2020年安徽省合肥市肥东县第三中学高三数学理模拟试题含解析

2020年安徽省合肥市肥东县第三中学高三数学理模拟
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设全集U=R，集合A={x|x≥3}，B={x|0≤x＜5}，则集合（?U A）∩B=（）
B
2. 如图所示，正方体的棱长为1, 分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题：
①平面平面；
②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；
③四边形周长，是单调函数；
④四棱锥的体积为常函数；
以上命题中假命题的序号为（）
A．①④B．②
C．③ D．③④
参考答案：
C
略
3. 已知中，条件甲：条件乙：为等边三角形，则甲是乙的（）
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分又不必要条件
参考答案：
B
4. 执行如图所示的程序框图，输入的n值为4，则S=（）
A. 6
B. 14
C. 30
D. 2
参考答案：
B
【分析】
根据程序框图，进行模拟计算即可．
【详解】k=1,S=0, 1＜4成立，第一次循环，S＝2，k＝1+1＝2，
第二次循环，2＜4成立，S＝2+22＝2+4＝6，k＝2+1＝3，
第三次循环，3＜4成立，S＝6+23＝6+8＝14，k＝3+1＝4，
第四次循环，4＜4不成立，S输出S＝14，
故选B．
【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，利用程序框图进行模拟计算是解决本题的关键．
5. 函数的单调递增区间是（）
A．(－∞,－2] B．(－∞,1] C．[1,+∞) D．[4,+∞)
参考答案：
D
6. 在△中, , ,则△的面积为（）.
A．3 B． C．6 D．4
参考答案：
D
【知识点】向量的数量积公式；三角形面积公式F3
解析：因为，所以，
即，则，故选D.
【思路点拨】先利用已知条件结合向量的数量积公式得到，再利用三角形面积计算即可。

7. 已知，命题，则( )
A．是假命题;
B．是假命题;
C．是真命题;
D.是真命题;
参考答案：
D
8. 在△ABC中，∠C=，AB=2，AC=，则cosB的值为（）
A．B．C．或 D．或
参考答案：
D
【考点】正弦定理．
【分析】根据正弦定理和内角和定理可得答案：
【解答】解：由题意：，c=AB=2，b=，
由正弦定理=，则有：sinB==．
∵0＜B＜π
∴B=或．
当B=时，则cosB=
当B=时，则cosB=．
故选D
9. 若“”是“”的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是
（）
A.(1,3]
B.[1,3]
C.(－1,3]
D.[－1,3]
参考答案：
B
10. 若函数在给定区间M上，还存在正数t，使得对于任意
，且为M上的t级类增函数，则以下命题正确的是
A.函数上的1级类增函数
B.函数上的1级类增函数
C.若函数上的t级类增函数，则实数t的取值范围为
D.若函数级类增函数，则实数a的取值范围为2参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知抛物线，过其焦点且斜率为1的
直线交抛物线于、两点，若线段的中点的纵
坐标为2，则该抛物线的准线方程为 .
参考答案：
11.
12. 给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①函数的定义域是R ，值域是 [0，]；②函数的图像关于直线
(k∈Z)对称；③函数是周期函数，最小正周期是1；④ 函数在
上是增函数. 则其中真命题是．参考答案：
1,2,3
略
13. 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是______。

参考答案：
14. 在中，角所对的边分别为，已知，则
的面积是 _____________________;
参考答案：
【知识点】解三角形．C8
【答案解析】解析：∵a=1，A=60°，c=，∴由余弦定理可得：1=+b2﹣
2××b×cos60°
∴b2﹣b﹣=0，∴b=，∴=，故答案为：【思路点拨】由余弦定理计算b，再利用三角形的面积公式，可得结论．
15. 设向量、的夹角为θ（其中0＜θ≤π），||=1，||=2，若（2﹣）⊥
（k+），则实数k的值为．
参考答案：
2
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】（2﹣）⊥（k+），（2﹣）?（k+）=0，即可得出．
【解答】解：∵（2﹣）⊥（k+），向量、的夹角为θ（其中0＜θ≤π），||=1，||=2，
∴（2﹣）?（k+）=2k﹣+（2﹣k）=2k﹣4+2（2﹣k）cosθ=0，
∴（k﹣2）（1﹣cosθ）=0对于θ∈（0，π]都成立．
∴k=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16. 四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为4，，则此球的表面积等于______．
参考答案：
17π
【分析】
根据该四棱锥内嵌于长方体中,计算长方体体对角线再算外接球表面积即可.
【详解】因为四边形ABCD是正方形,且平面ABCD,
所以可以将该四棱锥内嵌于长方体中,因为棱锥体积.
则该长方体的长、宽、高分别为2、2、3,
它们的外接球是同一个,设外接球直径为,
所以,所以表面积为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了四棱锥外接球表面积的计算,其中外接球直径为内嵌长方体的体对角线,属于中等题型.
17. 已知函数,在上有定义．对任意有
且．若，则__________
参考答案：
1
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (12分)
设函数，其中向量，。

(1)求函数的最小正周期和在上的单调递增区间；
(2)当时，恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案：
解析：（1）∵……2分
∴函数的最小正周期T=。

……………………………………4分
在上单调递增区间为，。

…………………………6分
（2）当时，∵递增，∴当时，，
当x=0时，，………………………………………………8分
由题设知…………………………………………………………10分
解之，得………………………………………………………………12分
19. 已知函数.
（1）试讨论f(x)的单调区间；
（2）若时，函数f(x)的图像与x轴交于，两点，且，求
证：.
参考答案：
（1）见解析；（2）见证明
【分析】
（1）先对函数求导，分别讨论，两种情况，即可得出结果；
（2）先由（1）得到当时，1是的极值点，构造函数
，用导数方法研究单调性，再结合题中条件，即可证明结论成立.
【详解】解：（1）
①当时，，在上是增函数.
②当时，由得.
当时，；
当时，，
的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）由（1）可知：当时，1是的极值点，
构造函数，
在上单调递增，所以,
又，，
又
又在是增函数，
【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值等，属于常考题型.
20. (本小题满分13分)设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图象上
（1）求归纳数列的通项公式（不必证明）；
（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），，，
；，，，；
，…..，
分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；
（3）设为数列的前项积，若不等式对一切都成立，其中，求的取值范围
参考答案：
（1）因为点在函数的图象上，
故，所以．
令，得，所以；
令，得，所以；
令，得，所以．
由此猜想：……………………………………………………4分
（2）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以．又=22，所以=2010.………………8分
（3）因为，故，
所以．
又，
故对一切都成立，就是
对一切都成立．……………9分设，则只需即可．
由于，
所以，故是单调递减，于是．令，………………………………………………………………………12分
即，解得，或．
综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数的取值范围是
．………………………………………………………………13分21. （本小题满分13分）
已知为等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值。

参考答案：
解：（Ⅰ）设数列的公差为d,由题意知解得
所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
因成等比数列，所以从而，
即解得或（舍去），因此。

22. 如图，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路，另一侧修建一条观光大道，它的前一段是以为顶点，轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段
是函数，时的图象，图象的最高点为
，，垂足为.
(1)求函数的解析式；
(2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园，问：点落在曲线上何处时，水上乐园的面积最大？
参考答案：
略。