山东省淄博市桓台二中2022届高三上学期9月月考数学试卷(理科) Word版含解析

2021-2022学年山东省淄博市桓台二中高三（上）9月月考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分.
1．（5分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P∪Q=（）
A．（﹣1，2）B．（0，1） C．（﹣1，0）D．（﹣1，3）
2．（5分）已知集合M={x|x2﹣x﹣2=0}，N={﹣1，0}，则M∪N=（）
A．{﹣1，0，2}B．{﹣1}C．{0}D．∅
3．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（x﹣1）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）
4．（5分）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）设曲线y=a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）在点（2，6）处的切线方程为y=3x，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5
6．（5分）若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（2，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B ．C．[2，+∞）D ．
7．（5分）“a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．（5分）设a∈R，则“a2＞1”是“a3＞1”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
9．（5分）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2”的否定形式是（）
A．∃x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2
C．∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2D．∃x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2
10．（5分）已知f（x）在R上是偶函数，f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（11）=（）
A．2 B．9 C．﹣98 D．﹣211．（5分）函数f（x）=lnx ﹣的零点所在的大致区间是（）
A．（1，2） B．（，1）C．（2，3） D．（e，+∞）
12．（5分）已知f（x）是定义域（﹣1，1）的奇函数，而且f（x）是减函数，假如f（m﹣2）+f（2m﹣3）＞0，那么实数m的取值范围是（）
A．（1，）B．（﹣∞，） C．（1，3） D．（，+∞）
13．（5分）已知函数的定义域是R，则实数m的取值范围是（）
A．0＜m＜4 B．0＜m≤4 C．﹣4＜m≤0 D．m≥﹣4
14．（5分）当0＜x ≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）
A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）
15．（5分）已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（log3），c=f（0.20.6）则a，b，c的大小关系是（）
A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
16．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．
17．（5分）设函数，且f（x）为奇函数，则g（）=．18．（5分）设函数f（x）=，若f（m）＞f（﹣m），则实数m的取值范围是．19．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则=．
20．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数．给出下列推断：
①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于直线x=1对称；
③f（2）=f（0）；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（x）在[0，1]上是增函数
其中正确推断的序号是．
三、解答题：共50分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．21．（12分）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．
22．（12分）命题p：∀x∈R，ax2+ax﹣1＜0，命题q：+1＜0．
（1）若“p或q”为假命题，求实数a的取值范围；
（2）若“非q”是“α∈[m，m+1]”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．23．（13分）函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=．（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
24．（13分）已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．
（1）令g（x）为f（x）的导函数，求g（x）单调区间；
（2）已知函数f（x）在x=1处取得极大值，求实数a取值范围．
2021-2022学年山东省淄博市桓台二中高三（上）9月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分.
1．（5分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P∪Q=（）
A．（﹣1，2）B．（0，1） C．（﹣1，0）D．（﹣1，3）
【分析】依据并集的定义写出P∪Q即可．
【解答】解：集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，
那么P∪Q={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3）．
故选：D．
【点评】本题考查了并集的运算问题，是基础题．
2．（5分）已知集合M={x|x2﹣x﹣2=0}，N={﹣1，0}，则M∪N=（）
A．{﹣1，0，2}B．{﹣1}C．{0}D．∅
【分析】化简集合M，依据并集的定义写出M∪N．
【解答】解：集合M={x|x2﹣x﹣2=0}={x|x=2或x=﹣1}={﹣1，2}，
N={﹣1，0}，
则M∪N={﹣1，0，2}．
故选：A．
【点评】本题考查了并集的运算问题，是基础题．
3．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（x﹣1）的定义域为B，则A∩B=（）A．（1，2） B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1）
【分析】利用函数的定义域分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】解：函数y=的定义域为A，函数y=ln（x﹣1）的定义域为B，
∴A={x|4﹣x2≥0}={x|﹣2≤x≤2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}．
∴A∩B={x|1＜x≤2}=（1，2]．
故选：B．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，留意交集定义、函数性质的合理运用．
4．（5分）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】直接利用两个集合的交集，推断两个集合的关系，推断充要条件即可．
【解答】解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，
“A⊆B”，可得“A∩B=A”．
所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查充要条件的推断与应用，集合的交集的求法，基本学问的应用．
5．（5分）设曲线y=a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）在点（2，6）处的切线方程为y=3x，则a=（）A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】求出导数，求得切线的斜率，由切线方程可得a﹣1=3，即可得到a的值．
【解答】解：y=a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）的导数为：
y′=a ﹣，
在点（2，6）处的切线斜率为a﹣1=3，
解得a=4，
故选：C．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，留意运用导数的几何意义，正确求导是解题的关键．
6．（5分）若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（2，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B ．C．[2，+∞）D ．
【分析】求出导函数f′（x），由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（2，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（2，+∞）上恒成立．解出即可．
【解答】解：f′（x）=k ﹣，
∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（2，+∞）单调递增，
∴f′（x）≥0在区间（2，+∞）上恒成立．
∴k ≥，
而y=在区间（2，+∞）上单调递减，
∴k ≥．
∴k的取值范围是：[，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了利用导数争辩函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．
7．（5分）“a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由二次函数单调性和充要条件的定义可得．
【解答】解：当a=2时，f（x）=x2+2ax﹣2=（x+a）2﹣a2﹣2=（x+2）2﹣6，
由二次函数可知函数在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减；
若f（x）=x2+2ax﹣2=（x+a）2﹣a2﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减，
则需﹣a≥﹣2，解得a≤2，不能推出a=2，
故“a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充要条件的判定，涉及二次函数的单调性，属基础题．
8．（5分）设a∈R，则“a2＞1”是“a3＞1”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【分析】依据已知条件a∈R，“a2＞1，解出a＞1或a＜﹣1，再依据充分必要条件的定义进行推断；
【解答】解：∵a∈R，“a2＞1，∴a＞1或a＜﹣1；
a3＞1，可得a＞1，
∵a＞1⇒a＞1或a＜﹣1；
∴“a2＞1”是“a3＞1”必要不充分条件；
故选B；
【点评】此题主要考查充分必要条件的定义，解题的关键是能够正确求解不等式，此题是一道基础题；
9．（5分）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2”的否定形式是（）
A．∃x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2
C．∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2D．∃x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2
【分析】依据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：依据全称命题的否定是特称命题，则命题∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2的否定∃x ∈R，∀n∈N*，使得n≤x2，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
10．（5分）已知f（x）在R上是偶函数，f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（11）=（）
A．2 B．9 C．﹣98 D．﹣2
【分析】先由f（x+4）=f（x），知函数f（x）为周期为4的函数，故f（11）=f（﹣1），再由f （x）是R上的偶函数，知f（﹣1）=f（1），最终代入已知解析式求值即可．
【解答】解：∵f（x+4）=f（x），
∴f（11）=f（﹣1+4+4+4）=f（﹣1），
∵f（x）是R上的偶函数，
∴f（﹣1）=f（1），
∴f（11）=f（1），
∵x∈（0，2）时，f（x）=2x2，
∴f（11）=f（1）=2×12=2，
故选：A．
【点评】本题考查了函数的周期性定义及其应用，函数的奇偶性应用，转化化归的思想．
11．（5分）函数f（x）=lnx ﹣的零点所在的大致区间是（）
A．（1，2） B．（，1）C．（2，3） D．（e，+∞）
【分析】利用函数的零点判定定理，化简求解即可．
【解答】解：函数f（x）=lnx ﹣的定义域为：x＞0，函数是连续函数，
f（2）=ln2﹣1=ln2﹣lne＜0．
f（3）=ln3﹣＞1﹣=0．
f（2）f（3）＜0，
由函数零点判定定理可知，函数的零点所在的大致区间是（2，3）．
故选：C．
【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，考查转化思想以及计算力量．
12．（5分）已知f（x）是定义域（﹣1，1）的奇函数，而且f（x）是减函数，假如f（m﹣2）+f（2m﹣3）＞0，那么实数m的取值范围是（）
A．（1，）B．（﹣∞，） C．（1，3） D．（，+∞）
【分析】本题可先由函数奇偶性得到函数解析式满足的条件，再化简原不等式，利用函数单调性得到自变量的大小关系，解不等式，得到本题结论．
【解答】解：∵f（x）是定义域（﹣1，1）的奇函数，
∴﹣1＜x＜1，f（﹣x）=﹣f（x）．
∵f（x）是减函数，
∴f（m﹣2）+f（2m﹣3）＞0可转化为
f（m﹣2）＞﹣f（2m﹣3），
∴f（m﹣2）＞f（﹣2m+3），∴，
∴．．
故选A．
【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性和定义域，本题难度不大，属于基础题．
13．（5分）已知函数的定义域是R，则实数m的取值范围是（）A．0＜m＜4 B．0＜m≤4 C．﹣4＜m≤0 D．m≥﹣4
【分析】把函数的定义域是R转化为﹣mx2+mx+1＞0对任意实数x恒成立，然后对m分类求解得答案．
【解答】解：∵函数的定义域是R，
∴﹣mx2+mx+1＞0对任意实数x恒成立，
当m=0时，不等式成立；
当m≠0时，则，解得﹣4＜m＜0．
综上，实数m的取值范围是﹣4＜m≤0．
故选：C．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
14．（5分）当0＜x ≤时，4x＜log a x，则a的取值范围是（）
A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）
【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可
【解答】解：∵0＜x ≤时，1＜4x≤2
要使4x＜log a x，由对数函数的性质可得0＜a＜1，
数形结合可知只需2＜log a x，
∴
即对0＜x ≤时恒成立
∴
解得＜a＜1
故选B
【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法，属基础题
15．（5分）已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f（log3），c=f（0.20.6）则a，b，c的大小关系是（）
A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c
【分析】利用对数和指数幂的运算性质，结合函数单调性和奇偶性的性质是解决本题的关键．【解答】解：∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，
∴b=f（log3）=f（﹣log23）=f（log23），
∵log23=log49＞log47＞1，0＜0.20.6＜1，∴0.20.6＜log47＜log49，
∵在（﹣∞，0]上是增函数，
∴在[0，+∞）上为减函数，
则f（0.20.6）＞f（log47）＞f（log49），
即b＜a＜c，
故选：B
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，依据函数的奇偶性和单调性之间的关系以及对数的运算性质是解决本题的关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
16．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．
【分析】先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k 的值．
【解答】解：由题意得，
∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，
∴2a﹣1=0，得a=，
故答案为：．
【点评】本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．
17．（5分）设函数，且f（x）为奇函数，则g（）=1．
【分析】计算f（），依据奇函数的性质得出g（﹣）．
【解答】解：f（）=log2=﹣1，
∵f（x）是奇函数，
∴g（﹣）=f（﹣）=﹣f（）=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了奇函数的性质，属于基础题．
18．（5分）设函数f（x）=，若f（m）＞f（﹣m），则实数m 的取值范围是（﹣
∞，﹣1）∪（0，1）．
【分析】由分段函数的解析式，争辩m＞0，m＜0，再由对数函数的单调性，解不等式，求并集即可得到．
【解答】解：函数f（x）=，
当m＞0，f（m）＞f（﹣m）即为﹣lnm＞lnm，
即lnm＜0，解得0＜m＜1；
当m＜0，f（m）＞f（﹣m）即为ln（﹣m）＞﹣ln（﹣m），
即ln（﹣m）＞0，解得m＜﹣1．
综上可得，m＜﹣1或0＜m＜1．
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．
【点评】本题考查分段函数的运用，考查对数函数的单调性的运用，运用分类争辩的思想方法是解题的关键．
19．（5分）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则=．
【分析】推导出=f（），由此能求出结果．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，
当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，
∴=f（）=．
故答案为：．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，留意函数性质的合理运用．20．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数．给出下列推断：
①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于直线x=1对称；
③f（2）=f（0）；④f（x）在[1，2]上是减函数；⑤f（x）在[0，1]上是增函数
其中正确推断的序号是①②③．
【分析】首先理解题目f（x）定义在R上的偶函数，则必有f（x）=f（﹣x），又有关系式f（x+1）=﹣f（x），两个式子综合起来就可以求得周期了．再依据周期函数的性质，且在[﹣1，0]上是增函数，推出单调区间即可．
【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x+1+1）]=f（x+2），
∴f（x）是周期为2的函数，则①正确．
又∵f（x+2）=f（x）=f（﹣x），
∴y=f（x）的图象关于x=1对称，②正确，
又∵f（x）为偶函数且在[﹣1，0]上是增函数，
∴f（x）在[0，1]上是减函数，
又∵对称轴为x=1．
∴f（x）在[1，2]上为增函数，f（2）=f（0），③正确，④⑤错误．
故答案应为①②③
【点评】此题主要考查偶函数及周期函数的性质问题，其中涉及到函数单调性问题．对于偶函数和周期函数是格外重要的考点，需要理解记忆．
三、解答题：共50分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．
21．（12分）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．
【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．
【解答】解：（1）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，
可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，
切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（2）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，
令g（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，
则g（x）的导数为g′（x）=e x（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2e x•sinx，
当x∈[0，]，可得g′（x）=﹣2e x•sinx≤0，
即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）=0，
则f（x）在[0，]递减，
即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；
最小值为f （）=e cos ﹣=﹣．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算力量，正确求导和运用二次求导是解题的关键，属于中档题．
22．（12分）命题p：∀x∈R，ax2+ax﹣1＜0，命题q ：+1＜0．
（1）若“p或q”为假命题，求实数a的取值范围；
（2）若“非q”是“α∈[m，m+1]”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【分析】（1）分别求出p，q为真时的a的范围，依据p假q假，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）依据充分必要条件的定义求出a的范围即可．
【解答】解：关于命题p：∀x∈R，ax2+ax﹣1＜0，
a=0时，﹣1＜0，成立，
明显a＜0时只需△=a2+4a＜0即可，
解得：﹣4＜a＜0，
故p为真时：a∈（﹣4，0]；
关于q ：＞1，解得：﹣2＜a＜1，
故q为真时：a∈（﹣2，1）；
（1）若“p或q”为假命题，则p假q 假，则，
解得：a≥1或a≤﹣4；
（2）若“非q”是“α∈[m，m+1]”的必要不充分条件，
则m≥1或m+1≤﹣2，
故m≥1或m≤﹣3．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查复合命题的推断，是一道中档题．
23．（13分）函数f（x）=是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f （）=．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
【分析】（1）依据函数的奇偶性得到关于a，b的方程组，求出a，b的值，从而求出函数的解析式即可；
（2）依据函数单调性的定义证明即可；
（3）依据函数的单调性，得到关于t的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）由题意得，
由此可解得，
∴．
（2）证明：设﹣1＜x1＜x2＜1，
则有，
∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，，，1﹣x1x2＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
（3）f（t﹣1）+f（t）＜0，
∴f（t﹣1）＜﹣f（t），即f（t﹣1）＜f（﹣t），
∵f（x）在（﹣1，1）上是增函数，
∴﹣1＜t﹣1＜﹣t＜1，
解之得．
【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查单调性的定义以及其应用，是一道中档题．
24．（13分）已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．
（1）令g（x）为f（x）的导函数，求g（x）单调区间；
（2）已知函数f（x）在x=1处取得极大值，求实数a取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，通过争辩a的范围，求出函数g（x）的单调区间即可；
（2）通过争辩a的范围，得到函数f（x）的单调区间，结合函数的极大值，求出a的范围即可．【解答】解：（1）由f′（x）=ln x﹣2ax+2a，
可得g（x）=ln x﹣2ax+2a，x∈（0，+∞），
所以g′（x）=﹣2a=，
当a≤0，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；
当a＞0，x∈（0，）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
x ∈（，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
所以当a≤0时，g（x）的单调增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，g（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）．
（2）由（1）知，f′（1）=0．
①当0＜a ＜时，＞1，由（1）知f′（x）在（0，）内单调递增，
可得当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，）时，f′（x）＞0．
所以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，）内单调递增，
所以f（x）在x=1处取得微小值，不合题意．
②当a=时，=1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，
所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．
③当a ＞时，0＜＜1，当x ∈（，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，④a≤0时，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
故f（x）在x=1处取微小值，不合题意；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
所以f（x）在x=1处取极大值，符合题意．
综上可知，实数a 的取值范围为（，+∞）．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类争辩思想，转化思想，是一道综合题．。