抛物线方程联立,消x 后可得关于y 的一元二次方程,表示成韦达定理形式.由两点间距离公式,表示出2211AM BM +,代入12,y y 韦达定理形式,即可得,m k 的表达式.并用换元法,求得m 的值即可.
【详解】
(1)圆22
3204x y x +-+=化为标准方程为221(1)4
x y -+= 则圆心为()1,0,半径为12
设动圆Q 圆心坐标为(),Q x y ,由动圆Q 与直线102
x +=相切,且与圆()22114x y -+=外切
11+22
x =+
1x =+
两边平方整理得24y x =
所以动圆Q 圆心轨迹C 的方程为2
4y x =
(2)由题意可将直线l 的方程为x ky m =+与抛物线2:4C y x =联立 24x ky m y x
=+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ky m --= 则124y y m =-,124y y k +=
()()222222
11221111||||AM BM x m y x m y +=+-+-+ ()()()221222222221212
11111y y k y k y k y y +=+=+++ ()()
2221212222222212()216822(1)1116y y y y k m k m m k k y y k m +-++===+++ 上式对任意k ∈R 恒为定值,设()
222221k m t m k +=+, 整理得()()
2222220m t k m t m -+-= 由2222020m t m t m ⎧-=⎨-=⎩
,解得2m = 此时22111||||4
AM BM += ∴存在定点2m =,满足题意
【点睛】
本题考查了轨迹方程的求法,直线与抛物线的位置关系,抛物线中的定值问题解法,化简过程较为繁琐,属于难题.
22．已知直线l
的极坐标方程为sin 42
πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C
的参数方程为2cos ,x y ϕϕ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；
（2）若过()0,2M 且与直线l 垂直的直线'l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求||AB .
【答案】（1）10x y +-=，22143x y +=；（2
）7
【解析】
(1)根据极坐标与直角坐标方程的转化,参数方程与普通方程的转化即可得直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程;
(2)根据直线'l 与直线l 垂直且过()0,2M ,可得直线'l 的参数方程.将直线'l 的参数方程与曲线C 联立,结合韦达定理及参数方程的几何意义即可求得||AB .
【详解】
(1)由直线l
极坐标方程为sin 42πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭,
即sin cos 222
ρθρθ+=, 根据极坐标与直角坐标的互化公式,可得直线l 直角坐标方程：10x y +-=,
由曲线C
的参数方程为2cos ,x y ϕϕ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）,
则22()12x +=, 整理得椭圆的普通方程为22
143
x y +=. (2)由已知直线l 与'l 垂直,所以直线'l 的倾斜角为4
π, 直线'l 的参数方程为cos ,42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,
即,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）,
把直线'l
的参数方程,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22143x y +=
化简得2780t ++=
设1t ,2t 是上述方程的两个实根,
则有121278
7t t t t ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
又直线'l 过点()0,2M
故由上式及t 的几何意义得
12
||||
7
AB t t
=-==
【点睛】
本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程的转化,参数方程的几何意义,属于中档题. 23．已知()|1||2|
f x ax x
=-++.
（1）1
a=时，求不等式()5
f x≥的解集；
（2）若()3
f x x
≤-的解集为A且[]
4,2
--是集合A的子集，求a的取值范围.
【答案】（1）{3
|x x≤-或2}
x≥；（2）()
3
,1
2
-
【解析】(1)代入1
a=,可得()|1||2|
f x x x
=-++.对x分类讨论即可得解不等式的解集.
(2)根据不等式在[]
4,2
--上恒成立,去绝对值化简可得|1|5
ax-<.再去绝对值即可得关于a的不等式组,解不等式组即可求得a的取值范围.
【详解】
(1)当1
a=时,()|1||2|
f x x x
=-++
21,2
()123,21
21,1
x x
f x x x x
x x
--≤-
⎧
⎪
=-++=-<≤
⎨
⎪+>
⎩
由()5
f x≥可得
215
2
x
x
--≥
⎧
⎨
≤-
⎩
或
35
21
x
≥
⎧
⎨
-<≤
⎩
或
215
1
x
x
+≥
⎧
⎨
>
⎩
解不等式组可得
3
2
x
x
≤-
⎧
⎨
≤-
⎩
或
2
1
x
x
≥
⎧
⎨
>
⎩
即3
x≤-或2
x≥
综上()5
f x≥的解集为{3
|x x≤-或2}
x≥
(2)由题意可知,()3
f x x
<-在[]
4,2
--上恒成立
即|1|23
ax x x
---<-在[]
4,2
--上恒成立
即|1|5
ax-<在[]
4,2
--上恒成立
由|1|5
ax-<可得46
ax
-<<
又[4,2]x ∈--
∴446426a a -<-<⎧⎨-<-<⎩,即31232
a a ⎧-<<⎪⎨⎪-<<⎩ ∴312
a -<< 故a 的取值范围为()3,12
-
【点睛】 本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论解绝对值不等式的应用,含参数不等式的解法,属于中档题.。