偏磁条件下的B-H磁滞回线仿真过程说明

偏磁条件下的B～H磁滞回线仿真过程说明
2011年10月26日星期三
在没有偏磁作用时，电抗器在某一工作频率下的最大磁滞回线如下图的绿色虚线所示，该虚线与横坐标的交点为矫顽磁力，在纵坐标上的交点成为剩磁，可分别用H0和B m来表示。

而当电抗器存在偏磁时，磁滞回线的形式和轨迹就会变得非常复杂。

如在正偏此时，其磁滞回线的轨迹可能为a-b-c-d；对应的，当为相同幅值的负偏磁时，其轨迹可能为A-B-C-D。

但无论偏磁的程度如何，其磁滞轨迹只会在最大磁滞回线内移动。

裂芯式磁阀电抗器的磁阀结构如下图所示，它就是利用小面积的磁阀在不同偏磁作用下使磁阀部分处于不同的饱和程度，从而实现改变或调节电感量的目的。

下图即为单相裂芯式磁阀电抗器的电气原理图。

根据它的实现原理可知，它有两个铁芯柱，每个铁芯柱都有两个完全相同匝数的线圈，每个线圈的匝数设为n。

而且，其中一铁芯柱的直流偏磁为正，另一铁芯柱的偏磁为负，磁通的幅值分别用B1和B2表示。

由该电抗器的工作原理还可以知道，晶闸管T1和T2的导通相差1800，其控制角（以电压过零为起始点）α由0～1800可变。

晶闸管的关断则需根据晶闸管所承受的电压极性来确定，即在晶闸管承受正向电压时，施加一个触发脉冲就能使其导通，而当电压为零或为负值时就会关断。

由电路原理图可以看出，在不同的工作时刻，两个铁芯柱的磁通B是不相同的，而且，只要得到了两个铁芯柱的磁通B对时间的波形或表达式，就可以简单地应用基尔霍夫电流、电压定律求得相关的电流和电压值。

在第一个图中不难看出，如果得到了B也就得到了H，也就是说B和H是相互关联的。

当铁芯工作在线性区域的时候，由于相对磁导率μr可看成不变的常数，因而电抗器的电感量L为常数，而在偏磁工作条件下，μr呈现非线性变化特征，不能简单用某一表达式来描述。

目前广泛采用的Presach和JA模型就是解决这一问题的两种不同途径，但这些模型的应用有很多待定系数需要预先设定，且还涉及到矢量问题。

即使不涉及到矢量问题，还会遇到极化强度的转换问题，所以在实际应用中，不是很方便。

此处所采用的方法就是在B ～H 平面上通过线性分段法模拟其磁滞轨迹。

它需根据前一时刻的B 0和H 0值来决定，即u L (t)=nS(dB/dt)≈nS(∆B)/∆t 要满足基尔霍夫电压定律、∆H (即∆i )对应的i ≈i 0+∆i 要满足基尔霍夫电流定律的要求。

已知在500kV ar/10kV 的三相磁阀式电抗器设计中采用了宝钢生产的B30G120的硅钢片，且每个绕组的匝数n=1011，绕组导线采用铝线，横截面为S AL =6.039mm 2，绕线的绝缘厚度d=0.16mm ，铁心柱横截面积S core =257.8cm 2，磁阀横截面S Fe =122.2cm 2，每个铁芯柱磁阀的高度l Fe =49mm ，铁心柱高度h=1146mm 。

假设每柱铁芯的漏感L σ=3%L ，其中，L 为每个铁芯柱两个绕组所对应的电感，可采用额定容量及额定电压对应的值计算，也可根据物理参数和额定电流来计算（注意：三相电抗器是采用三角形连接，此处应计算单相电感量）。

因此，每个绕组的电压可表示为：
⎪⎭⎫ ⎝
⎛⋅⋅++⋅⋅=dt t dB S n dt t di L t i r t u core L )()()(98.0)(111111σ （1） L 的设计值为500000/3=100002/ωL ，由此得到L=3×100002/(500000×314)=1.911H ，因此，L σ=3%×L=0.03×1.1911=0.0357H 。

绕组自身电阻r 1应取交流电阻值，可简单将直流电阻的值乘以2.3倍来计算（此处应计算交流电阻值的大小），直流电阻的值r dc =ρ×l/S ，每匝的平均长度取0.952m ，则每个绕组的总长度l=1011×0.952=962.472m 。

由金属导体电阻率的表格中查得，铝材的电阻率ρ=2.83×10-8Ω/m ，将这些值代入计算公式得r dc =2.83×10-8×962.472/(6.039×10-6)=4.51Ω，交流电阻r 1=2.3×r dc =10.373Ω。

绕组1的电磁方程可用式(1)表示。

根据图示的参考方向，同样可写出其余三个绕组的电磁方程如下：
dt
t dB S n dt t di L t i r t u core L )()()()(222222⋅⋅++⋅=σ
（2） dt t dB S n dt t di L t i r t u core L )()()()(133333⋅⋅++⋅=σ （3） ⎪⎭⎫ ⎝
⎛⋅⋅++⋅⋅=dt t dB S n dt t di L t i r t u core L )()()(98.0)(244444σ （4）
dt
t dB S n dt t di L t i r dt t dB S n dt t di L t i r t u core core s )()()()()()()(2
44441
1111⋅⋅++⋅+⋅⋅++⋅=σσ （5） dt t dB S n dt t di L t i r dt t dB S n dt t di L t i r t u core core s )()()()()()()(2
22221
3333⋅⋅++⋅+⋅⋅++⋅=σσ
（6） 在以上方程中，应特别注意B 1(t)和B 2(t)的大小是不同的，且绕组1、3共用一个铁芯，2、4共用一个铁芯。

在式(1)～(6)中，r 1～r 4=r ；n 1～n 4=n 。

u s (t)为电源电压，在这6个等式中，最后两个等式分别表示u L1(t)+u L3(t)+ u Lk1(t)=u s (t)和u L2(t)+u L4(t)+ u Lk2(t)=u s (t)，在上图中，假设控制绕组的匝数占每个铁芯柱两个绕组总匝数之和的2%，因此，控制绕组匝数为0.4n ，即两个控制绕组对应的电压方程可写为：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅++⋅⋅⋅=)()()(02.01111t i r dt t di L dt t dB S n u k k core k σ （7） ⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅++⋅⋅⋅=)()()(02.02222t i r dt t di L dt t dB S n u k k core k σ （8） 在上述方程中，电源电压u s (t)=U m cos ωt ，即为10kV 输入电源。

为了保证电路计算拓扑结构的一致性，二极管和晶闸管在导通时均以小电阻R 1=0.01Ω代替，而断开时则以大电阻R 2=106Ω表示。

上面的8个表达式中，i 1(t)～i 4(t)、i k1(t)～i k2(t)和B 1(t)～B 2(t)为8个未知变量，电路中所有其它支路的电流均可由其中的6个支路电流来表示。

虽然8个变量对应有8个方程，似乎应可以求解了，但由于磁感应强度B(t)与电流i(t)并没有建立联系，则无法求解上述方程组。

但根据电抗器的结构和工作原理来分析，由于电源电压为正弦波，因此可以近似认为磁感应强度B(t)基本上也应为正弦规律变化，否则无法与电压保持平衡关系。

考虑到直流偏磁作用，可假设两个铁芯柱的磁感应强度分别为：
B 1(t)=B m sin ωt+B dc ；B 2(t)=B m sin ωt-B dc （9） 式中的B dc 为直流偏磁所建立的直流磁密，根据工作原理知，一个铁芯柱的直流磁密为正，另一个铁心柱的直流磁密为负。

根据电路结构还可知，在不考虑漏感和绕组电阻的条件下，B m 应满足：
2n·S core (dB/dt)=2n·S core ·B m ·ω·cos ωt=u s (t)=U m cos ωt ，由此可求得B m 的值为U m /(2ω·n·S core )。

而直流磁通的大小则与晶闸管的控制角α有关，但它不影响对上述方程组的求解，只是对后续各铁芯柱磁阀处磁滞回线B ～H 的轨迹、以及电抗值带来影响。

根据电路结构，该电抗器实际上有5个独立网孔，因此只会有5个独立变量。

显然，根据图示参考方向，这5个独立网孔的方程分别为：
u L1(t)+u k1(t)+u D (t)-u L2(t)=0 （10）
u L3(t)+u D (t)-u k2(t)-u L4(t)=0 （11）
u k1(t)+u D (t)-u T1(t)=0 （12）
u k2(t)+u T2(t)-u D (t)=0 （13）
u L2(t)+u L3(t)=u s (t) （14）
在求解上述方程中，以i1(t)～i4(t)和i k1(t)作为独立变量，其它的支路电流可根据基尔霍夫电流关系用这5个电流变量来表示，则实际求解的方程组为：
（请根据10～14的关系列出一阶微分方程组，并进行规格化整理）
求解上述微分方程组有两种方法，一个是直接求解，其初始值均设为零，此时方程组的标准形式为[X’]=[A]·[X]+[B]·[U s]；第二种方法可避免求解一阶微分方程组，即在以上方程组中，将di/dt用∆i/∆t来近似表示，其标准表达式为[∆X]=[A]·[X]+[B]·[U s]，此时的矩阵[A]和[B]中均包含∆t，该值可设为∆t=2.0×10-5s，对于50Hz交流电而言，相当于每个周期取1000个点进行逼近，可以保证精度要求，当然，也可取得更小一点。

这样实际上就是求解关于∆i值的线性代数方程，其结果再用i(t)=i0(t)+∆i表示，其中的i0(t)为上一次的电流计算值。

以上计算的总长度可选择2.5s，第一次计算的初始电流i0(t)均用“0”设置。

在电流的计算过程中，晶闸管的导通应由α确定，导通时支路电阻为R1，否则为R2。

二极管支路的阻值也是这样确定。

二极管和晶闸管支路阻值的判断方法应根据这些支路电流的实际值i(t)=i0(t)+∆i的正负来确定，晶闸管关断与否主要是根据u T(t)的正负决定，也可用电流的正负来决定，如果计算的结果不符要求，就应将该支路的阻值改变，以表示该支路是否导通；二极管支路电流的判断方法也是一样，只是它没有α控制。

判断晶闸管和二极管是否导通的流程如下所示：
根据以上方法确定了各支路电流以后，接下来就可以分析B ～H 磁滞回线的关系。

根据安培环路定律知，磁势F 的表达式为：
g H g l H t i n t i n t i n F g core k 1131111)()()(02.0)(98.0+-=⋅+⋅+⋅=⋅=⎰dl H
g H g l H t i n t i n t i n F g core k 2242222)()(98.0)(02.0)(+-=⋅+⋅+⋅=⋅=⎰dl H
式中，H core 为铁心柱中的磁场强度，H g 为磁阀处的磁场强度；l 为铁心柱的总长度，g 为磁阀长度。

如果以磁阻的方式来表示，则根据图2(b)的等效磁路可以看出：
F 1=0.97n·i 1(t)+0.3n·i k1(t)+n·i 3(t)=B 1(t)·S core1·(R core1+R g1) (15)
F 2=0.97n·i 4(t)+0.3n·i k2(t)+n·i 2(t)=B 2(t)·S core2·(R core2+R g2) (16)
式(15)～(16)即是B(t)～i(t)之间的关系，等式的左边为已知量，且S core1=S core2。

在忽略下标时，式中的R core =(l-g)/(μcore ·S core )为铁芯平均闭合磁路的磁阻，在设计时，它在任何运行状态都不会出现饱和，因此，μcore 可视为常数，具体数值可从铁芯型号的手册中查得(根据实际磁化曲线计算线性部分的值，也可以根据下面的式子计算，其中的N=2n )，所以R core 为常数，且有R core1= R core2。

而R g 为磁阀处的磁阻，可表示为R g =g/(μg ·S Fe )，S Fe 为磁阀的截
面积。

而对于同一铁芯柱的总磁阻R m 而言，它等于磁路中的磁势除以磁通，其表达式可写为： core g core S l
m S B g H g l H d d F
R ⋅+-=⋅⋅==⎰⎰⎰)(S B l H φ，且有Fe q Fe q core m R R R R R R +⋅+=，
R core =(l-g)/(μr-core ·μ0 ·S core )，由于H core =B core /μcore =B core /(μr-core ·μ0)，而
H g =B g /μg =B core /μg =B core /(μr-g ·μ0)，但根据磁阀处的磁阻表达式：
core core q Fe core
Fe q Fe Fe Fe q g S S S S S g S S g R R R ⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=+==000//μμμμμ （17） 显然，μr-g =(S Fe /S core ) ·(μFe /μ0)+S q /S core )，即
core q Fe r Fe g r S S S /)(+⋅=--μμ （18） 因而有：H g /H core =μr-core /μr-g =μr-core ·S core /(S Fe ·μr-Fe +S q )。

由于铁芯柱体的铁芯由于不会饱和，故铁心柱体的相对磁导率μr-core 可认为是常数，即使加上直流偏磁的情况也是如此。

式中可近似认为：S Fe +S q =S core ，μ0=4π×10-7。

显然，μr-Fe 能够确定的话，就可以得到R m 值，但磁控电抗器就是通过调节磁阀的饱和程度来实现电抗值的改变，它只可能是待解的变量。

若令R m1=R core1+R g1，R m2=R core2+R g2，则已有两个未知量，但在B(t)的表达式中，还有一个未知量B dc ，因而无法求解式(15)～(16)所组成的联立方程组，还必须找出另外一些关系。

由于待求的B dc 为直流分量，根据裂芯式可控磁阀电抗器的工作原理知，它是由直流电流所产生的，而该直流电流i d (t)实际上就是晶闸管控制的单相全控整流输出的直流电流i d (t)，其稳态值为I d ，根据下图(b)的电路拓扑可知：
dt
dI L R I t u d d k +=)(，采用数值分析方法，并经离散化可得： []L
R i t u t i t i d k d d ⋅-⋅∆+=)0()()0()( 若控制角α=1100，控制绕组的抽头取2%，电抗器输入电压为工频10kV 正弦波，且已知u k (t)=2%u s (t)，R dc 为两个绕组的直流电阻之和，等于2×r dc ，L 可由前面算得的1.911H 代替，因此可得仿真后的直流偏磁电流I d 的上升曲线如下图(c)所示。

图(d)为电流上升初期的过渡过程。

由仿真结果可以看出，虽然输入电压只是正弦交流电压的一部分，但由于电感L 非常大，可保持电流的连续，并最终稳定在一个恒定值上。

在给定的设计条件下，电路的时间常数τ =L/R dc 较大，差不多要经过3s 的时间才能达到稳定。

事实上，稳态直流偏磁电流幅值I d (∞)可采用整流输入电压的平均值除以电阻R dc 来计算，即：
)cos 1()()(1
)(απωωππα+⋅=⋅=∞⎰dc
km k dc d R U t d t u R I
根据上面计算的直流电流i d (t)后，再转化为对应的H dc (t)。

在将i d (t)转换到H dc (t)的过程中，其计算公式为：
F dc =2·n·i d (t)=H core-dc ·(l-g)+H g-dc ·g ， （19） 式中：
H core-dc =B dc /μcore-dc =B dc /(μr-core-dc ·μ0)，而磁阀处的直流磁势为：
H g-dc =B dc /μg-dc =B dc /(μr-g-dc ·μ0) （20） 根据式(18)知，μr-g-dc =(S Fe ·μr-Fe-dc +S q )/S core ，对于直流磁势来讲，磁阀处铁芯的直流磁势一般均设置在准饱和区，甚至也可能工作在线性区域，可假设μr-g-de /μr-core-dc =0.93。

由于铁心柱体的直流磁通不可能使之饱和，故μr-core-dc 可取磁化曲线线性部分的值，因而也可得到磁阀处铁芯的相对磁导率μr-g-de 。

将式(20)的两式相除后即得，H g-dc /H core-dc =μr-core-dc /μr-g-dc ，再将此表达式代入到式(19)中即可得：
H g-dc (t)=2·n·i d (t)/[g+(l-g)·μr-g-dc /μr-core-dc ]
H core-dc =[2·n·i d (t)- H g-dc ·g]/(l-g) （21） 式(21)得到的结果代入到式(20)中，即可得到B dc 的值，至此，B(t)表达式(9)完全清楚了。

在以上各式中，g 为磁阀高度，因两个绕组所覆盖的磁阀高度之和即为g 。

因此，必须预先将硅钢片B30G120的磁化曲线放在程序中。

采用式(15)～(16)就可求得R m1、R m2的值，并根据式(17)求得R g1、R g2、μr1-Fe 和μr2-Fe 的值，最后再根据下面的(22)～(23)式求得磁阀处的磁场强度。

H g1= B 1(t)·S core1·R g1/g （22）
H g2= B 2(t)·S core2·R g2/g （23）
根据B 的数值和上面计算得到的H 值，最后还可以得到磁阀处B ～H 平面上的轨迹。

至于电抗器的电感L 可根据μr1-Fe 和μr2-Fe 的值分别得到L 1和L 2的变化。

注意，由此得到的L 1和L 2为交流+直流后的实际结果。

当然，用总磁通链N·ψ与通过电感的电流I 之比或结构参数也可得到L 的数值，即：
l
S N I S B N I N L ⋅⋅=⋅⋅=⋅=2μψ （24） 可用式(24)不同的等式计算所得L 是否相同，并进行分析。