专题07 算术平方根与平方根-2020-2021学年七年级数学下册常考题专练(人教版)(解析版)

专题07 算术平方根与平方根
★ 知识归纳
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x 叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；
，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
要点梳理：
有意义时，
≥0，≥0. 2.平方根的定义
如果，那么叫做
的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为
的算术平方根.
3．区别：
（1）定义不同；（2）结果不同：
4．联系：（1
）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
要点梳理：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，
我们可以利用算术平方根来研究平方根.
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动
1位.例如：
x a 2
x a =a a a a a a 2
x a =x a a a a 0)a ≥a (0)||0
(0)(0)
a
a a a a a >⎧⎪
===⎨⎪-<⎩
()2
0a
a =≥
.
★ 实操夯实
一．选择题（共17小题） 1．3的算术平方根是（ ） A ．±
B ．
C ．﹣
D ．9
【解答】解：3的算术平方根是，
故选：B ．
2．实数9的算术平方根是（ ） A ．3
B ．﹣3
C ．±3
D ．81
【解答】解：∵32＝9， ∴9算术平方根为3． 故选：A ．
3．如果a 有算术平方根，那么a 一定是（ ） A ．正数
B ．0
C ．非负数
D ．非正数
【解答】解：∵a 有算术平方根， ∴a ≥0． 故选：C ．
250=25= 2.5=0.25=
4．已知|a|＝5，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）
A．2或12B．2或﹣12C．﹣2或12D．﹣2或﹣12【解答】解：∵|a|＝5，
∴a＝±5，
∵＝7，
∴b＝±7，
∵|a+b|＝a+b，
∴a+b＞0，
所以当a＝5时，b＝7时，a﹣b＝5﹣7＝﹣2，
当a＝﹣5时，b＝7时，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12，
所以a﹣b的值为﹣2或﹣12．
故选：D．
5．的平方根是（）
A．±5B．5C．±D．
【解答】解：∵＝5，
∴的平方根是±，
故选：C．
6．下列说法不正确的是（）
A．5的平方根是±
B．的平方根是
C．0.09的算术平方根是0.3
D．﹣6是36的一个平方根
【解答】解：A、5的平方根是±是正确的，不符合题意；
B、的平方根是，原来的说法是错误的，符合题意；
C、0.09的算术平方根是0.3是正确的，不符合题意；
D、﹣6是36的一个平方根是正确的，不符合题意．
故选：B．
7．若a、b为实数，且满足，则b﹣a的值为（）
A．1B．0C．﹣1D．以上都不对
【解答】解：由题意得，a﹣2＝0，3﹣b＝0，
解得，a＝2，b＝3，
则b﹣a＝1，
故选：A．
8．如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：由勾股定理，得AC＝，
乘方，得（）2＝2，
故选：A．
9．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和9，那么图中阴影部分的面积为（）
A．1B．2C．3D．4【解答】解：设两个正方形的边长是x、y（x＜y），
则x2＝4，y2＝9，
x＝2，y＝3，
则阴影部分的面积是（y﹣x）x＝（3﹣2）×2＝2，
故选：B．
10．的算术平方根是（）
A．B．C．±D．±4【解答】解：的算术平方根；
故选：A．
11．下列叙述正确的是（）
A．＝﹣2B．12的算术平方根是
C．＝±4D．（﹣π）2的平方根是π【解答】解：（A）原式＝＝2，故A错误．
（B）的算术平方根为，故B正确．
（C）原式＝4，故C错误．
（D）（﹣π）2的平方根是±π，故D错误．
故选：B．
12．的算术平方根是（）
A．3B．﹣3C．±3D．6【解答】解：∵＝9，
∴的算术平方根是＝3，
故选：A．
13．化简的结果是（）
A．﹣9B．﹣3C．±9D．±3【解答】解：＝﹣3．
故选：B．
14．一个数的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，则这个数是（）A．﹣1B．3C．9D．﹣3【解答】解：由题意得，
2a﹣1﹣a+2＝0，
解得a＝﹣1，
所以2a﹣1＝﹣3，﹣a+2＝3，
即一个数的两个平方根分别是3与﹣3，
所以这个数是9，
故选：C．
15．化简得（）
A．B．C．D．
【解答】解：＝＝＝，
故选：D．
16．下列说法中，错误的是（）
A．4的算术平方根是2B．的平方根是±3
C．121的平方根是±11D．﹣1的平方根是±1
【解答】解：A、4的算术平方根是2，正确，与要求不符；
B、＝9，9的平方根是±3，正确，与要求不符；
C、121的平方根是±11，正确，与要求不符；
D、负数没有平方根，故D错误，与要求相符．
故选：D．
17．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为16时，输出的y是（）
A．B．C．4D．8【解答】解：由题中所给的程序可知：把16取算术平方根，结果为4，因为4是有理数，所以把4取算术平方根，结果为2，
因为2是有理数，所以把2取算术平方根，结果为，
因为结果为无理数，
所以y＝．
故选：A．
二．填空题（共1小题）
18．4的平方根是±2．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2．
故答案为：±2．
三．解答题（共8小题）
19．学校要建一个面积是81平方米的草坪，草坪周围用铁栅栏围绕，现有两种方案：有人建议建成正方形，也有人建议建成圆形，如果从节省铁栅栏费用的角度考虑（栅栏周长越小，费用越少），你选择哪种方案？请说明理由．（π取3）
【解答】解：选择建成圆形草坪的方案．
理由如下：设建成正方形时的边长为x米，
由题意得，x2＝81，
解得，x＝±9，
由题意得，x＞0，
∴x＝9，
∴正方形的周长为4×9＝36，
设建成圆形时圆的半径为r米，
由题意得，πr2＝81．
解得，r＝±，
∵r＞0．
∴r＝，
∴圆的周长＝2π×≈6，
∵5＜＜6
∴30＜6＜36，
∴建成圆形草坪时所花的费用较少，
故选择建成圆形草坪的方案．
20．求式子2（x﹣1）2﹣18＝0中x的值．
【解答】解：∵2（x﹣1）2﹣18＝0，
∴（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x＝4或x＝﹣2；
21．如图，公园里有一块面积为400平方米的正方形空地，园林设计师计划按图中方法在此空地上建一个面积为300平方米的长方形花坛，使长方形的长宽之比为5：3．
（1）求计划设计的花坛的长和宽；
（2）请你通过计算说明设计师能否实现这个计划？
【解答】解：（1）设计划设计的花坛长为5x米，宽为3x米，依题意得：
5x•3x＝300
解得：x＝±2
∵x＞0
∴5x＝10，3x＝6
答：计划设计的花坛长为10米，宽为6米．
（2）∵（10）2＝500＞400
∴10＞20
∴计划设计的花坛长比原正方形空地的边长要长
∴设计师不能实现这个计划．
22．利用平方根的定义解方程：2x2﹣50＝0．
【解答】解：2x2＝50，
x2＝25，
x＝5或x＝﹣5．
23．如果+（y﹣3）2＝0，求x和y的值．
【解答】解：由题意得，x+2＝0，y﹣3＝0，
解得x＝﹣2，y＝3．
24．小丽想用一块面积为324cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为240的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，不知能否裁出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
【解答】解：∵正方体的面积为324cm2，
∴正方形的边长为＝18cm，
又∵长方形的面积为240，长与宽的比为3：2，
∴长方形的长为6cm，宽为4cm，
∵3＜＜4，
∴6＞18，
∴不能裁出来，
故不同意小明的说法，这块纸片裁不出符合要求的纸片．
25．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，求a+2b的值．
【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，
∴2a﹣1＝9，
∴a＝5，
∵3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴3a+b﹣1＝16，
∴3×5+b﹣1＝16，
∴b＝2，
∴a+2b＝5+2×2＝9．
26．求x的值：x2﹣9＝0．
【解答】解：x2﹣9＝0，
x2＝9，
x＝±3．
11。