气垫导轨上弹簧振子阻尼振动的数字化实验研究

气垫导轨上弹簧振子阻尼振动的数字化实验研究
赵俊;丁益民;杨蕾;王东威;王维;余聪;吴定益
【摘要】对传统的气垫导轨上弹簧振子的简谐运动和阻尼振动的实验进行改进，同时利用DISLab位移传感器测量数据并结合MATLAB软件进行数据处理，能够方便精确地计算弹簧的弹性系数以及滑块与导轨间的阻尼常量，从而实现了物理实验的数字化。

%Improving the traditional experiment of harmonic vibration and damping vibration of spring on air track,then using DISLab displacement sensor to measure date and software Matlab for data processing,we can calculate the elastic coefficient of the spring and the damping constant between the slider and guide,realizing the digitization of physics experiment.
【期刊名称】《大学物理实验》
【年(卷),期】2016(029)004
【总页数】4页(P52-54,58)
【关键词】数字化实验;DISLab位移传感器;MATLAB;弹性系数;阻尼常量
【作者】赵俊;丁益民;杨蕾;王东威;王维;余聪;吴定益
【作者单位】湖北大学，湖北武汉 430062;湖北大学，湖北武汉 430062;湖北大学，湖北武汉 430062;湖北大学，湖北武汉 430062;湖北大学，湖北武汉430062;湖北大学，湖北武汉 430062;湖北大学，湖北武汉 430062
【正文语种】中文
【中图分类】O4-34
气垫导轨是一种通过产生气垫层使放置其上的物体避免与导轨直接接触，从而减小摩擦力的实验装置。

通常可以采用气垫导轨来研究一些避免摩擦力干扰的力学实验，如验证牛顿第二定律和测量重力加速度等实验。

介绍如何利用数字技术来研究气垫导轨上弹簧振子的阻尼振动并测量阻尼常量和弹簧的弹性系数等量。

在传统的实验中，通常将测量弹簧振子的弹性系数和阻尼常量的问题分别放在简谐振动和阻尼振动这两个不同的实验中处理[1]。

因为气垫导轨与滑块之间存在粘性阻尼，所以将
阻尼振动近似看作简谐振动会存在系统误差，而且采用逐差法处理数据也较为麻烦。

另外，在测量阻尼常量的实验中，阻尼振动的半衰期和初始振幅的测定会存在较大的偶然误差。

因此，为了提高实验的效率和精度，简化实验的操作和步骤，我们将两个实验融合在一起，并结合DISLab传感器[2]和MATLAB软件[3]等工具对该实验进行合理的改进和优化，从而实现了传统实验的数字化。

阻尼振动是指振动体系在受到外界作用时，能量损耗，振幅越来越小的振动。

由于滑块与气垫导轨之间存在粘性阻尼，因此，弹簧振子在气垫导轨上的运动是阻尼振动。

当滑块运动速度较小时，阻尼力的大小与速度成正比，此时滑块的运动方程为其中，A0为初始振幅，因此可得弹簧振子振幅随时间变化的关系式为
因为阻尼振动的周期T满足，所以可得下式：
由(3)式可知，在质量m一定的情况下，振幅A随时间t呈指数衰减，取振动曲线的峰值坐标，利用MATLAB进行数据拟合，可以求出阻尼常量b值。

将求得的b 值代入(4)式，再通过实验分别测量不同质量m下对应的振动周期T，最后按(4)进行数据拟合，从而可以求出弹性系数k。

2.1 实验仪器
本实验的测量装置主要由朗威DISLab位移传感器、数据采集器、气垫导轨、计算机、电子秤、滑块、砝码和一对相同的弹簧等组成。

实验装置图如图1所示，其
中DISLab位移传感器为实验的核心部件，它能够实时地测量物体的位移随时间的变化[4-6]。

2.2 实验步骤
(1)在砝码上做上标记，用电子秤分别称量滑块、弹簧和砝码的质量，并做好相应
的记录。

(2) 按图1连接好滑块与弹簧，将DISLab传感器的信号接收器固定在导轨的一端，另一端通过数据采集器和计算机连接。

将位移传感器固定在滑块上，然后打开电脑端的DISLab软件，当滑块处在平衡位置时设置位移零点。

(3)滑块上不加砝码(或者添加一定质量的砝码)，记录弹簧振子的有效质量m。

将
滑块拉离平衡位置一定距离，点击“开始记录”后释放滑块，点击“停止记录”后结束测量，选择合适振动的曲线，鼠标单击选择波谷(或者波峰)上合适的数据点依次记录坐标(t,A)。

(4)在滑块两侧各增加一个砝码，记下此时弹簧振子的有效质量m，测量并记录图形，通过鼠标点击显示坐标来计算周期T。

然后，在滑块两侧再依次增加砝码个数，重复以上实验步骤，获得多组(m,T)的实验数据。

3.1 实验数据
见表1。

3.2 编写程序进行曲线拟合和分析
程序一(阻尼常数的计算)：
clc;clear;close all
t=[2.207；12.582；24.977;33.239；39.484；47.746；
54.038；68.545；76.761；85.070；95.446；101.690；110.000；116.150；122.347；128.545 ];%所选波谷位置对应的时间]A=-1*[11.536；10.589；9.781；
9.103；8.735；8.238；7.935；7.200；6.832；6.486；6.097；5.881；5.557；
5.405；5.189；4.973 ];%选取波谷的位移f=fittype('A0*exp(-
1.2582*b*t)','independent','t','coefficients',{'A0','b'});%其中1.2582=1/(2*m)，实验中m=0.397394(kg)cfun1=fit(t,A,f)
ti=0:0.01:160;%定义时间的取值范围
Ai=cfun1(ti);
plot(t,A,'rp',ti,Ai,'b-','linewidth',1.5,'markerfacecolor','r')
xlabel('时间t/s');
ylabel('振幅A/cm');
程序二(弹性系数的计算)：
m=[0.397394;0.503044;0.602774;0.702210;0.802414;0.902150;1.007225;1.1 07201;1.207668];%弹簧振子的有效质量
T=[2.0464;2.3143;2.5214;2.7286;2.9143;3.0929;3.2786;3.4286;3.5714 ];%振动的周期x=1./m;y=T.^2;
f=fittype('16*pi^2/(4*k*x-
0.005361^2*x^2)','independent','x','coefficients',{'k'});%式中0.005361是由
程序一求出的b值代换的cfun2=fit(x,y,f)
xi=0.7:0.01:3.5;
yi=cfun2(xi);
plot(x,y,'r*',xi,yi,'b-','linewidth',1.5);
xlabel('质量的倒数(kg^-1)');
ylabel('周期的平方(s^2)');
运行程序一可得到阻尼常量:b=0.005296 (0.005151,0.005441)，将求得的b值带入程序二的拟合函数“16*pi^2/(4*k*x-b^2*x^2)”中，运行后可求得弹簧的
弹性系数:k=3.724
(3.712,3.735)。

可以看出阻尼常量和弹性系数均值的置信度为95%的置信区间都比较窄，说明计量值比较接近真值，即所求的阻尼常量和弹性系数都比较准确。

图2和图3分别是振幅与时间以及振动周期与质量的函数拟合曲线，从图中也可以直观地看出拟合效果都比较理想。

实验利用DISLab系统和MATLAB软件等工具实现了物理实验的数据采集、数据记录和数据处理的数字一体化研究。

通过将数据以直观的振动曲线的形式呈现，我们可以很方便地分析实验的结果并能够选取更多精确的实验数据，这样可以极大地提高实验的精度和可靠性。

同时，该实验对传统实验进行合理地改进和优化，能够同时求出阻尼常量和弹簧的弹性系数，较大地提高了实验的效率，在实验教学中具有一定的推广价值。