高考数学一轮复习提高题专题复习立体几何多选题练习题含答案

高考数学一轮复习提高题专题复习立体几何多选题练习题含答案
一、立体几何多选题
1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中的正四面体11A BDC -的棱长为2，则下列说法正
确的是（ ）
A ．异面直线1A
B 与1AD 所成的角是3
π
B ．1BD ⊥平面11A
C D
C ．平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为3
D ．正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23
【答案】ABD 【分析】
选项A ，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B ，根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证；选项C ，由图得平面1ACB 截正四面体
11A BDC -所得截面面积为1ACB 面积的四分之一；选项D ，分别求出正方体的体对角线
长和正四面体11A BDC -的高，然后判断数量关系即可得解. 【详解】
A ：正方体1111ABCD A
B
C
D -中，易知11//AD BC ，异面直线1A B 与1AD 所成的角即直线
1A B 与1BC 所成的角，即11A BC ∠，11A BC 为等边三角形，113
A BC π
∠=
，正确；
B ：连接11B D ，1B B ⊥平面1111D
C B A ，11A C ⊂平面1111
D C B A ，即111AC B B ⊥，又
11
11AC B D ⊥，1111B B B D B ⋂=，有11A C ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，所以111BD AC ⊥，同理可证：11BD A D ⊥，1111AC A D A ⋂=，所以1BD ⊥平面11AC D ，正确；
C ：易知平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为
1
3
4
ACB S
=
，错误；
D ：易得正方体1111ABCD A B C D -()()()
2
2
2
2
2
2
6++=2
的正四面体11A BDC -的高为2
2
222262213⎛
⎫--⨯= ⎪⎝
⎭，故正四面体11A BDC -的高等
于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的2
3
，正确. 故选：ABD. 【点睛】
关键点点睛：利用正方体的性质，找异面直线所成角的平面角求其大小，根据线面垂直的判定证明1BD ⊥平面11AC D ，由正四面体的性质，结合几何图形确定截面的面积，并求高，即可判断C 、D 的正误.
2．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上（不含端点）且BE BF =，将AED ，DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A 、C 两点重合于点1A ，则下列结论正确的有（ ）．
A ．1A D EF ⊥
B ．当1
2
BE BF BC ==
时，三棱锥1A F DE -6π C ．当14BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -217 D ．当14BE BF BC ==时，点1A 到平面DEF 的距离为177
【答案】ACD 【分析】
A 选项：证明1A D ⊥面1A EF ，得1A D EF ⊥；
B 选项：当1
22
BE BF BC ==
=时，三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，利用分隔补形法求三棱锥1A EFD -的外接球体积； C 选项：利用等体积法求三棱锥1A EFD -的体积； D 选项：利用等体积法求出点1A 到平面DEF 的距离. 【详解】 A 选项：
正方形ABCD
,AD AE DC FC ∴⊥⊥
由折叠的性质可知：1111,A D A E A D A F ⊥⊥
又
111A E A F A ⋂=
1A D ∴⊥面1A EF
又
EF ⊂面1A EF ，
1A D EF ∴⊥；故A 正确.
B 选项：当1
22
BE BF BC ==
=
时，112,A E A F EF ===在1A EF 中，222
11A E A F EF +=，则11A E A F ⊥
由A 选项可知，1111,A D A E A D A F ⊥⊥
∴三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，
把三棱锥1A EFD -
=，
三棱锥1A EFD -
，体积为
3
3
4433
R ππ
==，
故B 错误
C 选项：当1
14
BE BF BC ==
=
时，113,A E A F EF ===在1A EF
中，2
2
2
222111
11338cos 2233
9
A E A F EF EA F A E A F
+-
+-∠==
=⋅⨯⨯，
1sin 9
EA F ∠=
则111111sin 332292
A EF
S
A E A F EA F =
⋅⋅∠=⨯⨯⨯=
1111
1
143
3A EFD D A EF A EF V V S
A D --∴==⋅⋅==故C 正确；
D 选项：设点1A 到平面EFD 的距离为h ，则
在EFD △
中，2
22
2
2
2
5524cos 2255
25
DE DF EF EDF DE DF +-
+-∠==
=
⋅⨯⨯， 7sin 25
EDF ∠=
则1177sin 5522252
EFD
S
DE DF EDF =
⋅⋅∠=⨯⨯⨯=
11
173
323
A EFD DEF
V S
h h -∴=⋅⋅=⨯⨯=
即7
h =
故D 正确； 故选：ACD 【点睛】
方法点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．
3．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为2
3的等边三角形，侧棱长为43，则（ ）
A ．直线1A C 与直线1B
B 之间距离的最大值为3
B ．若1A 在底面AB
C 上的投影恰为ABC ∆的中心，则直线1AA 与底面所成角为60︒ C ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB 与1A C 所成的角为30
D ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64π 【答案】AD 【分析】
建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】
如图示，以A 为原点，AC 为y 轴正方向，Ax 为x 轴正方向，过A 点垂直于面ABC 的向上方向为z 轴正方向建系，则()()()
0,0,0,3,0,0,23,0,A B C 设()()()
100010001000,,,3,3,,,23,,A x y z B x y z C x y z ++
所以()()()
1
000100011,23,,,,,3,3,0,AC x y z BB x y z A B =---== 对于A:设n 为直线1A C 与直线1BB 的公垂线的方向向量，则有：11
·0·0AC n BB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
即()()
000000230
x x y y zz x x y y zz ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩解得：()00,0n z x =-
设直线1A C 与直线1BB 之间距离为d ，则2
2
0112
22200009|
|||z A B n
d d
x z n x z ==∴=++ 22009x d ≥∴≤，即3d ≤，故A 正确；
对于B ：若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则()
11,3,211A 底面法向量()()
10,0,1,1,3,211m AA ==，设直线 1AA 与底面所成角为θ，则：
121133
sin |cos ,|143
AA n θ==
=⨯，故B 错误； 对于C ： 三棱柱的侧棱垂直于底面时，则
(
)()()
1110,0,43,3,3,43,0,23,43,A B C
则()()1
3,3,0,0,23,43,AB AC ==-
设异面直线AB 与1A C 所成的角为θ，则
1
1
15cos |cos ,|||10||||
23215AB AC AB AC AB AC θ====⨯,故C 错误；
对于D ：若三棱柱的侧棱垂直于底面时，外接球的球心O 为上下底面中心DD 1连线的中点,所以外接球的半径()
2
22324R =+=，所以2464S R ππ==.
故D 正确
故选：AD 【点睛】
向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.
4．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的
三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（ ）
A ．()
()
2
2
12AA AB AD
AC ++=
B ．1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点
C ．1AA 与平面ABC
D 所成角大于45 D ．1BD 与AC 6 【答案】AC 【分析】
对A ，分别计算()
2
1++AA AB AD 和2
AC ，进行判断；对B ，设BD 中点为O ，连接
1A O ，假设1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，应得10⋅=O AB A ，计算
10⋅≠O AB A ，即可判断1A 在底面ABCD 上的射影不是线段BD 的中点；对C ，计算
11
,,A A AC AC ，根据勾股定理逆定理判断得11⊥A A AC ，1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，再计算1tan ∠A AC ；对D ，计算1,AC BD 以及1BD AC ⋅，再利用向量的夹角
公式代入计算夹角的余弦值. 【详解】
对A ，由题意，111
11cos602
⋅=⋅=⋅=⨯⨯=
AA AB AA AD AD AB ，所以(
)
2
222
111112*********
++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯
=AA AB AD
AA AB AD AA AB AB AD AA AD ，AC AB AD =+，所以()2
2
2
2
21113=+=+⋅+=++=AC AB AD
AB AB AD AD ，
所以()()2
2
1
26++==AA AB AD AC ，故A 正确；对B ，设BD 中点为O ，连接1
A O ，
1
111111
222
=+=+=++AO A A AO A A AC A A AD AB ，若1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，则1A O ⊥平面ABCD ，则应10
⋅=O AB A ，又因为21111111111110
222222224⎛⎫
⋅=++⋅=-⋅+⋅+=-+⨯+=≠ ⎪⎝⎭
O AB A A AD AB AB AA AB AD AB AB A ，故B 错误；对D ，11,BD AD AA AB AC AB AD =+-=+，
所以()()2
2
11
=2,=3=
+-=+AD A B A AB AC AB AD D ，
()()2
2
1
1
1
1
1
⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅=AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD AB
AB AD BD ，1116
cos ,23
⋅<>=
=
=⋅B AC D BD BD AC AC
，故D 不正确；对C ，112==AC BD ，在
1A AC 中，111,2,3===A A AC AC ，所以2
2
2
11+=A A AC AC ，所以11⊥A A AC ，所以1AA 与平面ABCD 所成角为1A AC ∠，又1tan 21∠=>A AC ，即145∠>A AC ，故C 正确；
故选：AC
【点睛】
方法点睛：用向量方法解决立体几何问题，需要树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比；同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，利用向量的夹角公式求解.
5．如图，已知正方体1ABCD ABC D -的棱长为a ，E 是棱CD 上的动点.则下列结论中正确的有（ ）
A ．11E
B AD ⊥
B ．二面角11E A B A --的大小为
4
π
C ．三棱锥11A B
D
E -体积的最小值为3
13
a D ．1//D E 平面11A B BA 【答案】ABD 【分析】
连接1A D 、1B C ，则易证1AD ⊥平面11A DCB ，1EB ⊂平面11A DCB ，则由线面垂直的性质定理可以判断选项A 正确；二面角11E A B A --的平面角为1DA A ∠，易知
14
DA A π
∠=
，则可判断选项B 正确；用等体积法，将求三棱锥11A B D E -的体积转化为
求三棱锥11E AB D -的体积，当点E 与D 重合时，三棱锥11E AB D -的体积最小，此时的值为3
16a ，则选项C 错误；易知平面11//D DCC 平面11A B BA ，而1D E ⊂平面11D DCC ，
则根据面面平行的性质定理可得1//D E 平面11A B BA ，可判断选项D 正确. 【详解】
选项A ，连接1A D 、1B C ，则由正方体1ABCD ABC D -可知，
11A D AD ⊥，111A B AD ⊥，1111A D
A B A =，
则1AD ⊥平面11A DCB ，又因为1EB ⊂平面11A DCB ，
所以11EB AD ⊥，选项A 正确； 选项B ，因为11//DE A B ，
则二面角11E A B A --即为二面角11D A B A --， 由正方体1ABCD ABC D -可知，11A B ⊥平面1DA A ， 则1DA A ∠为二面角11D A B A --的平面角，且14
DA A π
∠=，
所以选项B 正确；
选项C ，设点E 到平面11AB D 的距离为d ， 则111111
13
A B D E E AB D AB D V V S d --==
⋅，
连接1C D 、1C B ，易证平面1//BDC 平面11AB D ，
则在棱CD 上，点D 到平面11AB D 的距离最短， 即点E 与D 重合时，三棱锥11A B D E -的体积最小， 由正方体1ABCD ABC D -知11A B ⊥平面1ADD ， 所以1111123
11
1
113
326
D AB D B ADD
ADD a V V S A B a a --==⋅=⋅⋅=， 则选项C 错误；
选项D ，由正方体1ABCD ABC D -知，
平面11//CC D D 平面11A B BA ，且1D E ⊂平面11CC D D ， 则由面面平行的性质定理可知1//D E 平面11A B BA ，则选项D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
关键点点睛：本题对于选项C 的判断中，利用等体积法求三棱锥的体积是解题的关键.
6．在直角梯形ABCD 中，2
ABC BCD π
∠=∠=
，1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中
点，现将ADE 沿AE 折起，得到一个四棱锥D ABCE -，则下列命题正确的有（ ） A ．在ADE 沿AE 折起的过程中，四棱锥D ABCE -体积的最大值为1
3
B ．在ADE 沿AE 折起的过程中，异面直线AD 与B
C 所成的角恒为
4
π C ．在ADE 沿AE 折起的过程中，二面角A EC D --的大小为45︒
D ．在四棱锥D ABC
E -中，当D 在EC 上的射影恰好为EC 的中点
F 时，DB 与平面ABCE 所成的角的正切为155
【答案】ABD 【分析】
对于A ，四棱锥D ABCE -的底面面积是固定值，要使得体积最大，需要平面DAE ⊥平面ABCE ，此时DE CE ⊥，可求得11
33
D ABC
E ABCE V S DE -=
⋅=可判断A ；对于B ，在ADE 沿AE 折起的过程中，//AE BC ，所以异面直线AD 与AE 所成的角即为AD 与BC
所成角，由翻折前可知4
DAE π
∠=
可判断B ；对于C ，利用线面垂直的判定定理，结合翻
折前可知AE ⊥平面DEC ，又AE ⊂平面ABCE ，所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角A EC D --的在大小为
2
π
判断
C ；对于
D ，利用线面垂直的判定定理可知DF ⊥平面ABC
E ，所以DB
F ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角，在直角DFB △中，
15
tan DF DBF BF ∠=
=，可判断D 正确；
【详解】
对于A ，ADE 沿AE 折起得到四棱锥D ABCE -，由四棱锥底面面积是固定值，要使得体积最大，需要四棱锥的高最大，即平面DAE ⊥平面ABCE ，此时DE CE ⊥，由已知
得1DE =，则111
111333
D ABC
E ABCE V S DE -=
⋅=⨯⨯⨯=，故A 正确； 对于B ，在ADE 沿AE 折起的过程中，//AE BC ，所以异面直线AD 与AE 所成的角即
为AD 与BC 所成角，又1AB BC ==，2DC =，E 为DC 中点，可知4
DAE π
∠=
，即异面直线AD 与BC 所成的角恒为
4
π
，故B 正确； 对于C ，由翻折前知，,AE EC AE ED ⊥⊥，且EC
ED E =，则AE ⊥平面DEC ，
又AE ⊂平面ABCE ，所以平面DEC ⊥平面ABCE ，即二面角A EC D --的大小为
2
π
，故C 错误； 对于D ，如图连接,DF BF ，由C 选项知，AE ⊥平面DEC ，又DF ⊂平面DEC ，则
AE DF ⊥，又由已知得EC DF ⊥，且EC AE E ⋂=，则DF ⊥平面ABCE ，所以
DBF ∠为直线DB 与平面ABCE 所成的角，在直角DFB △中，
2
2
2222
113
12215
2tan 55111222DE CE DF
DBF BF
BC CE ⎛⎫⎛⎫
-- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
∠=
====⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以DB 与平面ABCE 所成的角的正切为
15
5
，故D 正确；
故选：ABD 【点睛】
关键点睛：本题考查立体几何综合问题，求体积，求线线角，线面角，面面角，解题的关键要熟悉几种角的定义，通过平移法找到线线角，通过证垂直找到线面角和面面角，再结合三角形求出角，考查了学生的逻辑推理能力，转化能力与运算求解能力，属于难题.
7．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，如图，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α.下面说法正确的是（）
A ．直线A
B 与平面α所成角的正弦值范围为32⎣⎦
B ．点M 与点1
C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C ．点M 为1CC 的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形
D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点 【答案】AC 【分析】
以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系
D xyz -，利用空间向量法可判断A 选项的正误；证明出1AC ⊥平面1A BD ，分别取棱
11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点E 、F 、Q 、N 、G 、H ，比较1A BD 和六边形EFQNGH 的周长和面积的大小，可判断B 选项的正误；利用空间向量
法找出平面α与棱11A D 、11A B 的交点E 、F ，判断四边形BDEF 的形状可判断C 选项的正误；将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，利用A 、M 、N 三点共线得知AM MN +最短，利用平行线分线段成比例定理求得MC ，可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空
间直角坐标系D xyz -，则点()2,0,0A 、()2,2,0B 、设点()()0,2,02M a a ≤≤，
AM ⊥平面α，则AM 为平面α的一个法向量，且()2,2,AM a =-，()0,2,0AB =，
2232cos ,,32288AB AM
AB AM AB AM a a ⋅<>===⎢⋅⨯++⎣⎦
， 所以，直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为322⎣⎦
，A 选项正确；
对于B 选项，当M 与1CC 重合时，连接1A D 、BD 、1A B 、AC ， 在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，
BD ⊂平面ABCD ，
1BD CC ∴⊥，
四边形ABCD 是正方形，则BD AC ⊥，
1CC AC C =，BD ∴⊥平面1ACC ，
1AC ⊂平面1ACC ，1AC BD ∴⊥，同理可证11AC A D ⊥， 1A D BD D ⋂=，1AC ∴⊥平面1A BD ，
易知1A BD 是边长为22(1
2
3
2223A BD S ==△为22362=.
设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别为棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点，
易知六边形EFQNGH 是边长为2的正六边形，且平面//EFQNGH 平面1A BD ， 正六边形EFQNGH 的周长为62，面积为()
2
362
33⨯
⨯=，
则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积，它们的周长相等，B 选项错误； 对于C 选项，设平面α交棱11A D 于点(),0,2E b ，点()0,2,1M ，()2,2,1AM =-，
AM ⊥平面α，DE ⊂平面α，AM DE ∴⊥，即220AM DE b ⋅=-+=，得
1b =，()1,0,2E ∴，
所以，点E 为棱11A D 的中点，同理可知，点F 为棱11A B 的中点，则()2,1,2F ，
()1,1,0EF =，
而()2,2,0DB =，1
2
EF DB ∴=
，//EF DB ∴且EF DB ≠， 由空间中两点间的距离公式可得2222015DE =++=()()()
222
2212205BF =
-+-+-=，DE BF ∴=，
所以，四边形BDEF 为等腰梯形，C 选项正确；
对于D 选项，将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，如下图所示：
若AM MN +最短，则A 、M 、N 三点共线，
11//CC DD ，22
22222
MC AC DN AD ∴
===-+， 11
222
MC CC =-≠，所以，点M 不是棱1CC 的中点，D 选项错误.
故选：AC. 【点睛】
本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.
8．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（ ）
A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1D
B ．三棱锥P ﹣A 1
C 1
D 的体积为定值
C ．异面直线AP 与A 1
D 所成角的取值范用是[45°，90°] D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D 6 【答案】ABD 【分析】
在A 中，推导出A 1C 1⊥BD 1，DC 1⊥BD 1，从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ；在B 中，由B 1C ∥平面 A 1C 1D ，得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，再由△A 1C 1D 的面积是定值，从而三棱锥P
﹣A1C1D的体积为定值；在C中，异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]；在D 中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法
能求出直线C1P与平面A1C1D 所成角的正弦值的最大值为
6
3
．
【详解】
解：在A中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，
∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，
∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确；
在B中，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，
∴B1C∥平面A1C1D，
∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，
又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故B正确；
在C中，异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]，故C错误；
在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，P（a，1，a），
则D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），
1
DA＝（1，0，1），
1
DC＝（0，
1，1），
1
C P＝（a，0，a﹣1），
设平面A1C1D的法向量()
,,
n x y z
=，
则1
1
n DA x z
n DC y z
⎧⋅=+=
⎪
⎨
⋅=+=
⎪⎩
，取x＝1，得1,1,1
n，
∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为：
1
1
||
||||
C P n
C P n
⋅
⋅
＝
22
(1)3
a a
+-⋅
＝
2
11
32()
22
a
⋅-+
，
∴当a＝1
2
时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
6
，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】
求直线与平面所成的角的一般步骤：
（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解； （2）、用空间向量坐标公式求解.
9．如图，已知P 为棱长为1的正方体对角线1BD 上的一点，且()()10,1BP BD λλ=，下
面结论中正确结论的有（ ）
A ．11A D C P ⊥；
B ．当1A P PD +取最小值时，23λ=；
C ．若()0,1λ∈，则7,312APC ππ⎛⎫∠∈
⎪⎝
⎭
； D ．若P 为1BD 的中点，四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为9
4
π． 【答案】ABD 【分析】
以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，利用向量关系可判断ABC ；根据几何体外接球关系建立方程求出球半径即可判断D. 【详解】
以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
则()1,1,0B ，()10,0,1D ，设(),,P x y z ，
()()
10,1BP BD λλ=，1BP BD λ∴=，即()()1,1,1,1,1x y z λ--=--，
则可解得()1,1,P λλλ--， 对A ，
()()()111,0,1,0,0,0,0,1,1A D C ，()11,0,1A D ∴=--，
()11,,1C P λλλ=---，则()()()()11110110A D C P λλλ⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=，则
11A D C P ⊥，故A 正确；
对B ，1A P PD +=
==
则当2
3
λ=时，1A P PD +取最小值，故B 正确； 对C ，
()()1,0,0,0,1,0A C ，(),1,PA λλλ∴=--，()1,,PC λλλ=--，
则222321cos 1321
321PA PC
APC PA PC λλλλλλ⋅-∠===--+-+⋅，
01λ<<，则2232123λλ≤-+<，则2
111
123212λλ-≤-<-+， 即11cos 22APC -≤∠<，则2,33APC ππ⎛⎤
∠∈ ⎥⎝⎦
，故C 错误；
对于D ，当P 为1BD 中点时，四棱锥11P AA D D -为正四棱锥，设平面11AA D D 的中心为
O ，四棱锥11
P AA D D -的外接球半径为R ，所以2
2
2
122R R ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，解得34R =， 故四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为9
4
π，所以D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
关键点睛：本题考查空间相关量的计算，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量建立关系进行计算.
10．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交棱
1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，得四边形1BFD E ，在以下结论中，正确的是（ ）
A ．四边形1BFD E 有可能是梯形
B ．四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形
C ．四边形1BF
D
E 有可能垂直于平面11BB D D D ．四边形1BFD E 面积的最小值为62
【答案】BCD 【分析】
四边形1BFD E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；1BFD E 在底面ABCD 内的投影是四边形ABCD ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形1BFD E 垂直于面
11BB D D ；当E ，F 分别是两条棱的中点时，四边形1BFD E 6
【详解】
过1BD 作平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面为四边形1BFD E ， 如图所示，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，且平面1BFD E 平面11ABB A BE =.
平面1BFD E
平面1111,//DCC D D F BE D F =，因此，同理1//D E BF ，
故四边形1BFD E 为平行四边形，因此A 错误；
对于选项B ，四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，因此B 正确； 对于选项C ，当点E F 、分别为11,AA CC 的中点时，EF ⊥平面11BB D D ，又EF ⊂平面
1BFD E ，则平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，因此C 正确；
对于选项D ，当F 点到线段1BD 的距离最小时，此时平行四边形1BFD E 的面积最小，此时点E F 、分别为11,AA CC 的中点，此时最小值为16
2322
=
，因此D 正确. 故选：BCD
【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.。