北京市平谷区2020年高二第二学期数学期末复习检测试题含解析

北京市平谷区2020年高二第二学期数学期末复习检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若0a <b <，则下列不等式中成立的是（ ） A ．|a|>b -
B ．
1a b
< C ．a b -<- D ．
11a b
< 2．设,x y 满足约束条件022020x y x y kx y -≤⎧⎪
+-≤⎨⎪-+≥⎩
，若0k >，且2z x y =-的最大值为6，则k =（ ）
A ．
12
B ．
43
C ．
54
D ．
65
3．从装有大小形状完全相同的3个白球和7个红球的口袋内依次不放回地取出两个球，每次取一个球，在第一次取出的球是白球的条件下，第二次取出的球是红球的概率为（ ） A ．
715
B ．
12
C ．
710
D ．
79
4．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以F 为圆心、OF 为半径的圆与
x 轴交于,O A 两点，与双曲线C 的一条渐近线交于点B ，若4AB a =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）
A ．y x =±
B ．2y x =±
C ．3y x =±
D ．4y x =±
5．对任意实数x ，若不等式12x x k +-->在R 上恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．3k < B ．3k <-
C ．3k ≤-
D ．
6．函数在区间上的最大值为（ ）.
A ．17
B ．12
C ．32
D ．24
7．函数
，
，且
，
，
恒成立，则实数的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
8．抛物线2430x y +=的准线方程为（ ） A ．1
3
x =
B ．13
y =
C ．316
x =
D ．316
y =
9．设5n
x x ⎛
⎝
的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M N -=240，则展开式中x
的系数为（ ） A ．300
B ．150
C ．－150
D ．－300
10．已知随机变量X 的分布列如下表所示
则(25)E X -的值等于 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．已知函数()2ln x
z e f x k x kx x
=+-，若2x =是函数f x （）的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．,2
e ⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．(]0,2
D ．[
)2,+∞ 12．已知函数()2()ln f x xf e x '=+，则()f e =( ) A ．e -
B ．e
C ．1-
D ．1
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，则使不等式1
2019
113
n T ->成立的最大正整数n 的值是_______． 14．已知函数()()2ln '1f x x x f =-⋅，则()f x =__________________. 15．已知函数()'cos sin 4f x f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭，则4f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为__________． 16．将正整数对作如下分组，第1组为()(){}1,2,2,1，第2组为()(){}
1,3,3,1，第3组为
()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1，第4组为()()()(){}1,5,2,44,25,1⋅⋅⋅⋅⋅⋅则第30组第16个数对为
__________．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．如图，12,l l 是通过某城市开发区中心O 的两条南北和东西走向的街道，连结M ，N 两地之间的铁路线是圆心在2l 上的一段圆弧，若点M 在点O 正北方向3公里；点N 到的12,l l 距离分别为4公里和5公里.
（1）建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；
（2）若该城市的某中学拟在点O 的正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O 的距离大于4公里，并且铁路上任意一点到校址的距离不能小于26公里，求该校址距点O 的最短距离（注：校址视为一个点） 18．已知函数2ln ()()
x
f x x a =
+，其中a 为常数．
(1)若0a =，求函数()f x 的极值；
(2)若函数()f x 在(0,)a -上单调递增，求实数a 的取值范围．
19．（6分）设命题p ：方程22112x y m m +=-+表示双曲线；命题q ：“方程22212x y
m m
+=表示焦点在x 轴
上的椭圆”.
（1）若p 和q 均为真命题，求m 的取值范围;
（2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围. 20．（6分）在二项式32()n x x
-
的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.
（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有有理项的系数之和.
21．（6分）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，113
A D =.
（1）求该四棱柱的侧面积与体积；
（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小.
22．（8分）已知直线1l 是抛物线2
:2(0)C x py p =>的准线，直线2l :3460x y --=，且2l 与抛物线C
没有公共点，动点P 在抛物线C 上，点P 到直线1l 和2l 的距离之和的最小值等于2. （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）点M 在直线1l 上运动，过点M 做抛物线C 的两条切线，切点分别为12,P P ，在平面内是否存在定点N ，使得12MN PP ⊥恒成立？若存在，请求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】
对于A ，用不等式的性质可以论证，对于B ，C ，D ，列举反例，可以判断． 【详解】
∵a ＜0，∴|a|＝﹣a ，∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ＞0，∴|a|＞﹣b ，故结论A 成立； 取a ＝﹣2，b ＝﹣1，则 ∵
21a
b
=＞，∴B 不正确； 21a b -=-=，，∴a b --＞，∴C 不正确；
112a =-，11b =-，∴11
a b
＞，∴D 不正确． 故选：A ． 【点睛】
本题考查不等式的性质，解题的关键是利用不等式的性质，对于不正确结论，列举反例． 2．B 【解析】
分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解代入目标函数得答案.
详解：由约束条件作出可行域如图：
化目标函数2z x y =-为11
22y x z =-， 由图可知，当直线11
22
y x z =-过B 时，直线在y 轴上的截距最小，即z 最大，
联立
020
x y kx y -=-+=，解得2
2,11B k k ⎛⎫
⎪--⎝⎭
， max 2426111
z k k k =
-==---，解得43k =.
故选：B.
点睛：线性规划中的参数问题及其求解思路
(1)线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．
(2)求解策略：解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值． 3．D 【解析】 【分析】
运用条件概率计算公式即可求出结果 【详解】
令事件A 为第一次取出的球是白球，事件B 为第二次取出的球是红球
，则根据题目要求得()()()37
7
109|3910
P AB P B A P A ⨯=
==， 故选D 【点睛】
本题考查了条件概率，只需运用条件概率的公式分别计算出事件概率即可，较为基础。

4．B 【解析】 【分析】
取OB 的中点H ，利用点到直线距离公式可求得FH b =，根据2AB FH =可得2a b =，从而可求得渐近线方程. 【详解】
如图，取OB 的中点H ，则FH 为点(,0)F c 到渐近线0bx ay -=的距离 则22
bc
FH b c
a b bc =
=
=+ 又F 为OA 的中点 2AB FH ∴= 42a b ∴=，即：2a b = 故渐近线方程为：2y x =± 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查双曲线几何性质的应用，关键是能够利用点到直线距离公式和中位线得到,a b 之间的关系. 5．B 【解析】
考点：绝对值不等式；函数恒成立问题．
分析：要使不等式|x+2|-|x-1|＞a 恒成立，需f （x ）=|x+2|-|x-1|的最小值大于a ，问题转化为求f （x ）的最小值．
解：（1）设f （x ）=|x+2|-|x-1|，则有f （x ）=32
{122131
x x x x -≤----≤≤≥，，，， 当x≤-2时，f （x ）有最小值-1；当-2≤x≤1时，f （x ）有最小值-1； 当x≥1时，f （x ）=1．综上f （x ）有最小值-1，所以，a ＜-1． 故答案为B ． 6．D 【解析】 【分析】
对函数求导，求出函数的极值点，分析函数的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数的最大值。

【详解】
，则
，令
，列表如下：
极大值极小值
所以，函数的极大值为，极小值为，
又，，因此，函数在区间上的最大值为，
故选：D。

【点睛】
本题考查利用导数求函数在定区间上的最值，解题时严格按照导数求最值的基本步骤进行，考查计算能力，属于中等题。

7．A
【解析】
【分析】
构造函数，根据函数的单调性得到在上恒成立，参数分离得到
，计算的最小值得到答案.
【详解】
不妨设，，可得：.
令，则在单调递减，所以在上恒成立，
，
当时，，
当时，，则，
所以在单调递减，是，所以.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，恒成立问题，构造函数是解题的关键.
8．D
【分析】
化简抛物线方程为标准方程，然后求解准线方程． 【详解】
抛物线2
430x y +=的标准方程为：2
34x y =-
，准线方程316
y =． 故选：D ． 【点睛】
本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力． 9．B 【解析】 【分析】
分别求得二项式展开式各项系数之和以及二项式系数之和，代入240M N -=，解出n 的值，进而求得展开式中x 的系数. 【详解】
令1x =，得4n M =，故42240n n M N -=-=，解得4n =.二项式为4
5x
⎛
⎝
，展开式的通项公式
为()
()1
34442
2
4
4515r
r r
r r
r r C x x C x ----⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
，令3412r -=，解得2r =，故x 的系数为
()
2
422
415150C --⋅⋅=.故选B.
【点睛】
本小题主要考查二项式展开式系数之和、二项式展开式的二项式系数之和，考查求指定项的系数，属于中档题. 10．A 【解析】 【分析】
先求出b 的值，再利用期望公式求出E(X)，再利用公式求出()25E X -. 【详解】
由题得0.1+0.2+0,20.11,0.4,b b ++=∴=，
所以()10.120.230.440.250.13E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以(25)2()52351E X E X -=-=⨯-=. 故答案为：A
(1)本题主要考查分布列的性质和期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若
a b ηξ=+(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量， E η=()E a b aE b ξξ+=+，
2()D a b a D ξξ+=.
11．A 【解析】 【分析】
由f x （）的导函数形式可以看出，需要对k 进行分类讨论来确定导函数为0时的根．
【详解】
解：∵函数f x （）的定义域是0（，）
+∞ ∴()()
()23
3
222'x x e kx x e x k f x k x x x
---=
+-=（）， ∵2x =是函数f x （）的唯一一个极值点 ∴2x =是导函数'0f x =（
）的唯一根， ∴20x e kx -=在0（，）
+∞无变号零点， 即2x e k x =在0x ＞上无变号零点，令()2x
e g x x
=，
因为()3
2'x e x g x x
（）-=
，
所以g x （）在02（，）
上单调递减，在2x ＞上单调递增 所以g x （）的最小值为224e g =（），
所以必须2
4
e k ≤，
故选：A ． 【点睛】
本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论． 12．C 【解析】 【分析】
先求导，再计算出()f e '，再求()f e . 【详解】
由题得111()2(),()2(),()f x f e f e f e f e x e e
'''''=+∴=+∴=-， 所以1
()2()ln 2()11f e ef e e e e
=+=⨯+'-=-.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查导数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力，属基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．6 【解析】 【分析】
设等比数列{a n }的公比q ，由于是正项的递增等比数列，可得q ＞1．由a 1+a 5=82，a 2•a 4=81=a 1a 5，∴a 1，a 5，是一元二次方程x 2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a 1，a 5，利用通项公式可得q ，a n ．利用等比数列的求和公式可得数列{2n a }的前n 项和为T n ．代入不等式2019|1
3
T n ﹣1|＞1，化简即可得出． 【详解】
数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，a 2•a 4=81=a 1a 5， 即15158281a a a a +=⎧⎨
⋅=⎩解得15181
a a =⎧⎨=⎩，则公比3q =，∴13n n a -=，
则2122221333n n T -=++++L 11132311313
n n -
⎛⎫
=⨯
=- ⎪⎝⎭
-， ∴12019
113n T ->，即1
201913
n ⨯>，得32019n <，此时正整数n 的最大值为6. 故答案为6. 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14．2ln x x - 【解析】 【分析】
对函数()y f x =求导，再令1x =可求出()1f '，于是可得出函数()y f x =的解析式。

【详解】
对函数()y f x =求导得()()2
1f x f x
''=
-，()()121f f ''∴=-，解得()11f '=， 因此，()2ln f x x x =-，故答案为：2ln x x -. 【点睛】
本题考查导数的计算，在求导数的过程中，注意()f a 、()f a '均为常数，可通过在函数解析式或导数解析式赋值x a =解得，考查运算求解能力，属于中等题。

15．1 【解析】
()
''sin cos 4f x f x x π⎛⎫
=-⋅+ ⎪⎝⎭Q ，''sin cos 4444f
f ππππ⎛⎫
⎛⎫
∴=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得'14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故
)
'cos sin 11444422
f f ππππ⎛⎫⎛⎫
=+=
+
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故答案为1. 16．(17,15) 【解析】
根据归纳推理可知，每对数字中两个数字不相等，且第一组每一对数字和为3，第二组每一对数字和为4，第三组每对数字和为5,......，第30组每一对数字和为32， ∴第30组第一对数为()1,31，第二对数为
()2,30,.......，第15对数为()15,17，第16对数为()17,15，故答案为()17,15.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（1）22(4)25x y -+=（04,35)x y ≤≤≤≤；（2）5km .
【解析】 【分析】
（1）以垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标为(,0)x ，由圆心到,M N 两点的距离相等求出
x ，即圆心坐标，再求出半径，可得圆方程，圆弧方程在圆方程中对变量,x y 加以限制即可。

（2）设校址坐标为(,0)a ，4a >，根据条件列出不等式，由函数单调性求最值解决恒成立问题。

【详解】
（1）以直线2l 为x 轴，1l 为y 轴，建立如图所求的直角坐标系，则(0,3)M ，(4,5)N ，设圆心为(,0)C x ，
则2
2
9(4)25x x +=-+，解得4x =。

即(4,0)C ，圆半径为5r ==，∴圆方程为
22(4)25x y -+=，
∴铁路线所在圆弧的方程为22
(4)25x y -+=（04,35)x y ≤≤≤≤。

（2）设校址为B (,0)a ，4a >，(,)P x y 是铁路上任一点， 22()26x a y -+≥
04x ≤≤22()25(4)26x a x -+--04x ≤≤恒成立，
整理得2
(82)170a x a -+-≥对04x ≤≤恒成立， 记2
()(82)17f x a x a =-+-，
∵4a >，∴820a -<，()f x 在[0,4]上是减函数，
∴4
(4)0
a f >⎧⎨
≥⎩，即2
44(82)170a a a >⎧⎨-+-≥⎩，解得5a ≥。

即校址距点O 最短距离是5km 。

【点睛】
本题考查求点的轨迹方程、求圆的方程，考查不等式恒成立问题。

不等式恒成立可转化为通过求函数的最值得以解决，属于中档题。

18．（1）见解析；（2）1
22a e -≤-. 【解析】
分析：求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间，利用函数的单调性可求出函数的极值；（2）()f x 在()0,a -上单调递增等价于()0f x '≥在()0,x a ∈-上恒成立，求得导数和单调区间，讨论a -与极值点的关系，结合单调性，运用参数分离和解不等式可得a 范围. 详解：（1）当0a =时：()2ln x
f x x
=的定义域为()0,+∞ ()3
12ln x
f x x -'=
令()0f x '=，得x e =
当(x e ∈时，()0f x '>，()f x 在(e 上单调递增；
当)
,x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在
(
)
,e +∞上单调递减；
当x =
()f x
的极大值为1
2f
e
=
，无极小值. （2）()()
3
12ln a
x x f x x a +
-+'=
()f x Q 在()0,a -上单调递增
()0f x ∴'≥在()0,x a ∈-上恒成立，
()()3
0,,0x a x a ∈-∴+<Q ∴只需12ln 0a
x x
+
-≤在()0,x a ∈-上恒成立 ∴ 2ln a x x x ≤-在()0,x a ∈-上恒成立
令()()2ln ,0,g x x x x x a =-∈- 则()2ln 1g x x ='+ 令()0g x '=，则：1
2x e -=
①若1
20,a e -<-<即120e a --<<时
()0g x '<在()0,x a ∈-上恒成立
∴ ()g x 在()0,a -上单调递减 ∴ ()()()2ln a a a a ≤---- ∴ ()ln 0a -≥，∴ 11a a -≥⇒≤-
这与1
2a e ->-矛盾，舍去 ②若12,a e -->即1
2a e -<-时
当120,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减； 当12,x e a -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 在1
2,e a -⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递增；
当1
2x e -=时，()g x 有极小值，也是最小值，
∴ ()11111
22222min 2ln 2g x g e e e e e -----⎛⎫
==⋅-=- ⎪⎝⎭
∴
12
2a e -≤-
综上1
22a e -≤-
点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得a 的最大值. 19．（1）2m >；（2）2m <-或12m <≤ 【解析】 【分析】
（1）根据双曲线方程和椭圆方程的标准形式，可得122m m m ><-⎧⎨
>⎩或，
，
同时成立，从而求出2m >；
（2）p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 、q 一真一假，再根据集合的交、补运算求得2m <-或12m <≤.
【详解】
（1）若p 为真命题，则(1)(2)0m m -+<，解得：1m >或2m <-. 若q 为真命题，则220m m >>，解得：2m >. 若p 和q 均为真命题时，则m 的取值范围为2m >.
（2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 、q 一真一假. 当p 真q 假时，12
2
m m m ><-⎧⎨
≤⎩或解得：2m <-或12m <≤
当p 假q 真时，21
2m m -≤≤⎧⎨
>⎩
，无解
综上所述：m 的取值范围为2m <-或12m <≤. 【点睛】
本题以椭圆、双曲线方程的标准形式为背景，与简易逻辑知识进行交会，本质考查集合的基本运算.
20．（1）8
3358
x （2）-8916
【解析】 【分析】
（1）由二项式定理展开式中的通项公式求出前三项，由前三项系数的绝对值成等差数列列方程即可求得
n ，问题得解．
（2）由()
463
1812r
r r r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，对r 赋值，使得x 的指数为正数即可求得所有理项，问题得解．
【详解】
（1）由二项式定理得展开式中第1r +项为
343311122r
r
r n r
r n r r r n
n T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，0,1,2,,r n =L
所以前三项的系数的绝对值分别为1，112
n C ，2
14n C ，
由题意可得12
112124
n n C C ⨯
=+，整理得2980n n -+=， 解得8n =或1n =（舍去），
则展开式中二项式系数最大的项是第五项，
4
384484335813528T C x x ⨯-⨯⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
（2）因为()463
18
12r
r r r T C x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，
若该项为有理项，则()463
r -是整数，
又因为08r ≤≤，
所以0r =或3r =或6r =，
所以所有有理项的系数之和为036
368
88111789172221616C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，考查分析能力，转化能力及计算能力，属于基础题． 21．（1）(222323)232S =⨯+⨯+⨯⨯=，
22312V =⨯⨯=
（2）EBF ∠= 【解析】
试题分析：⑴根据题意可得：在1Rt AA D ∆中，高13AA ==
∴(222323)232S =⨯+⨯+⨯⨯=
22312V =⨯⨯=
⑵过E 作EF AD ⊥，垂足为F ，连结BF ，则EF ⊥平面ABCD ， ∵BE ⊂平面ABCD ，∴EF BF ⊥
∴在Rt BEF ∆中，EBF ∠就是BE 与平面ABCD 所成的角 ∵1,EF AD AA AD ⊥⊥，∴1EF AA P ，
又E 是1A D 的中点，∴EF 是1AA D ∆的中位线， ∴11322
EF AA =
=
在Rt AFB ∆中BF =
∴3
tan 2EBF ∠=
÷=
∴EBF ∠= 考点：线面角，棱柱的体积
点评：解决的关键是对于几何体体积公式以及空间中线面角的求解的表示，属于基础题． 22． (1) 24x y = (2) 存在定点(0,1)N ，使得12MN PP ⊥恒成立 【解析】
试题分析：（Ⅰ）作,PA PB 分别垂直1l 和2l ，垂足为,A B ，抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，根据抛物线的定义可得12d d +的最小值即为点F 到直线2l 的距离，故26225
p d p --=
=⇒=，
从而可得结果；（Ⅱ）设(),1M m -，()0,N n ，21111
,4P x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，2
2221
,4
P x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，利用导数得到切线斜率，可设出切线方程，根据点M 在切线上可得到1x 和2x 是一元二次方程2240x mx --=的根，利用韦达定理以及平面向量数量
积公式，可得1n =时12·
0PP MN =u u u u v u u u u v
，从而可得结论. 试题解析：（Ⅰ）作,PA PB 分别垂直1l 和2l ，垂足为,A B ，抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 由抛物线定义知PA PF =，所以12d d PA PB PF PB +=+=+， 显见12d d +的最小值即为点F 到直线2l 的距离，故26225
p d p --=
=⇒=，
所以抛物线C 的方程为2
4x y =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线1l 的方程为1y =-，当点M 在特殊位置()0,1-时，显见两个切点12,P P 关于y 轴对称，故要使得12MN PP ⊥，点N 必须在
y 轴上． 故设(),1M m -，()0,N n ，21111
,4P x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，2
2221
,4
P x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，
抛物线C 的方程为214y x =
，求导得1'2y x =，所以切线1MP 的斜率1112k x =， 直线1MP 的方程为()21111142
y x x x x -=-，又点M 在直线1MP 上，
所以()211111142
x x m x --=-，整理得2
11240x mx --=，
同理可得2
22240x mx --=，
故1x 和2x 是一元二次方程2
240x mx --=的根，由韦达定理得1212
24x x m
x x +=⎧⎨=-⎩，
2212212111·,44PP MN x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭u u u u v u u u u v ()()211
·,14m n x x -+=- ()()2141m n x x ⎡⎤-+++⎣⎦ ()()2114214x x m m n ⎡⎤=
--++⎣⎦
()()211
12
m x x n =--， 可见1n =时，12·0PP MN =u u u u v u u u u v
恒成立， 所以存在定点()0,1N ，使得12MN PP ⊥恒成立．。