2019秋浙教版数学九年级上册同步测试试题：微专题8 圆周角定理的综合运用

微专题8圆周角定理的综合运用
【思想方法】利用直径构造90°的圆周角；利用圆周角实现图形中角的等量转换．
一．巧作辅助线求角度和线段的长度
1．如图1，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为(B)
图1
A．15° B．18°
C．20° D．28°
2．如图2，AB是⊙O的直径，∠D＝20°.求∠BAC的度数．
图2 第2题答图
解：如答图，连结BC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠D＝20°，∴∠B＝20°，
∴∠BAC ＝90°－∠B ＝70°.
二．圆周角定理与等腰三角形的综合
3．如图3，BC 是半圆O 的直径，AD ⊥BC 于D ，BA ︵＝AF ︵，BF 与AD 交于E .求
证：
图3
(1)∠BAD ＝∠ACB ；
(2)AE ＝BE .
证明：(1)∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，
∴∠BAD ＋∠CAD ＝90°，又AD ⊥BC ，
∴∠ACB ＋∠CAD ＝90°，
∴∠BAD ＝∠ACB ；
(2)∵BA ︵＝AF ︵，∴∠ACB ＝∠ABF ，
∵∠BAD ＝∠ACB ，∴∠ABF ＝∠BAD ，
∴AE ＝BE .
三．圆周角定理与垂径定理的综合
4．如图4，AB是半圆O的直径，点C，D是圆上两点，且OD∥AC，OD与BC 交于点E.
图4
(1)求证：E为BC的中点；
(2)若BC＝8，DE＝3，求AB的长度．
解：(1)证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠C＝90°，
∵OD∥AC，∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，∴BE＝CE，∴E为BC的中点；
(2)设⊙O的半径为x，则OB＝OD＝x，OE＝x－3，
∵BE＝1
2BC＝4，
在Rt△BOE中，OB2＝BE2＋OE2，
∴x2＝42＋(x－3)2，解得x＝25
6
，∴AB＝2x＝25
3.。