《物理学教学课件》5-5 振动的合成.ppt
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5-5 振动的合成
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
设一质点同时参与 两独立的同方向、同频 率的简谐振动：
x1
A1
cos(t
1
)
x A cos(t )
2
2
2
A2
2 1
A1
O x2 x1 x
两振动的位相差 2 1 =常数
1. 分振动 : 2. 合振动:
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
x x1 x2 A1 cos( t 1) A2 cos( t 2) (A1 cos1 A2 cos2)cos t (A1 sin 1 A2 sin 2)sin t
B1 cos t B2 sin t
B12 B22 (
B1 cos t
Bபைடு நூலகம்2 B22
B2 sin t)
B12 B22
sin B2
B12 B22
则 x Acos cost Asin sin t Acos( t )
其中 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
更简洁的:
x x1 x2 A1 cos( t 1) A2 cos( t 2)
x (2A cos2 π 2 1 t)cos2 π 2 1 t
1
2
2
2π2 1 T π
2
2
1
T 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
方法二：旋转矢量合成法
振幅
A
2 A1 cos( 2
1
2
t)
拍频 2 1
振动圆频率
(2 1)t
2
A
A2
o
x
A1
1
x2 x1
x
1t 2t 2 1
1
2
2
sin
1
A2
sin2
A1 cos1 A2 cos2
A2
2
x 1
A1
O x2 x1 x
（1）相位差
2
1
2k π
(k
0，1， 2,)
x
x
o
o
A1
A2
A
T
t
A A1 A2
x (A A )cos(t )
1
2
2 1 2k π
（2）相位差 (2k 1) π(k 0，1, )
简谐运动
x A cost
1
0
x A cos(t )
2
0
x3 A0cos(t 2)
o
A1
A2
A3
A4
A5
A
x
A Ai NA0
x A cos[t (N 1)]
N
0
(1) 2kπ
讨 (k 0,1,2,)
论 (2) N 2k ' π
(k ' kN, k ' 1,2,)
讨论
A1 A2
, 2 1
1
2
的情况
方法一
x x1 x2 A1 cos2 π1t A2 cos2 π2t
x (2A cos2 π 2 1 t)cos2 π 2 1 t
1
2
2
振幅部分
合振动频率
振动频率 (1 2 ) 2
振幅
A 2A cos2 π 2 1 t
1
2
Amax 2A1 Amin 0
二 两个相互垂直的同频率的简谐
运动的合成 x A1 cos(t 1)
y A2 cos(t 2 )
质点运动轨迹 （椭圆方程）
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin2 (2
1 )
讨 论
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin 2
y
(2
用旋转矢量描绘振动合成图
两相 互垂直同 频率不同 相位差简 谐运动的 合成图
*三 多个同方向同频率简谐运动的合成
x1
A1
cos(t
1
)
x2 A2 cos(t 2 )
xn
An
cos(t
n
)
x x1 x2 xn
x Acos(t )
A
A3
3
A2 2
o 1 A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为
两个同方向同频率简谐运动合成
后仍为同频率的简谐运动
旋转矢量法:
x A cos(t )
A A12 A22 2A1A2 cos[ (2 1)]
A12 A22 2A1A2 cos (2 1)
A
x x1 x2
A12 A22 2A1A2 cos (2 1)
A
tan
A1
1 )
（1）2 1 0或 2π
y A2 x A1
（2）2
1
π
A y 2 x
A 1
A2 A1
ox
y
A2
o A1 x
讨 论
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin 2
(2
1 )
（3）2
1
π
2
x2 A12
y2 A22
1
x
y
A1
A
cost
cos(t
π
)
2
2
y
A2
o A1 x
2
1
x
x
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
x (A2 A1)cos(t )
2
1
(2k
1)π
小结
（1）相位差
2
1
2k
π
A A1 A2
(k 0，1，) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1，)
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
(A1 cos1 A2 cos2)cos t (A1 sin 1 A2 sin 2)sin t
Acos
Asin
x Acos cost Asin sin t Acos( t )
A
A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
i A4 A5
O A6
A0
A3
A2
A1
x
四 两个同方向不同频率简谐运动 的合成
频率较大而频率之差很小的两个同方 向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍.
x1 A1 cos1t A1 cos2π1t x2 A2 cos2t A2 cos2π2t
x x1 x2
令 A B12 B22
cos B1
B12 B22
sin B2
B12 B22
B1 A1 cos1 A2 cos2 B2 A1 sin 1 A2 sin 2
x
B12 B22 (
B1 cos t
B12 B22
B2 sin t)
B12 B22
A
B12 B22
cos
B1 B12 B22
一 两个同方向同频率简谐运动的合成
设一质点同时参与 两独立的同方向、同频 率的简谐振动：
x1
A1
cos(t
1
)
x A cos(t )
2
2
2
A2
2 1
A1
O x2 x1 x
两振动的位相差 2 1 =常数
1. 分振动 : 2. 合振动:
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
x x1 x2 A1 cos( t 1) A2 cos( t 2) (A1 cos1 A2 cos2)cos t (A1 sin 1 A2 sin 2)sin t
B1 cos t B2 sin t
B12 B22 (
B1 cos t
Bபைடு நூலகம்2 B22
B2 sin t)
B12 B22
sin B2
B12 B22
则 x Acos cost Asin sin t Acos( t )
其中 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
更简洁的:
x x1 x2 A1 cos( t 1) A2 cos( t 2)
x (2A cos2 π 2 1 t)cos2 π 2 1 t
1
2
2
2π2 1 T π
2
2
1
T 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
方法二：旋转矢量合成法
振幅
A
2 A1 cos( 2
1
2
t)
拍频 2 1
振动圆频率
(2 1)t
2
A
A2
o
x
A1
1
x2 x1
x
1t 2t 2 1
1
2
2
sin
1
A2
sin2
A1 cos1 A2 cos2
A2
2
x 1
A1
O x2 x1 x
（1）相位差
2
1
2k π
(k
0，1， 2,)
x
x
o
o
A1
A2
A
T
t
A A1 A2
x (A A )cos(t )
1
2
2 1 2k π
（2）相位差 (2k 1) π(k 0，1, )
简谐运动
x A cost
1
0
x A cos(t )
2
0
x3 A0cos(t 2)
o
A1
A2
A3
A4
A5
A
x
A Ai NA0
x A cos[t (N 1)]
N
0
(1) 2kπ
讨 (k 0,1,2,)
论 (2) N 2k ' π
(k ' kN, k ' 1,2,)
讨论
A1 A2
, 2 1
1
2
的情况
方法一
x x1 x2 A1 cos2 π1t A2 cos2 π2t
x (2A cos2 π 2 1 t)cos2 π 2 1 t
1
2
2
振幅部分
合振动频率
振动频率 (1 2 ) 2
振幅
A 2A cos2 π 2 1 t
1
2
Amax 2A1 Amin 0
二 两个相互垂直的同频率的简谐
运动的合成 x A1 cos(t 1)
y A2 cos(t 2 )
质点运动轨迹 （椭圆方程）
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin2 (2
1 )
讨 论
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin 2
y
(2
用旋转矢量描绘振动合成图
两相 互垂直同 频率不同 相位差简 谐运动的 合成图
*三 多个同方向同频率简谐运动的合成
x1
A1
cos(t
1
)
x2 A2 cos(t 2 )
xn
An
cos(t
n
)
x x1 x2 xn
x Acos(t )
A
A3
3
A2 2
o 1 A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为
两个同方向同频率简谐运动合成
后仍为同频率的简谐运动
旋转矢量法:
x A cos(t )
A A12 A22 2A1A2 cos[ (2 1)]
A12 A22 2A1A2 cos (2 1)
A
x x1 x2
A12 A22 2A1A2 cos (2 1)
A
tan
A1
1 )
（1）2 1 0或 2π
y A2 x A1
（2）2
1
π
A y 2 x
A 1
A2 A1
ox
y
A2
o A1 x
讨 论
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin 2
(2
1 )
（3）2
1
π
2
x2 A12
y2 A22
1
x
y
A1
A
cost
cos(t
π
)
2
2
y
A2
o A1 x
2
1
x
x
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
x (A2 A1)cos(t )
2
1
(2k
1)π
小结
（1）相位差
2
1
2k
π
A A1 A2
(k 0，1，) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1，)
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
(A1 cos1 A2 cos2)cos t (A1 sin 1 A2 sin 2)sin t
Acos
Asin
x Acos cost Asin sin t Acos( t )
A
A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
i A4 A5
O A6
A0
A3
A2
A1
x
四 两个同方向不同频率简谐运动 的合成
频率较大而频率之差很小的两个同方 向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而 加强时而减弱的现象叫拍.
x1 A1 cos1t A1 cos2π1t x2 A2 cos2t A2 cos2π2t
x x1 x2
令 A B12 B22
cos B1
B12 B22
sin B2
B12 B22
B1 A1 cos1 A2 cos2 B2 A1 sin 1 A2 sin 2
x
B12 B22 (
B1 cos t
B12 B22
B2 sin t)
B12 B22
A
B12 B22
cos
B1 B12 B22