湖南省株洲市2020年高二第二学期数学期末调研试题含解析

湖南省株洲市2020年高二第二学期数学期末调研试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．焦点为06（，）
且与双曲线2
212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是 A ．22
11224
y x -=
B ．2212412y x -=
C ．2212412x y -=
D ．2211224
x y -=
2．已知随机变量X 的分布列如下表所示
则(25)E X -的值等于 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知8
a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
展开式中4x 项的系数为112，其中a R ∈，则此二项式展开式中各项系数之和是（ ） A ．83
B ．1或83
C ．82
D ．1或82
4．某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有 第一节 第二节 第三节 第四节 地理B 层2班 化学A 层3班 地理A 层1班 化学A 层4班 生物A 层1班 化学B 层2班 生物B 层2班 历史B 层1班 物理A 层1班 生物A 层3班 物理A 层2班 生物A 层4班 物理B 层2班 生物B 层1班 物理B 层1班 物理A 层4班 政治1班 物理A 层3班 政治2班 政治3班 A ．8种 B ．10种
C ．12种
D ．14种 5．若
展开式二项式系数之和为32，则展开式中含
项的系数为（ ）
A ．40
B ．30
C ．20
D ．15
6．已知i 是虚数单位，复数z 满足(1)2i z i +=-，则z =（ ） A 2
B ．1i -
C ．2
D ．1
7．已知变量x ，y 满足约束条件1031010x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有6个红球，2个白球和2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．事件B 与事件1A 不相互独立 B ．1A 、2A 、3A 是两两互斥的事件 C ．17
(|)11P B A =
D ．3()5
P B =
9．周末，某高校一学生宿舍甲乙丙丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断： ①甲不在看书，也不在写信； ②乙不在写信，也不在听音乐；
③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书； ④丙不在看书，也不写信.
已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是（ ） A ．玩游戏 B ．写信 C ．听音乐 D ．看书 10
．8(2-展开式中不含4x 项的系数的和为
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
11．5
22x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10
B ．20
C ．40
D ．80
12．6(2)x y -的展开式中，42x y 的系数为（ ） A ．15
B ．-15
C ．60
D ．-60
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数()2242,0
,0
x x x x f x x e x ⎧-++≥=⎨-<⎩，若函数()()2g x f x a =+恰有两个不同的零点，则实数a 的取
值范围是__________．
14．已知双曲线2
214
y x -=的两条渐近线分别与抛物线22(0)x py p =<的准线交于A ，B 两点．O 为坐标
原点．若△OAB 的面积为2，则p 的值为_______.
15．观察下列等式，211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，从中可
以归纳出一个一般性的等式是：__________()2
*
(21)
n n =-∈N .
16．把10个相同的小球全部放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的小球数不小于盒子的编号数，则不同的方法共有___________种 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．某地区举办知识竞答比赛，比赛共有四道题，规则如下：答题过程中不论何时，若选手出现两题答错，则该选手被淘汰分数记为0，其它情况下，选手每答对一题得1分，此外若选手存在恰连续3次答对题目，则额外加1分，若4次全答对，则额外加2分.已知某选手每次答题的正确率都是2
3
，且每次答题结果互不影响.
()1求该选手恰答对3道题的概率；
()2记X 为该选手参加比赛的最终得分，求X 的分布列与数学期望.
18．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）记
的最小值为，若正实数，，满足
，求证：
.
19．（6分）已知函数1
()x f x e -=，()ln()g x x a =+.
（1）若(),0
()(1),0
x g x x h x xf x x ->⎧=⎨
+<⎩，当0a =时，求函数()h x 的极值. （2）当1a ≤时，证明：()()f x g x >. 20．（6分）在数列
中，
．
（1）求的值；
（2）猜想
的通项公式，并用数学归纳法证明．
21．（6分）如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=o ，
2EC =2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30o ．
（1）证明：平面EFC ⊥平面BCD ； （2）求二面角A CE B --的余弦值．
22．（8分）已知定义域为R 的函数f （x ）＝1222
x x a
+--+是奇函数，且a ∈R ．
（1）求a 的值； （2）设函数g （x ）＝2
2()1
f x +，若将函数
g （x ）的图象向右平移一个单位得到函数
h （x ）的图象，求
函数h （x ）的值域．
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】
根据题目要求解的双曲线与双曲线2
212x y -=有相同的渐近线，
且焦点在y 轴上可知，设双曲线的方程为()2
2
02
x y λλ-=>，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质222+=a b c ，求解出λ的值，即可求
出答案． 【详解】
由题意知，设双曲线的方程为()
2
202
x y λλ-=>，化简得()2
2
102y x λλλ
-=>．
236λλ∴+=
解得12λ=．
所以双曲线的方程为22
11224
y x -=，故答案选A ．
【点睛】
本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线22
221x y a b
-=有相同
渐近线的双曲线方程可设为22
22(0)x y a b
λλ-=≠，若0λ>，则双曲线的焦点在x 轴上，若0λ<，则双曲
线的焦点在y 轴上． 2．A 【解析】 【分析】
先求出b 的值，再利用期望公式求出E(X)，再利用公式求出()25E X -. 【详解】
由题得0.1+0.2+0,20.11,0.4,b b ++=∴=，
所以()10.120.230.440.250.13E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以(25)2()52351E X E X -=-=⨯-=. 故答案为：A 【点睛】
(1)本题主要考查分布列的性质和期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若
a b ηξ=+(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量， E η=()E a b aE b ξξ+=+，
2()D a b a D ξξ+=.
3．B 【解析】 【分析】
利用二项式定理展开通项，由4x 项的系数为112求出实数a ，然后代入1x =可得出该二项式展开式各项系数之和. 【详解】
8a x x ⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭的展开式通项为882188k
k k k k k k a T C x C a x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令824k -=，得2k =，该二项式展开式中4x 项的系数为222
828112C a a ⋅==，得2a =±.
当2a =时，二项式为8
2x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其展开式各项系数和为()88123+=；
当2a =-时，二项式为8
2x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，其展开式各项系数和为()8121-=.
故选B.
【点睛】
本题考查二项式定理展开式的应用，同时也考查了二项式各项系数和的概念，解题的关键就是利用二项式定理求出参数的值，并利用赋值法求出二项式各项系数之和，考查运算求解能力，属于中等题.
4．B
【解析】
【分析】
根据表格进行逻辑推理即可得到结果.
【详解】
张毅不同的选课方法如下：
（1）生物B层1班，政治1班，物理A层2班；
（2）生物B层1班，政治1班，物理A层4班；
（3）生物B层1班，政治2班，物理A层1班；
（4）生物B层1班，政治2班，物理A层4班；
（5）生物B层1班，政治3班，物理A层1班；
（6）生物B层1班，政治3班，物理A层2班；
（7）生物B层2班，政治1班，物理A层3班；
（8）生物B层2班，政治1班，物理A层4班；
（9）生物B层2班，政治3班，物理A层1班；
（10）生物B层2班，政治3班，物理A层3班；
共10种，故选B.
【点睛】
本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题.
5．D
【解析】
【分析】
先根据二项式系数的性质求得n＝5，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得结果．
【详解】
由展开式的二项式系数之和为2n＝32，求得n＝5，
可得展开式的通项公式为 T r+1••=••，
令＝3，求得 r ＝4，则展开式中含的项的系数是 5，
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 6．A 【解析】
分析:先根据已知求出复数z,再求|z|. 详解：由题得22(1)2211(1)(1)2
i i i i
z i i i i ----=
===-++-，所以22||1(1)2z =+-=. 故答案为A.
点睛：（1）本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2) 复数
(,)z a bi a b R =+∈的模22||z a b =+.
7．B 【解析】
画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型，2y x z =-+，可知截距越大z 值越大，根据图象得出最优解为(1,0)，则2z x y =+的最大值为2，选B.
【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式
0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封
闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围． 8．D
【解析】
分析：由题意1A ，2A ，3A 是两两互斥事件，条件概率公式求出1(|)P B A ，
()()()()123P B P A B P A B P A B =++，对照选项即可求出答案.
详解：由题意1A ，2A ，3A 是两两互斥事件，
()()()12351213,,10210510
P A P A P A =
====, ()()()11117
7211|1112P BA P B A P A ⨯===,()23|11P B A =,()33
|11P B A =,
而()()()()123P B P A B P A B P A B =++
()()()()()()112233|||P A P B A P A P B A P A P B A =++
1713332115111011=⨯+⨯+⨯ 511
=. 所以D 不正确. 故选：D.
点睛：本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是解题的关键. 9．D
【解析】由①知甲在听音乐或玩游戏，由②知乙在看书或玩游戏，由④知丙在听音乐或玩游戏，由③知，丁在看书，则甲在听音乐，丙在玩游戏，乙在看书，故选D. 10．B 【解析】
试题分析：由二项式定理知，8(2展开式中最后一项含4x ，其系数为1，令x =1得，此二项展开式
的各项系数和为8(2=1，故不含4x 项的系数和为1-1=0，故选B. 考点：二项展开式各项系数和；二项展开式的通项 11．C 【解析】
分析：写出103152r r r
r T C x -+=n n ，然后可得结果
详解：由题可得()
52
10315522r
r
r
r r r
r T C x C x
x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
n n 令103r 4-=,则r 2=
所以22
552240r r C C n =⨯=
故选C.
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。

12．C 【解析】
试题分析：依题意有()2
24
426260C x y x y -=，故系数为60.
考点：二项式．
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．(]223,1e ⎧⎫--⋃⎨⎬⎩⎭
【解析】
分析：先根据导数研究2y ,0x
x e x =-<图像，再根据()y f x =与y 2a =-图像交点情况确定实数a 的取
值范围.
详解：令2y ,0x
x e x =-<，所以(2)0,02x
y x x e x x =-+=<∴=-' 当2x <-时，240,[,0)y y e <-
'∈；当20
x -<<时，2
4
0,[,0)y y e >-'∈； 作()y f x =与y 2a =-图像，
由图可得要使函数()()2g x f x a =+恰有两个不同的零点， 需2242
22263 1.a a a a e e
-=-
≤-<∴=--<≤-或或 点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 14．4p =- 【解析】
【详解】
分析：求出双曲线2
214
y x -=的两条渐近线方程与抛物线22(0)x py p =<的准线方程，进而求出,A B 两
点坐标，再由AOB ∆的面积为2，列出方程列方程求解即可.
详解：双曲线2
214
y x -=的两条渐近线方程2y x =±，
又抛物线()2
20x py p =>的准线方程是2
p y =-
， 故,A B 两点的横坐标坐标分别是1
4
y p =±， 又AOB ∆的面积为1，12222
p p
∴⋅
⋅=， 0,p <∴Q 得4p =-，故答案为4-.
点睛：本题主要考查双曲线的几何性质以及抛物线的几何性质，属于中档题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系 15．(1)(2)(32)n n n n +++++⋯+- 【解析】 【分析】
通过观察前几个式子的变化规律，总结规律即可得到答案. 【详解】
根据题意，第一个式子从1开始，左边按顺序加有1项；第二个式子从2开始，有3项；第三个式子从3开始，有5项，于是可归纳出，第n 个式子从n 开始，有21n -项，于是答案为：
(1)(2)(32)n n n n +++++⋯+-.
【点睛】
本题主要考查归纳法，意在考查学生的逻辑推理能力和数感，难度不大. 16．15 【解析】 【分析】
将编号为2,3的三个盒子中分别放入1,2个小球，从而将问题转变为符合隔板法的形式，利用隔板法求解得到结果. 【详解】
编号为2,3的三个盒子中分别放入1,2个小球，则还剩1037-=个小球
则问题可变为求7个相同的小球放入三个盒子中，每个盒子至少放一个球的不同方法的种数
由隔板法可知共有：2615C =种方法
本题正确结果：15
【点睛】
本题考查隔板法求解组合应用问题，关键是能够首先将问题转化为符合隔板法的形式，隔板法主要用来处理相同元素的组合问题.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．()13281；()220881. 【解析】 【分析】 (1)通过二项分布公式即可得到概率； （2）X 可能的取值为0,3,4,6，分别求出所求概率，于是得到分布列和数学期望.
【详解】
()1Q 该选手每次答题的正确率都是23
，四道题答对3的情况有34C 种 ∴恰答对3道题的概率3
3
421323381P C ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭ ()2由题X 可能的取值为0,3,4,6
()32116323381P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()32116423381P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()4
2166,381
P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()()()()110134627P X P X P X P X ==-=-=-== X ∴的分布列如下
1116161620803462781818181
EX =⋅+⋅+⋅+⋅=. 【点睛】
本题主要考查二项分布的运用，数学期望与分布列的相关计算，意在考查学生的分析能力，转化能力，计算能力，难度中等.
18．（Ⅰ）
;（Ⅱ）见解析.
【解析】
试题分析: （Ⅰ）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式f （x ）≤10的解集；（Ⅱ）利用绝对值不等式，求出m ，再利用柯西不等式进行证明．
试题解析：（Ⅰ） 当时，由，解得； 当时，因为，所以； 当时，由，解得
综上可知，不等式的解集为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，
的最小值为6，即.（或者 ），所以， 由柯西不等式可得
因此 .
19．（1）函数()h x 的极小值为1(1)h e
-=-，(1)1h =，无极大值；（2）证明见解析. 【解析】
【分析】
（1）求出()h x 的导数()h x '，根据()h x '=0得到()h x 极值点，遂可根据单调区间得出极值.
（2）根据ln()ln(1)x a x +≤+，可转化1ln()x e x a ->+为1ln(1)x e x ->+.令1()ln(1)(1)x F x e x x -=-+>-，只需设法证明()0F x >可得证.
【详解】
（1）当0a =时，ln ,0(),
0x x x x h x xe x ->⎧=⎨<⎩， 11,0()(1),0
x x h x x
x e x ⎧->⎪=⎨⎪+<⎩' 令()0h x '=得1x=或1x=-
()h x ，()h x '随x 的变化情况：
x (,1)-∞- 1-
(1,0)- (0,1) 1 (1,)+∞ ()h x ' -
0 + - 0 + ()h x ↘ 1e - ↗ ↘ 1 ↗
∴函数()h x 的极小值为1(1)h e
-=-，(1)1h =，无极大值. （2）证明：当1a ≤时，ln()ln(1)x a x +≤+，若1ln(1)x e x ->+成立，则1ln()x e x a ->+必成立， 令1()ln(1)(1)x F x e x x -=-+>-，
11()1
x F x e x -'=-+在(1,)-+∞上单调递增， 又(0)0F '<，(1)0F '>，
∴()0F x '=在(1,)-+∞上有唯一实根0x ，且0(0,1)x ∈，
当0(1,)x x ∈-时，()0F x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0F x '>，
∴当0x x =时，()F x 取得最小值0()F x ，
由0()0F x '=得：01011
x e x -=+， ∴00ln(1)1x x +=-，
∴()()021*******()ln 11011
x x F x F x e
x x x x -≥=-+=+-=>++ ∴1ln(1)x e x ->+
∴当1a ≤时，()()f x g x >.
【点睛】
本题考察了函数的单调区间、极值点、导数的应用、零点和根的关系等知识的应用，主要考察了学生的运算能力和思维转换能力，属于难题.
20．（1）4，9，16；（2）
，证明见解析． 【解析】
【分析】
（1）根据数列递推关系，把
分别代入，求出的值； （2）先假设
时，成立，再证明时，猜想也成立. 【详解】
（1）∵，， ∴， 故的值分别为；
（2）由（1）猜想
，用数学归纳法证明如下： ①当时，，猜想显然成立； ②设时，猜想成立，即， 则当时，
, 即当时猜想也成立， 由①②可知，猜想成立，即
． 【点睛】
运用数学归纳法证明命题时，要求严格按照从特殊到一般的思想证明，特别是归纳假设一定要用到，否则算是没有完成证明.
21． (Ⅰ)见证明； (Ⅱ)
13． 【解析】
【分析】
（Ⅰ）先证得EF FC ⊥，再证得EF BD ⊥，于是可得EF ⊥平面BCD ，根据面面垂直的判定定理可得平面EFC ⊥平面BCD ．（Ⅱ）利用几何法求解或建立坐标系，利用向量求解即可得到所求．
【详解】
（Ⅰ）在t R BCD ∆中，F 是斜边BD 的中点， 所以112
FC BD ==. 因为,E F 是,AD BD 的中点， 所以112
EF AB ==，且2EC = 所以222EF FC EC +=，
所以EF FC ⊥.
又因为,//AB BD EF AB ⊥，
所以EF BD ⊥，
又BD FC F ⋂=，
所以EF ⊥平面BCD ，
因为EF ⊂平面EFC ，
所以平面EFC ⊥平面BCD ．
（Ⅱ）方法一：取AC 中点M ，连ME ，则//ME CD ，
因为122
CE AD == 所以CD AC ⊥.
又因为CD BC ⊥，AC BC C ⋂=，
所以CD ⊥平面ABC ，
所以ME ⊥平面ABC ．
因此ECM ∠是直线EC 与平面ABC 所成的角． 故22cos306AC MC EC ==⋅=
o 所以2CD BC ==过点B 作BN AC ⊥于N ，则BN ⊥平面ACD ， 且23AB BC BN AC ⋅==． 过点B 作BH EC ⊥于H ，连接HN ，
则BHN ∠为二面角A CE B --的平面角． 因为2BE BC EC ===
， 所以22366BH HN BH BN ===-=， 所以1cos 3
HN BHN BH ∠==， 因此二面角A CE B --的余弦值为
13． 方法二：
如图所示，在平面BCD 中，作x 轴⊥BD，以B 为坐标原点，BD ，BA 所在直线为y 轴，z 轴建立空间直角坐
标系Bxyz ． 因为
2CD BC == (同方法一,过程略)
则()1,1,0C ，()0,0,2A ,()0,1,1E ．
所以()=1,0,1CE -u u u v ,()0,1,1BE =u u u v ,()0,1,1AE =-u u u v ，
设平面ACE 的法向量()111,,m x y z =v
， 则·0C ?0
AE m E m ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，即111100y z x z -=⎧⎨-+=⎩，取11x =,得()1,1,1m =v ． 设平面BCE 的法向量()222,,n x y z =v
则·0·
0BE n CE n ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，即222200y z x z +=⎧⎨-+=⎩，取21x =,得()1,1,1n v =-． 所以·1cos ,3
33m n m n m n ==⨯v v v v v v ， 由图形得二面角A CE B --为锐角，
因此二面角A CE B --的余弦值为
13
． 【点睛】
利用几何法求空间角的步骤为“作、证、求”，将所求角转化为解三角形的问题求解，注意计算和证明的交替运用．利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系，通过求出两个向量的夹角来求出空间角，此时需要注意向量的夹角与空间角的关系．
22．（1）1a =-；（2）()1,+∞
【解析】
【分析】
（1）由题意可得()00f =，解方程可得a 的值，即可求得a 的值；
（2）求得()12x g x =+，由图象平移可得()h x ，再由指数函数的值域，即可求解，得到答案． 【详解】
(1)由题意，函数()1222
x x a f x +--=+是定义域为R 的奇函数，所以()00f =， 即02=022
a --+，所以1a =-， 经检验1a =-时，()f x 是奇函数.
(2)由于1a =-，所以()12+122
x x f x +-=+，即()12+112=122221x x x f x +-⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 所以()()22121
x g x f x ==++， 将()g x 的图象向右平移一个单位得到()h x 的图象，得()12
1x h x -=+， 所以函数()12
1x h x -=+的值域为()1,+∞．
【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性的应用，指数函数的图象与性质的应用，以及图象的变换，着重考查了变形能力，以及推理与运算能力，属于基础题．。