《存在量词与特称命题》 导学案

《存在量词与特称命题》导学案
一、学习目标
1、理解存在量词的含义。

2、掌握特称命题的概念及形式。

3、能够正确判断特称命题的真假。

二、学习重难点
1、重点
（1）存在量词的理解。

（2）特称命题的形式及真假判断。

2、难点
特称命题真假的判断及应用。

三、知识回顾
1、全称量词与全称命题
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示。

（2）全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题。

全称命题“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”，可用符号简记为：∀x∈M，p(x)。

四、新课导入
在我们的日常生活和数学学习中，除了会遇到像“所有的”“任意一个”这样表示整体的量词外，还会经常碰到“存在一个”“至少有一个”等表示部分的量词。

例如，“存在一个实数 x，使得 x²＝1”，“至少有一个学
生的数学成绩在 90 分以上”。

这些量词和与之相关的命题就是我们今
天要学习的存在量词和特称命题。

五、存在量词
1、存在量词的定义
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示。

2、常见的存在量词
除了“存在一个”“至少有一个”外，还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等。

六、特称命题
1、特称命题的定义
含有存在量词的命题，叫做特称命题。

2、特称命题的形式
特称命题“存在 M 中的元素 x，使 p(x)成立”，可用符号简记为：
∃x∈M，p(x)。

3、特称命题的真假判断
要判断一个特称命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合 M 中找
到一个元素 x，使 p(x)成立即可；要判断一个特称命题是假命题，需要
证明集合 M 中，不存在使 p(x)成立的元素。

七、例题讲解
例 1：判断下列特称命题的真假。

（1）∃x∈R，x²＜ 0
（2）∃x∈Q，x²＝ 3
解：（1）因为对任意实数 x，x²≥0，所以不存在实数 x，使得 x²＜0，所以特称命题“∃x∈R，x²＜0”是假命题。

（2）因为使 x²＝ 3 成立的实数 x ＝±√3，而±√3 都不是有理数，
所以不存在有理数 x，使得 x²＝ 3，所以特称命题“∃x∈Q，x²＝3”是
假命题。

例 2：已知特称命题“∃x∈R，使 x²＋（a 1)x ＋ 1 ＜0”是假命题，求实数 a 的取值范围。

解：因为特称命题“∃x∈R，使 x²＋（a 1)x ＋ 1 ＜0”是假命题，
所以其否定“∀x∈R，x²＋（a 1)x ＋1≥0”是真命题。

对于二次函数 y ＝ x²＋（a 1)x ＋ 1，其判别式Δ ＝（a 1)² 4 ≤ 0，即（a 1)² ≤ 4，
－2 ≤ a 1 ≤ 2，
－1 ≤ a ≤ 3，
所以实数 a 的取值范围是-1, 3。

八、课堂练习
1、判断下列特称命题的真假：
（1）∃x∈Z，3x ＋ 4 ＝ 5
（2）∃x∈R，｜x| ＋ x ＝ 0
2、已知特称命题“∃x∈R，使 2x²＋ ax ＋ 1 ＜0”是假命题，求实数 a 的取值范围。

九、课堂小结
1、存在量词：“存在一个”“至少有一个”等。

2、特称命题：“∃x∈M，p(x)”。

3、特称命题的真假判断：找到一个元素使命题成立则为真，否则为假。

十、课后作业
1、课本 P_____习题_____。

2、思考：全称命题与特称命题之间有怎样的关系？
通过本节课的学习，我们对存在量词和特称命题有了初步的认识和理解。

在今后的学习中，我们还会不断遇到与它们相关的问题，希望同学们能够熟练掌握，灵活运用。