垂径定理2

O C
A
B
D
分析一：要说明AC ＝BD，通常
就是说明AC与BD所在的两个三
O
角形全等，此时我们会想到连接 OC、 OD，本题只要说明
B
D
C
A
AOC≌△BOD即可．
O C
A
解法一： AC ＝BD. 理由：连接OC、 OD ， ∵ OC＝ OD ∴ ∠C＝∠D . 又∵ OA＝OB， ∴ ∠OAB＝∠OBA . B D ∴ ∠OAC＝∠OBD 等角的补角相等. 又∵ OA＝OB， ∴△AOC≌△BOD ∴AC ＝BD.
C A D O B
2 2 2
O
思考: 如果水面宽度由60cm变为80cm，那么污水面下 降了多少厘米?
８0cm
60cm
A
B
B
A
10cm
A
８0cm
B
70cm
解决求赵州桥拱半径的问题
A A 如图，用 B 表示主桥拱，设 B 所在圆的圆心为O，
A B
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足， OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中 点，C是 B 的中点，CD 就是拱高． A 在图中 AB=37.4，CD=7.2，
O
可以不说明全等吗？ 利用垂径定理可以解决这 个问题吗？
B
D
C
A
E
O C
A
E
B
D
解法二： 理由：过O作OE⊥CD于E点 ， ∵ OE⊥CD ， ∴ CE＝DE . 又∵ OA＝OB， OE⊥CD ， ∴ AE＝BE . ∴ CE－AE＝DE－BE. 即 AC＝BD.
O C A D B图2 NhomakorabeaO C D O
60cm
A
B
10cm
60cm
60cm
A
B
10cm
A
B
10cm
F A
R 30
60cm
B
E
R-10
A
F E
O
B
10cm
O
F
解：过 O 点作 OE⊥AB 于 E 点 ，
B
A
R
30
E
R-10
并延长 OE 交⊙O 于点 F，连接 OA， 1 ∴AE＝ × 60＝30 2 设⊙O 的半径为 R， 则由勾股定理得 OA2＝OE2＋AE2， 即 R ＝(R－10) ＋30 ， 解得 R＝50， 答：修理人员应准备 50cm 的管道.
AD 1 2 AB 1 2 37 . 4 18 . 7 ,
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 A 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m）
C D R O
B
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则 13 这弓形所在的圆的半径为 cm . 4
垂径定理的应用
垂径定理 文字语言：垂直于弦的直径平分弦，并且平分 弦所对的两条弧．
图形语言：
C A M O B
几何语言：
如图∵CD 是直径， CD⊥AB， ∴AM＝BM， ⌒ ⌒ AC ＝ BC ， ⌒ ⌒ AD＝ BD．
垂径定理是圆中一个重要的结论，三种语言要相互 转化，形成整体，才能运用自如．
A
B
A
C
E
D
B
图1
图3
A
C
【变式 】 解：AC ＝BD. 理由：过O作OE⊥CD于E点 ， ∵ OE⊥CD ， ∴ CE＝DE . O 又∵ OA＝OB， OE⊥CD ， D B ∴ AE＝BE . E ∴ AE－CE＝BE－DE， 即 AC＝BD.
例3 某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员 准备更换一段与原管道同样粗细的新管道．如图所示， 已知污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为 10cm，问修理人员应准备半径多大的管道？
C
； ．
O A E D B
例１ 已知：如图，直径 CD⊥弦 AB，垂足为 点 E． （1） 若半径 R＝2， AB＝2 3， OE＝ 则 （2）若半径 R＝2，OE＝1，则 AB＝
C
1
；
2 3 ．
O A E D B
例2 直线AB与⊙O交于C、D两点，且OA＝
OB ．AC与BD相等吗？说说你的理由．
D
例１ 已知：如图，直径 CD⊥弦 AB，垂足为 点 E． （1） 若半径 R＝2， AB＝2 3， OE＝ 则 （2）若半径 R＝2，OE＝1，则 AB＝ C ； ．
O
A
E D
B
例１ 已知：如图，直径 CD⊥弦 AB，垂足为 点 E． （1） 若半径 R＝2， AB＝2 3， OE＝ 则 （2）若半径 R＝2，OE＝1，则 AB＝