高三物理二轮复习力学

01力与运动
第1讲力与物体的平衡
高考命题突出受力分析、力的合成与分解方法的考查，也有将受力分析与牛顿运动定律、电磁场、功能关系进行综合考查．题型一般为选择题和计算题．
高考对本专题内容的考查主要有：①对各种性质力特点的理解；②共点力作用下平衡条件的应用．
考查的主要物理思想和方法有：
①整体法和隔离法；②假设法；③合成法；④正交分解法；⑤矢量三角形法；⑥相似三角形法；⑦正弦定理；
高考试题的考查形式主要有两种，一种是以生活中的静力学材料为背景，考查力的合成与分解和共点力的平衡的综合应用；一种是以现实中可能出现的各种情况，考查力的概念的理解和计算．题型仍延续选择题的形式．
1．熟悉各个力的特点，会判断弹力的方向，会判断和计算摩擦力．
(1)两物体间弹力的方向一定与接触面或接触点的切面垂直，且指向受力物体．
(2)两物体接触处有无静摩擦力，要根据物体间有无相对运动趋势或根据平衡条件进行判断．
(3)物体间恰好不相对滑动时，其静摩擦力恰好等于最大静摩擦力．
2．共点力的平衡：共点力的平衡条件是F合＝0，平衡状态是指物体处于匀速直线运动状态或静止状态．3．多个共点力平衡：任意方向上合力为零，建立直角坐标系后，两个坐标轴上的合力均为零，即F x＝0，F y ＝0.
4．动态平衡：物体在缓慢移动过程中，可以认为物体处于平衡状态，其所受合力为零．
5．带电物体在复合场中除了受到重力、弹力和摩擦力外，还涉及电磁学中的电场力、安培力或洛伦兹力．电磁场中的平衡问题也遵循合力为零这一规律．
考点1 受力分析
【例1】质量为M的半球形物体A和质量为m的光滑球形物体B紧靠着放在倾角为α的固定斜面上，并处于静止状态，如图所示．下列关于物体受力情况的判断正确的是()
A．物体A对物体B的弹力方向沿斜面向上B．物体A受到的静摩擦力大小为Mg sinα
C．物体B对物体A的压力大于mg sinαD．物体B对斜面的压力等于mg cosα
【解析】隔离物体B进行受力分析如图所示，可知物体B受到重力mg、斜面的支持力F N1和物体A对其的弹力F N2作用，由于物体A对物体B的弹力方向与两者的接触面垂直，即沿两圆心向上，故物体A对物体B的弹力方向不沿斜面向上，选项A错误；将物体A和B看成一个整体，由受力分析可知，物体A受到的静摩擦力大小为F ＝(M＋m)g sinα，选项B错误；对物体B，根据平衡条件可得mg sinα＝F N2cosθ，F N1＋F N2sinθ＝mg cosα，可解
得F N2＝mg sinα
cosθ
>mg sinα，F N1＝mg(cosα－sinαtanθ)<mg cosα，再结合牛顿第三定律可知选项C正确，D错误．
【答案】C
【例2】如图所示，一个L形木板(上表面光滑)放在斜面体上，轻质弹簧一端固定在木板上，另一端与置于木板上表面的木块相连．斜面体放在平板小车上，整体一起沿水平向右的方向做匀速直线运动，不计空气阻力，则关于各物体的受力情况，下列说法正确的是()
A．L形木板受4个力的作用B．斜面体可能只受2个力作用
C．木块受2个力作用D．斜面体不可能受平板小车对它的摩擦力作用
【解析】先把L形木板、木块、斜面体看成一个整体进行分析，受重力、小车的支持力，选项D正确；隔离木块进行分析，其受重力、L形木板的支持力、弹簧的弹力(沿斜面向上)3个力作用处于平衡状态，选项C错误；隔离L形木板进行分析，其受重力、斜面体的支持力、弹簧的弹力(沿斜面向下)、木块的压力、斜面体对它的摩擦力5个力作用，选项A错误；隔离斜面体进行分析，其受4个力作用，选项B错误．
【答案】D
☞归纳总结
(1)在分析两个或两个以上物体间的相互作用时，一般采用整体法或隔离法进行分析．
(2)采用整体法进行受力分析时，要注意系统内各个物体的状态应该相同.
(3)当直接分析一个物体的受力不方便时，可转移研究对象，先分析另一个物体的受力，再根据牛顿第三定律分析该物体的受力，此法叫“转移研究对象法”．
[变式训练]
1．(多选)如图所示，截面为三角形的木块a上放置一铁块b，木块a的竖直边靠在竖直且粗糙的墙面上，现用竖直向上的推力F推动a、b一起向上匀速运动，运动过程中a、b始终保持相对静止，则下列说法正确的是()
A．a受到6个力的作用B．a受到4个力的作用
C．b受到3个力的作用D．b受到2个力的作用
解析：先对a、b整体受力分析，受到重力和推力，二力平衡，整体不受墙面的弹力和摩擦力，再对b受力分析，受到重力、支持力和静摩擦力，三力平衡，即b受到3个力的作用，故C正确，D错误；再对a受力分析，受到重力、推力、b对a的压力和静摩擦力，故a受到4个力的作用，故A错误，B正确．
答案：BC
2．(多选)如图所示，倾角为θ的斜面体C置于水平地面上，小物体B置于斜面体C上，通过细绳跨过光滑的轻质定滑轮与物体A相连接，连接物体B的一段细绳与斜面平行，已知A、B、C均处于静止状态，定滑轮通过细杆固定在天花板上，则下列说法中正确的是()
A．物体B可能不受静摩擦力作用B．斜面体C与地面之间可能不存在静摩擦力作用
C．细杆对定滑轮的作用力沿杆竖直向上D．将细绳剪断，若物体B仍静止在斜面体C上，则此时斜面体C与地面之间一定不存在静摩擦力作用
解析：对物体B进行受力分析，由共点力的平衡条件可得，如果m A g＝m B g sinθ，则物体B一定不受静摩擦力作用，反之，则一定会受到斜面体C对其作用的静摩擦力，选项A正确；将物体B和斜面体C看成一个整体，则该整体受到一个大小为m A g、方向沿斜面向上的细绳的拉力，该拉力在水平向左方向上的分量为m A g cosθ，故地面一定会给斜面体一个方向水平向右、大小为m A g cosθ的静摩擦力，选项B错误；由于连接物体A和物体B的细绳对定滑轮的合力方向不是竖直向下，故细杆对定滑轮的作用力方向不是竖直向上，选项C错误；若将细绳剪断，将物体B和斜面体C看成一个整体，则该整体受竖直向下的重力和地面对其竖直向上的支持力，故斜面体C与地面之间一定不存在静摩擦力作用，选项D正确．
答案：AD
考点2“程序法”破解“静态平衡”问题
【例3】(2019年名校联盟Ⅰ)如图所示，竖直放置的光滑圆环O，顶端D点固定一光滑滑轮(大小忽略)，圆环两侧套着m1、m2两小球，两小球用轻绳绕过定滑轮相连，并处于静止状态，已知两小球连线过圆心O点，且与右侧绳的夹角为θ.则m1、m2两小球的质量之比为()
A．tanθ
B.
1
tanθ
C.
1
cos θ
D．sin2θ
【解析】对两球受力分析，
如图所示，由三角形相似得，
m1：
⎭⎪
⎬
⎪⎫
T1
L1＝
m1g
R，
T2
L2＝
m2g
R，
T1＝T2.
⇒
m1
m2＝
L2
L1＝
1
tanθ
，故选B.
【答案】B
【例4】(2019年唐山六校联考)如图所示，物块A和滑环B用绕过光滑定滑轮的不可伸长的轻绳连接，滑环B套在与竖直方向夹角为θ＝37°的粗细均匀的固定杆上，连接滑环B的绳与杆垂直并在同一竖直平面内，B恰好不能下滑，B和杆间的动摩擦因数为μ＝0.4，设B和杆间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则A和B的质量之比为(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)()
A.
7
5 B.
5
7 C.
13
5 D.
5
13
【解析】设A和B的质量分别为m1、m2，若杆对B的弹力垂直于杆向下，B恰好不能下滑如图1—1—9，则
由平衡条件有
⎩⎪
⎨
⎪⎧T＝m1g
m2g cosθ＝μ（T－m2g sinθ）
，解得
m1
m2＝
13
5；若杆对B的弹力垂直于杆向上，B恰好不能下滑如图
1—1—10，则由平衡条件有
⎩⎪
⎨
⎪⎧T＝m1g
m2g cosθ＝μ（m2g sinθ－T）
，解得
m1
m2＝－
7
5(舍去)．综上分析可知，C正确．【答案】C
☞归纳总结
(1)破解“静态平衡”问题的一般程序
(2)处理平衡问题的常用方法
方法 特点
合成法 物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力等大、反向 分解法 三力平衡时，还可以将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力分别平衡 正交 分解法 物体受三个或三个以上力的作用时，将所有力分解为相互垂直的两组，每组力分别平衡
[变式训练]
3．如图所示，某工地上起重机将重为G 的正方形工件缓缓吊起．四根等长的钢绳(质量不计)，一端分别固定在正方形工件的四个角上，另一端汇聚于一处挂在挂钩上，钢绳端汇聚处到每个角的距离均与正方形的对角线长度相等．则每根钢绳的受力大小为( )
A.1
4
G
B.
24G C.12
G
k
D.3
6
G 解析：设每根钢绳的受力大小为F ，由平衡条件有4F cos θ＝G (θ为钢绳与竖直方向的夹角)，由数学知识知sin θ＝12，θ＝30°，则F ＝3
6G ，选项D 正确．
答案：D
4．(2019年山东省日照市高三联考)如图所示，倾角为θ＝30°的斜面体静止在水平地面上，一个重为G 的球在水平力的作用下，静止于光滑斜面上，此时水平力的大小为F ；若将力F 从水平方向逆时针转过某一角度α后，仍保持F 的大小不变，且小球和斜面依然保持静止，此时水平地面对斜面体的摩擦力为f .那么F 和f 的大小分别是( )
A ．F ＝
33G ，f ＝36G B ．F ＝
36G ，f ＝1
2G C ．F ＝33G ，f ＝1
2G
D ．F ＝36G ，f ＝3
6G
解析：先研究第一种情况：对物体受力分析如图1—1—13所示．由平衡条件得：N 与F 的合力F ′与重力G 大小相等，由三角函数关系得：F ＝G tan θ＝3
3
G ；
转过一角度后，由F大小不变，小球静止，支持力与F的合力不变，故此时转动后F转方向如图1—1—14：根据几何知识可得F转过的角度是2θ.
对整体受力分析并正交分解如图：
水平方向：f＝F cos2θ＝
3
3G×
1
2＝
3
6G，故A正确；
故选A.
答案：A
考点3 多法并用破解“动态平衡”问题
方法1图解法破解“动态平衡”问题
【例5】质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示．用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中()
A．F逐渐变大，T逐渐变大B．F逐渐变大，T逐渐变小
C．F逐渐变小，T逐渐变大D．F逐渐变小，T逐渐变小
【解析】以O点为研究对象，受力分析如图1—1—16所示，当用水平向左的力缓慢拉动O点时，绳OA与竖直方向的夹角变大，由共点力的平衡条件知F逐渐变大，T逐渐变大，选项A正确．
【答案】 A
方法2解析法破解“动态平衡”问题
【例6】(2019年开封模拟)如图所示，一铁架台放在水平地面上，其上用轻质细线悬挂一小球，开始时细线竖直．现将水平力F作用于小球上，使其缓慢地由实线位置运动到虚线位置，铁架台始终保持静止．则在这一过程中()
A．水平力F变小B．细线的拉力不变
C．铁架台对地面的压力变大D．铁架台所受地面的摩擦力变大
【解析】如图1—1—18所示，对小球受力分析，受细线的拉力、重力、水平力F，根据平衡条件有F＝mg tan
θ，θ逐渐增大，则F 逐渐增大，故A 错误；由图可知，细线的拉力T ＝
mg
cos θ
，θ增大，T 增大，故B 错误；以铁架台、小球整体为研究对象，根据平衡条件得F f ＝F ，则F f 逐渐增大，F N ＝(M ＋m )g ，F N 保持不变，故C 错误，D 正确．
【答案】 D
方法3 相似三角形法破解“动态平衡”问题
【例7】 (2019年宝鸡质检)如图所示，轻杆A 端用铰链固定，滑轮在A 点正上方(滑轮大小及摩擦均可不计)，轻杆B 端吊一重物，现将轻绳的一端拴在杆的B 端，用拉力F 将B 端缓慢向上拉(均未断)，在轻杆达到竖直位置前，以下分析正确的是( )
A ．轻绳的拉力越来越大
B ．轻绳的拉力越来越小
C ．轻杆的弹力越来越大
D ．轻杆的弹力越来越小
【解析】 以B 点为研究对象，它受三个力的作用而处于动态平衡状态，其中一个是轻杆的弹力T ，一个是轻绳斜向上的拉力F ，一个是轻绳竖直向下的拉力F ′(大小等于重物所受的重力)，如图1—1—20所示，根据相似三角
形法，可得F ′OA ＝T AB ＝F
OB ，由于OA 和AB 不变，OB 逐渐减小，因此轻杆的弹力大小不变，而轻绳的拉力越来越小，
故选项B 正确，A 、C 、D 错误．
【答案】 B
. (多选)如图所示，已知带电小球A 、B 的电荷量分别为Q A 、Q B ，OA ＝OB ，都用长L 的绝缘丝线悬挂在绝缘墙角O 点处．静止时A 、B 相距为d .为使平衡时AB 间距离变为2d ，可采用以下哪些方法( )
A ．将小球
B 的质量变为原来的1
8 B ．将小球B 的质量增加到原来的8倍
C ．将小球A 、B 的电荷量都增为原来的2倍，同时将小球B 的质量变为原来的1
2
D ．将小球A 、B 的电荷量都减小到原来的1
2，同时将小球B 的质量增加到原来的2倍
【答案】AC
【解析】对小球B 进行受力分析，如图所示：
小球受到重力m B g 、库仑力F 、绳子拉力F T 作用，处于平衡状态，根据相似三角形得，m B g F ＝L d ，其中库仑力F ＝k q 1q 2
d 2，
联立解得d ＝
3kq 1q 2L m B g ，B 的质量变为原来的1
8
，则d 变为2d ，A 选项正确；小球A 、B 的电荷量都增为原来的2倍，同时将小球B 的质量变为原来的1
2
，则d 变为2d ，C 选项正确．
方法4 正弦定理法破解“动态平衡”问题
【例8】 (2017年高考·课标全国卷Ⅰ)(多选)如图所示，柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某点M 拴一重
物，用手拉住绳的另一端N .初始时，OM 竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的夹角为α(α>π
2)．现将重物向右上方
缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM 由竖直被拉到水平的过程中( )
A ．MN 上的张力逐渐增大
B ．MN 上的张力先增大后减小
C ．OM 上的张力逐渐增大
D ．OM 上的张力先增大后减小
【解析】 将重物向右上方缓慢拉起，重物处于动态平衡状态，可利用平衡条件或力的分解画出动态图分析．将
重物的重力沿两绳方向分解，画出分解的动态图如图1—1—22所示．在三角形中，根据正弦定理有G sin γ1＝F OM 1
sin β1
＝
F MN 1
sin θ1
，由题意可知F MN 的反方向与F OM 的夹角γ＝180°－α，不变，因sin β(β为F MN 与G 的夹角)先增大后减小，故OM 上的张力先增大后减小，当β＝90°时，OM 上的张力最大，因sin θ(θ为F OM 与G 的夹角)逐渐增大，故MN 上的张力逐渐增大，选项A 、D 正确，B 、C 错误．
【答案】 AD ☞归纳总结
(1)图解法：如果物体受到三个力的作用，其中一个力的大小、方向均不变，并且还有另一个力的方向不变，此时可用图解法，画出不同状态下力的矢量图，判断各个力的变化情况．
(2)解析法：如果把物体受到的多个力合成、分解后，能够找到力的边角关系，则应选择解析法，建立平衡方程，根据自变量的变化(一般都要用到三角函数)确定因变量的变化．
(3)相似三角形法：此法是图解法的特例，一般研究对象受绳(杆)、或其它物体的约束，且物体受到三个力的作用，其中的一个力大小、方向均不变，另外两个力的方向都发生变化．
(4)正弦定理法：此法是在其中一个力的大小、方向均不变，另外两个力的方向都发生变化，且已知两个力的夹角的情况下用正弦定理的方法求解．
[变式训练]
5．(2019年衡水同卷)如图所示，竖直平面内存在一与水平方向夹角为θ(θ<45°)的匀强电场，轻质绝缘细线一端固定在O 点，另一端系一质量为m 、带正电的小球，小球恰好静止于A 点．现给小球施加一外力F ，使其静止B 点．已知OA 水平，OB 与竖直方向的夹角也为θ，细线始终处于伸直状态，重力加速度为g ，小球可视为质点，则外力F 的最小值为( )
A ．mg tan θ
B.mg tan θ
C.mg cos 2θ
sin θ
D.mg sin 2θ
cos θ
解析：在A 点对小球受力分析，可知重力和电场力的合力水平向右，大小为mg
tan θ
，在B 点对小球受力分析，
如图所示，小球相当于受水平向右、大小为mg
tan θ
的力和沿细线方向的拉力，当力F 垂直于细线方向斜向左下方时，
力F 最小，最小值为mg
tan θcos θ，即mg cos 2θsin θ
，C 正确．
答案：C
6．(2019年福建罗源一中校考)如图，一条细线的一端与水平地面上的物体B 相连，另一端绕过光滑轻滑轮与物体A 相连，滑轮用一端固定在天花板上O 点的细线OP 悬挂，系统静止时细线OP 与竖直方向所成的夹角为α，则( )
A ．若增大A 的质量，α角一定仍保持不变
B ．若减小A 的质量，α角一定仍保持不变
C ．若B 缓慢向右移动一小段距离，α角一定仍保持不变
D ．若B 缓慢向左移动一小段距离，α角一定仍保持不变
解析：对物体A 受力分析，受重力和拉力，设A 的质量为m ，根据平衡条件，有：T ＝mg ；增大小球A 的质量，若B 仍保持不动，系统平衡，拉力的方向不变，则合力的方向不变，则α不变；若B 会移动，则拉力的方向会变，故合力的方向会变，则α会变化，故A 错误；若减小A 的质量，拉力减小，B 保持不动，故拉力的方向不变，则α不变，故B 正确；若B 缓慢向右移动一小段距离，AB 仍保持静止，绳子的拉力不变，则∠APB 增加；对滑轮分析，受三个拉力，如图所示，根据平衡条件可知，∠APB ＝2α，故α一定增大，故C 错误；同理，若B 缓慢向左移动一
小段距离α角一定减小，故D 错误．
答案：B
考点4 平衡中的“临界、极值”问题
临界问题：当某个物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体的平衡“恰好出现”或“恰好不出现”，即处于临界状态，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等字眼．
极值问题：平衡问题的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值．
【例9】 (2019年惠州模拟)如图所示，三根相同的绳的末端连接于O 点，A 、B 端固定，C 端受一水平力F ，当F 逐渐增大时(O 点位置保持不变)，最先断的绳是( )
A ．OA
B ．OB
C ．OC
D ．三绳同时断
【解析】 对结点O 受力分析，受三根绳的拉力，水平和竖直两绳拉力的合力与OA 绳的拉力等大反向，由平行四边形定则可知，三根绳中OA 绳的拉力最大，在水平拉力逐渐增大的过程中，OA 绳先断，选项A 正确．
【答案】 A
【例10】 如图所示，三根长度均为L 的轻绳分别连接于C 、D 两点，A 、B 两端被悬挂在水平天花板上，相距2L ，现在C 点上悬挂一个质量为m 的重物，为使CD 绳保持水平，在D 点上可施加力的最小值为( )
A ．mg
B.
33mg C.1
2
mg
D.1
4
mg 【解析】 由题图可知，为使CD 绳水平，各绳均应绷紧，由几何关系可知，AC 绳与水平方向的夹角为60°；
结点C 受力平衡，受力分析如图1—1—29所示，则CD 绳的拉力F T ＝mg tan30°＝3
3mg ；D 点受CD 绳的拉力大
小等于F T ，方向向左；要使CD 绳水平，D 点两绳的拉力与外界的力的合力应为零，则CD 绳对D 点的拉力可分解为沿BD 绳的F 1及另一分力F 2，由几何关系可知，当BD 绳上的拉力F ′与F 1大小相等，且力F 2与BD 绳垂直时，
F 2最小，而F 2的大小即为施加在D 点的力的大小，故最小力F ＝F 2＝F T sin60°＝1
2
mg ，故C 正确．
【答案】 C ☞归纳总结
(1)临界与极值问题解题流程 ①对物体初始状态受力分析，明确所受各力的变化特点． ②由关键词判断可能出现的现象或状态变化．
③据初始状态与可能发生的变化间的联系，判断出现变化的临界条件或可能存在的极值条件． ④选择合适的方法求解．
(2)解决临界与极值问题的常用方法
①解析法：利用物体受力平衡写出未知量与已知量的关系表达式，根据已知量的变化情况来确定未知量的变化
情况，利用临界条件确定未知量的临界值．
②图解法：根据已知量的变化情况，画出平行四边形的边角变化，确定未知量大小、方向的变化，确定未知量的临界值．
[变式训练]
7．(多选)某学习小组为了体验最大静摩擦力与滑动摩擦力的临界状态，设计了如图所示的装置，一位同学坐在长直木板一端，另一端不动，让长直木板由水平位置缓慢向上转动(即木板与地面的夹角θ变大)，则选项图中表示该同学受到支持力F N 、合外力F 合、重力沿斜面方向的分力G 1、摩擦力F f 随角度θ的变化关系正确的是( )
解析：重力沿斜面方向的分力G 1＝mg sin θ，C 正确；支持力F N ＝mg cos θ，A 正确；该同学滑动之前，F 合＝0，F f ＝mg sin θ，θ增大，F f 增大，滑动后，F
合
＝mg sin θ－μmg cos θ，F f ＝μmg cos θ，实际情况下最大静摩擦力
略大于滑动摩擦力，且θ增大F f 减小，B 错误，D 正确．
答案：ACD
8．一个质量为1 kg 的物体放在粗糙的水平地面上，用最小的拉力拉它，使之做匀速直线运动，已知这个最小拉力大小为6 N ，取g ＝10 m/s 2，则下列关于物体与地面间的动摩擦因数μ的取值，正确的是( )
A ．μ＝916
B ．μ＝43
C ．μ＝34
D ．μ＝3
5
解析：
物体在水平面上做匀速直线运动，可知拉力在水平方向的分力与滑动摩擦力相等．以物体为研究对象，受力分析如图1—1—31所示，因为物体处于平衡状态．水平方面有F cos α＝μF N ，竖直方向有F sin α＋F N ＝mg .联立可解得：F ＝μmg cos α＋μsin α＝μmg
1＋μ2sin （α＋φ）
，
当α＋φ＝90°时，
sin(α＋φ)＝1，F 有最小值，F min ＝μmg
1＋μ2
， 代入数值得μ＝34.
答案：C
考点5 电磁场中的平衡问题
【例11】 (2019年陕西省宝鸡市高三教学质量检测)如图所示，匀强电场的电场强度方向与水平方向夹角为30°且斜向右上方，匀强磁场的方向垂直于纸面(图中未画出)．一质量为m 、电荷量为q 的带电小球(可视为质点)以与水平方向成30°角斜向左上方的速度v 做匀速直线运动，重力加速度为g ，则( )
A ．匀强磁场的方向可能垂直于纸面向外
B ．小球一定带正电荷
C ．电场强度大小为mg q
D ．磁感应强度的大小为mg
q v
【解析】 小球做匀速直线运动，受到的合力为零，假设小球带正电，则小球的受力情况如图1—1—33甲所示，小球受到的洛伦兹力沿虚线但方向未知，小球受到的重力与电场力的合力与洛伦兹力不可能平衡，故小球不可能做匀速直线运动，假设不成立，小球一定带负电，选项B 错误；小球的受力情况如图1—1—33乙所示，小球受到的洛伦兹力一定斜向右上方，根据左手定则，匀强磁场的方向一定垂直于纸面向里，选项A 错误；根据几何关系，
电场力大小qE ＝mg ，洛伦兹力大小q v B ＝3mg ，解得E ＝mg q ，B ＝3mg
q v
，选项C 正确，D 错误．
【答案】 C
【例12】 (2019年济宁市高三第二次模拟)如图所示，轻质弹簧下面挂有边长为L 、质量为m 的正方形金属框ABCD ，各边电阻相同，金属框放置在磁感应强度大小为B 、方向垂直金属框平面向里的匀强磁场中．若A 、B 两端与电源相连，通以如图所示方向的电流时，弹簧恰好处于原长状态，则通入正方形金属框AB 边的电流大小为( )
A.4mg
3BL
B.3mg 4BL
C.mg BL
D.mg
4BL
【解析】 根据电流方向可知，AD 边、DC 边、CB 边串联，再与AB 边并联，设每边电阻为R ，根据平衡条件
可知：mg ＝BI AB L ＋BI DC L ，根据并联电路可知：I AB ＝3I DC ，联立两式解得：I AB ＝3mg
4BL
，故B 正确．
【答案】 B ☞归纳总结
(1)电磁场中平衡问题的特点
电学中的平衡问题是指在电场力、安培力参与下的平衡问题．
处理电磁学中的平衡问题的方法与纯力学问题的分析方法一样，把方法和规律进行迁移应用．
(2)解题的注意事项
①安培力方向的判断要先判断磁场方向、电流方向、再用左手定则判断，同时注意立体图转化为平面图． ②电场力或安培力的出现，可能会对压力或摩擦力产生影响． ③涉及电路问题时，要注意闭合电路欧姆定律的应用． [变式训练]
9．(2019年山东省青岛市高三质检)如图所示，绝缘光滑圆环竖直放置，a 、b 、c 为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，已知小球c 位于圆环最高点，ac 连线与竖直方向成60°角，bc 连线与竖直方向成30°角，三个小球均处于静止状态．下列说法正确的是( )
A ．a 、b 、c 小球带同种电荷
B ．a 、b 小球带异种电荷，b 、c 小球带同种电荷
C ．a 、b 小球电量之比为36
D ．a 、b 小球电量之比为3
9
解析：A 、B ：对c 小球受力分析可得，a 、b 小球必须带同种电荷c 小球才能平衡．对b 小球受力分析可得，b 、c 小球带异种电荷b 小球才能平衡．故A 、B 两项错误．C 、D ：对c 小球受力分析，如图1—1—36所示，将力正
交分解后可得：k q a q c r ac 2sin60°＝k q b q c
r bc
2sin30°，又r ac ∶r bc ＝1∶3，解得：q a ∶q b ＝3∶9.故C 项错误，D 项正确．
答案：D
10．如图所示，用两根绝缘细线将质量为m 、长为l 的金属棒ab 悬挂在c 、d 两处，置于匀强磁场内．当棒中通以从a 到b 的电流I 后，两悬线偏离竖直方向θ角而处于平衡状态．为了使棒平衡在该位置上，所需的磁场的最小磁感应强度的大小、方向为( )
A.mg Il tan θ，竖直向上
B.mg
Il tan θ，竖直向下 C.mg Il sin θ，平行于悬线向下 D.mg
Il
sin θ，平行于悬线向上 解析：要求所加磁场的磁感应强度最小，应使棒平衡时所受的安培力有最小值．由于棒的重力恒定，悬线拉力的方向不变，由画出的力的三角形可知，安培力与拉力方向垂直时有最小值F min ＝mg sin θ，即IlB min ＝mg sin θ，得B min ＝mg
Il
sin θ，方向应平行于悬线向上．故选D.
答案：D。