江西省丰城中学2016届高三上学期数学周练试题(文科实验班1.12) 含答案

丰城中学2015—2016学年上学期高三周练试卷
数 学（文 .实验班零班）
命题：龚金国 审题:高三数学备课组 2016.01.12
(1)求这40辆小型车辆车速的众数和中位
数的估计值;
（2)若从车速在[)60,70的车辆中任抽取2
辆，求车速在[)65,70的车辆恰有一辆的概
率．
2、已知等比数列{}n
a 满足1
3
2
23a a a +=，且3
2a +是2
a ，4
a 的等差数列． （1)求数列{}n
a 的通项公式； （2）若2
1log n n n
b a a =+，12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，求使1
2470n n
S +-+<成立的n 的最小值．
3．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．(Ⅰ）若a=b，求cosB；
(Ⅱ)设B=90°，且a=,求△ABC的面积．
4、已知直线:l43100
++=，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且
x y
在直线l的右上方．
（1)求圆C的方程；
（2）过点()1,0
M的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ)求证：平面BDGH∥平面AEF；
(Ⅲ)求多面体ABCDEF的体积．
6．已知F1,F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点，O为坐标原点,点P（﹣1，)在椭圆上，且•=0,⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B （1）求椭圆的标准方程；
（2）当•=λ,且满足≤λ≤时,求弦长｜AB｜的取值范围．
7．已知函数f（x）的导函数f′(x)=x2+2ax+b（ab≠0)，且f（0）=0．设曲线y=f(x)在原点处的切线l1的斜率为k1，过原点的另一条切线l2的斜率为k2．
（1）若k1：k2=4：5，求函数f（x）的单调区间；
（2）若k2=tk1时，函数f（x）无极值,且存在实数t使f（b）＜f（1﹣2t）成立，求实数a的取值范围．
(I ）若函数()f x 在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围； （II)若对任意()0,x e ∈,都有唯一的40,x e e -⎡⎤∈⎣⎦，
使得()()2002g x f x x =+成立，求实数a 的取值范围．
参考答案2016.01。

12
1、（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于
77.5 (3)
分
设图中虚线所对应的车速为x ，则中位数的估计值为：
()0.0150.0250.0450.06750.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得77.5x =
即中位数的估计值为77.5………………6分
（2）从图中可知，车速在[)60,65的车辆数为：1
0.015402m =⨯⨯=(辆），
车速在[)65,70的车辆数为：2
0.025404m
=⨯⨯=(辆)………………8分
设车速在[)60,65的车辆设为a ，b ，车速在[)65,70的车辆设为c ，d ，e ，
f
，则所有基本事件有：(),a b ，(),a c ,(),a d ,(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，
(),b f ,(),c d ,
所以，车速在[)65,70的车辆恰有一辆的概率为815
P =………………12分
2、（1）设等比数列{}n
a 的公比为q ，依题意,有
()13
22432322a a a a a a +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，即：()()()()
21132
11231242a q a q a q q a q ⎧+=⎪⎨+=+⎪⎩ 由()1得2
320q
q -+=,解得1q =或2q =．………………4分
当1q =时，不合题意，舍去； 当2q =时，代入()2得1
2a
=，所以1222n n n a -=⋅=．
故所求数列{}n
a 的通项公式2n n
a =（n *∈N ）
．………………6分
(2)2
211
log 2log 22
n n n
n n n b
a n a =+=+=-………………8分
所以232122232n n
S
n =-+-+-+⋅⋅⋅+-
()()232222123n n =+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+
()()12212111
2212
222
n n n n n n +-+=
-
=----．………………10分
因为1
2470n n
S +-+<，所以1211122247022
n n n n ++----+<， 即2
900n
n +->，解得9n >或10n <-．
因为
n *
∈N ，故使
12470
n n S +-+<成立的正整数
n
的最小值为
10．………………12分
3【解答】解：（I ）∵sin 2B=2sinAsinC ，由正弦定理可得:＞0，
代入可得（bk ）2=2ak•ck，∴b 2=2ac ，∵a=b，∴a=2c,
由余弦定理可得:cosB===．
（II ）由（I ）可得：b 2=2ac ，∵B=90°，且a=，∴a 2+c 2=2ac,解得a=c=． ∴S △ABC =
=1．
4、解：（1）设圆心()C ,0a （52
a >-），则410
25
a +=0a ⇒=或5a =-(舍)
所以圆C :2
24x
y +=…………………………6分
（2）当直线x AB ⊥轴，则x 轴平分∠ANB
当直线AB 斜率存在时,设直线AB 方程为()1y k x =-，(),0t N ，()1
1
,x y A ，()2
2
,x y B
()
224
1x y y k x ⎧+=⎪⎨
=-⎪⎩()22221240k x k x k ⇒+-+-=
212221k x x k +=+，21224
1
k x x k -=+
若x 轴平分∠ANB ，则k
k AN
BN
=-12
120y y x t x t ⇒+=--()()1212110k x k x x t x t
--⇒+=--
()()12122120x x t x x t ⇒-+++=()
()2222
24212011
k k t t k k -+⇒
-+=++4t ⇒= 当点()4,0N ，能使得∠ANM =∠BNM 总成立．…………………………12分 5。

【解答】解:（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是正方
形,∴AC ⊥BD ．
又∵平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF∩平面ABCD=BD ， 且AC ⊂平面ABCD,∴AC ⊥平面
BDEF ；
(Ⅱ）证明:在△CEF 中，∵G 、H 分别是CE 、CF 的中点，∴GH ∥EF ，又∵GH ⊄平面AEF,EF ⊂平面AEF ，∴GH ∥平面AEF,设AC∩BD=O,连接OH ，在△ACF 中,∵OA=OC ，CH=HF ，∴OH ∥AF ，
又∵OH ⊄平面AEF,AF ⊂平面AEF,∴OH ∥平面AEF ．
（Ⅲ）由(Ⅰ），得AC⊥平面BDEF，又∵AO=,四边形BDEF的面积S=3×=6，
∴四棱锥A﹣BDEF的体积V1=×AO×S=4，同理，四棱锥C﹣BDEF的体积V2=4．
∴多面体ABCDEF的体积V=8．
6【解答】解：(1)依题意，由•=0，可得PF1⊥F1F2,∴c=1,
将点p坐标代入椭圆方程可得+=1，又由a2=b2+c2，解得a2=2，
b2=1，c2=1，
∴椭圆的方程为+y2=1．
(2）直线l：y=kx+m与⊙x2+y2=1相切,则=1,即m2=k2+1，
由直线l与椭圆交于不同的两点A、B,设A（x1,y1），B（x2,y2）,
由,得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0,
△=（4km）2﹣4×（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，化简可得2k2＞1+m2，
x1+x2=﹣,x1•x2=，
y1•y2=（kx1+m)（kx2+m）=k2x1•x2+km（x1+x2）+m2==，=x1•x2+y1•y2==，≤≤，解可得≤k2≤1，(9分）
|AB|==2
设u=k4+k2(≤k2≤1），则≤u≤2，|AB｜=2=2,u∈
分析易得，≤｜AB ｜≤．（13分) 7。

【解答】解:（1)由已知
，k 1=f'（0）=b ，设l 2与曲
线y=f （x ）的切点为（x 0，y 0）（x 0≠0）则
所以
，即
，
则
．
又4k 2=5k 1，所以﹣3a 2+4b=5b,即b=﹣3a 2因此f’（x ）=x 2+2ax ﹣3a 2=（x+3a ）(x ﹣a ）
①当a ＞0时，f （x)的增区间为(﹣∞，﹣3a)和（a ，+∞），减区间为（﹣3a,a ）．
②当a ＜0时，f （x ）的增区间为（﹣∞,a）和（﹣3a ，+∞），减区间为（a ，﹣3a ）．…（5分） （2)由(1)若k 2=tk 1，则，∵ab≠0，∴t≠1,
于是
，所以
，
由f （x ）无极值可知,
,即
，所以
由f （b ）＜f （1﹣2t ）知，b ＜1﹣2t ，即,
就是3a 2＜4(1﹣t)（1﹣2t ）, 而
,故
,所以
，
又a≠0,因此．…（12分）
8、解：（1)()241x ax f x
x -+-'=，由题：()241
0x ax f x x
-+-'=
≤在()0,+∞恒成立， 即：2
410x
ax -+≥在()0,+∞恒成立，
或2441008
a a
⎧∆=-⨯⨯>⎪⎨<⎪⎩,故得：4a <-，综上：4a ≤…………………………5分
（
2)()()11x g x e x -'=-，∴()g x 在()0,1上单调递增，在()1,e 上单调递减，
且()03g =，()14g =，()233e
g e e -=+>，∴()g x 的值域为(]3,4， (7)
分
记()()2
2ln h x f x x
ax x =+=-，()m g x =,
原问题等价于:(]3,4m ∀∈，存在唯一的4
,x
e e -⎡⎤∈⎣⎦，使得()0h x m =成立．
()11ax h x a x x
-'=-
=，4
,x e e -⎡⎤∈⎣⎦ ①当1a e
≤时，()0h x '≤恒成立，()h x 单调递减，由()
()44max
44h x h e ae --==+≥，
()()min 13h x h e ae ==-≤，解得：1
0a e
≤≤
…………………………8分
②当4
a e ≥时，()0h x '≥恒成立，()h x 单调递增，()()44min
44h x h e ae --==+>，不
合题意，舍去…………………………9分 ③当4
1a e e
<<时，()h x 在4
1,e a -⎡⎤⎢⎥⎣
⎦上单调递减，在1,e a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增, 且()4
4
44h e ae
--=+>，()1h e ae =-,
要满足条件则13ae -≤，∴14a e
e
<≤…………………………11分
综上所述：a 的取值范围是40,e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
…………………………12分。