晶体中的原子热振动课件
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第三章 晶格振动与晶体的热学性质(全部课件)
3. 波数q： μ nq = Ae i (ωt − naq ) (3-22)
格波波数q具有2π/λ格式，量纲为[L]-1。aq改变2π的
整数倍，即aq→ n2π + aq 时所有原子振动没有不
同。如：
q1
格= 波24πa1（红相色位）差：aq1
=
π 2
格波2（绿色）：
q2
=
2π
/
4a 5
=
5π 2a
按一般小振动近似能保留到δ2，得到相邻原子间的 作用力为：
F
=
− dV dδ
≈
−βδ
(3 - 20)
这说明了相邻原子间的力是正比于相对位移的弹性 恢复力。
1、建立运动方程和求解：
a) 建立方程（考查图中第n个原子的运动方程）：
n-2 n-1
n
n+1 n+2
aa
β：力常数
β
β
μn-2
μn-1
μn
μn+1
4、分析力学得到的哈密顿量:
∑ H
=
1 2
3N
(
Q&
2 i
i=1
+
ω
2 i
Q
2 i
)
（3-7） （3-9）
1
5、正则方程及解形式 :
在简正坐标下的简谐振动就是简正振动，它的正则
方程(简正坐标下的运动方程)：
Q&&i
+
ω
2 i
Qi
=0
i=1,2,…,3N （3-10）
这是3N个相互无关的方程，表明在简正坐标下的振 动是独立的简谐振动，其中的任意解为:
¾ 晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为 一种振动模式。
晶格振动和晶体的热学性质精品PPT课件
(q)
nn+)(00M
=c0q
2mcos+12aq m M2m2
ei12aq 2Mmcos
aq
q
光波： ＝c0q， c0为光速
对于实际晶体， ＋(0)在1013 ~ 1014Hz，对应于远 红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外 光在 ＋(0)附近的强烈吸收。
久期方程：
2
Mm
M
m
M
2
m2
2Mm
cos
aq
＝
M Mm
m
1
1
4 Mm
M m2
sin 2
1 2
aq
q
a
a
两个色散关系即有两支格波：（＋：光学波； －：声学波）
π nn
Aei12aq B
2cos 12aq ei12aq 2M2
M
2mcos12 aqei12aq m M2m22Mmcosaq
j
• 一种格波即一种振动模式称为一种声子， nj：声子数。
•
当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以
E
N j=1
nj
1 2
为 j
单元交换能量。
• 声子具有能量 q ，也具有准动量 Mn nn12n ，但它不能
脱离固体而单独存在，并不是一种真实的粒子, 只是一 种准粒子。
• 声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。
当q0时，＋，原胞中两种原子振动位相完全相反。
i 1 aq
M
2
2mcos
1 2
aqe
2
m2 2Mmcosaq
M
m
Rei
离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这 种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。
固体物理基础：第三章 晶体中的原子热振动
q
2a
B A
即：A B
B
A0 小原子不动 B 0 大原子不动
第三章 晶体中的原子热振动：§3.3 一维双原子晶格的振动：周期性边界条件
周期性(波恩－卡门)边界条件
➢设晶体由N个原胞构成，则周期性边界条件为：
u2n u2n N u2n Ae iq2nat ei2Naq 1
q 2 l l 整数
§3.1 原子间的相互作用 §3.2 一维单原子晶格的振动 §3.3 一维双原子晶格的振动 §3.4 晶格振动的量子化及声子 §3.5 晶格的热容 §3.6 晶体的热传导 §3.7 晶格振动的应用举例
第三章 晶体中的原子热振动
第三章 晶体中的原子热振动
§3.1 原子间的相互作用 §3.2 一维单原子晶格的振动
第三章 晶体中的原子热振动
第三章 晶体中的原子热振动
§3.1 原子间的相互作用 §3.2 一维单原子晶格的振动 §3.3 一维双原子晶格的振动 振动方程的建立
振动方程的解 色散关系 声学波与光学波 周期性边界条件
第三章 晶体中的原子热振动：§3.3 一维双原子晶格的振动：振动方程的建立
振动方程的建立
2. 整个晶格中各个原子的运动
un Ae iqnat
➢各原子振动间存在相互联系，有固定的位相差。
相邻原子的位相差为qa。
➢当um=un时
ma na 2 k 整数
q
第三章 晶体中的原子热振动：§3.2 一维单原子晶格的振动：振动方程的解
格波：整个晶格的振动(原子振动的集体行为)， 构成了一个波矢为q的前进波。
第三章 晶体中的原子热振动：§3.1 原子间的相互作用：原子间的相互作用
➢当N个原子相互靠近时,总的互作用势U：
(整理)第三章晶体子的热振动
第三章 晶体中原子的热振动第一章、第二章中在讨论晶体的结合、固体中结合力性质以及相关物质性质（例第二章中的压缩系数或体弹性模量、抗张强度等）时曾忽略了晶体中原子热运动的影响（例当时考虑了T=0K 这种最简单的情况），认为固体中原子是处在平衡位置（即()()最小0,00r u rr u rr =∂∂=），这时整个晶体的势能最小，而实际上晶体中原子并非固定不动的，而是在其平衡位置附近或围绕其平衡位置作振动。
这种振动即本章所讨论的所谓热振动，在高于绝于零度以上的任何温度，这种运动都会发生，其振动频率大体在1012-1013次/S ，其振幅的数值决定于温度和晶体本身的性质，其振幅数量便大体为10-9cm 。
在较高温度下，振动原子通过偶然性的统计涨落，可获得高于平均能量的能量，当这种能量的大小足以摆脱周围原子束缚时，原子可离开其平衡位置而到达一个新的平衡位置，即产生扩散现象。
关于这方面的问题将在第四章中讨论。
本章讨论原子的热振动的情况，即在温度不太高时原子作微小振动的情况。
晶体中原子的热振动同晶体的许多重要宏观性质有关，例固体的比热、热膨胀、热传导等热学性质，电阻、超导电性等固体的电学性质，红外吸收与辐射等光学性质等。
所以，对晶体中原子热振动的研究和讨论是认识和了解固体中许多宏观性质、微观过程及其机理的重要基础。
本章只着重讨论其中的有关固体热学性质的部分，其它部分在本章最后的小结及后续章节、后续课程中可能有介绍（例电阻的产生机理、声子、电子运动等），因为热学性质是原子的振动在宏观性质上最直接的表现，对晶体原子振动的研究，最早是从热学性质开始的。
（在“统计热力学”中将讨论有关配分函数的处理及热力学函数的计算，本章中固体比热的计算，同上述内容有联系。
）§3.1晶体中原子的微振动及其量子化1．设晶体由N 个原子组成，它们相对于平衡位置的位移，分别用（x 1，x 2，x 3）、（x 4，x 5，x 6）……、（x 3N-2，x 3N-1，x 3N ）来表示，则其动能可表示为：∑=∙=Ni ii x m T 31221 （1）（)(212∙===x dt dx v mv T ） 其中m i 是坐标为x 1的原子的质量。
第三章晶格振动和晶体的热学性质PPT
(3)周期性边界条件、第一布里渊区中的模数
a
波恩-卡门边界条件
（周期性边界条件）
a
q的取值采用波恩-卡门边界条件（周期性边界条件）来定：
u1 u N 1
N为晶格中的原子个数（晶胞数 ）
即：
Ae Ae i(qat)
i[q( N 1)at ]
un Ae i(qnat)
u1 u N 1
Ae Ae i(qat)
i[q( N 1)at ]
eiqNa 1
得： qNa 2l l =0，±1，±2……等整数
q 2 l
Na
在第一布里渊区，q取值为
/a q /a
对应于 N / 2l N / 2 ( 只l 能取N个值----模数 )
结论：在第一布里渊区内的q值唯一地描述了所有的晶格 振动模式，这些值的数目等于晶格的自由度数N。
设 un,1、u是n,相2 应于原子M、m在沿链方向对其平衡位置的偏离
方程和解
和单原子链类似，若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：
Mun,1 2un,1 un,2 un1,2 mun,2 2un,2 un1,1 un,1
类似于前面的讨论，可取解的形式为：
代入运动方程得：
(2 m 2 )A (2 cos qa)B 0
2 cos qa
2
2
2 M 2
0
Mm 4
2
(M
m) 2
4
2
sin 2
1 2
qa
0
Mm 4
2 (M
m) 2
4
2
sin 2
1 2
qa
0
解关于2的一元二次方程得：
2
(q)
mM mM
《晶体物理》课件
色散与光谱线
色散
当白光通过棱镜时，会分解成不同颜色的光谱。这种现象称为色散。在晶体中， 由于晶格结构的周期性，光波的传播速度会随波长而变化，从而导致色散现象。 了解色散现象对于研究晶体的结构和性质具有重要意义。
光谱线
当单色光通过物质时，其波长可能会发生变化。这种变化在光谱上表现为线或暗 线。在晶体中，由于晶格结构的周期性，光波的波长可能会发生变化，从而产生 光谱线。了解光谱线对于研究晶体的结构和性质具有重要意义。
热传导概述
热传导是指热量在物质内部 或不同物质之间传递的过程 。对于晶体而言，其热传导 机制与晶体的结构和原子间 相互作用等因素有关。
热传导的物理模型
描述晶体热传导的物理模型 有多种，如Fourier导热定 律、扩散传热模型等。这些 模型可以帮助我们更好地理 解晶体热传导的机制和特性 。
03 晶体光学性质
详细描述
随着科技的不断进步，新型晶体材料的探索 成为了一个备受关注的研究领域。科研人员 通过实验和计算模拟相结合的方法，不断探 索具有优异性能的新型晶体材料，如拓扑晶 体、超硬材料、高温超导材料等。这些新型 晶体材料在能源、环境、医疗等领域具有广 泛的应用前景。
晶体物理在新能源领域的应用
要点一
总结词
《晶体物理》ppt课件
目录
Contents
• 晶体物理概述 • 晶体振动与热力学性质 • 晶体光学性质 • 晶体电学性质 • 晶体磁学性质 • 晶体物理前沿研究
01 晶体物理概述
定义与特性
定义
晶体物理是一门研究晶体内部原 子或分子的排列规律、结构特征 以及与物理性质之间关系的科学 。
特性
晶体具有长程有序的结构，其原 子或分子的排列呈现周期性重复 的特点，这使得晶体具有一系列 独特的物理性质。
第三章晶体子的热振动
第三章 晶体中原子的热振动第一章、第二章中在讨论晶体的结合、固体中结合力性质以及相关物质性质（例第二章中的压缩系数或体弹性模量、抗张强度等）时曾忽略了晶体中原子热运动的影响（例当时考虑了T=0K 这种最简单的情况），认为固体中原子是处在平衡位置（即()()最小0,00r u rr u rr =∂∂=），这时整个晶体的势能最小，而实际上晶体中原子并非固定不动的，而是在其平衡位置附近或围绕其平衡位置作振动。
这种振动即本章所讨论的所谓热振动，在高于绝于零度以上的任何温度，这种运动都会发生，其振动频率大体在1012-1013次/S ，其振幅的数值决定于温度和晶体本身的性质，其振幅数量便大体为10-9cm 。
在较高温度下，振动原子通过偶然性的统计涨落，可获得高于平均能量的能量，当这种能量的大小足以摆脱周围原子束缚时，原子可离开其平衡位置而到达一个新的平衡位置，即产生扩散现象。
关于这方面的问题将在第四章中讨论。
本章讨论原子的热振动的情况，即在温度不太高时原子作微小振动的情况。
晶体中原子的热振动同晶体的许多重要宏观性质有关，例固体的比热、热膨胀、热传导等热学性质，电阻、超导电性等固体的电学性质，红外吸收与辐射等光学性质等。
所以，对晶体中原子热振动的研究和讨论是认识和了解固体中许多宏观性质、微观过程及其机理的重要基础。
本章只着重讨论其中的有关固体热学性质的部分，其它部分在本章最后的小结及后续章节、后续课程中可能有介绍（例电阻的产生机理、声子、电子运动等），因为热学性质是原子的振动在宏观性质上最直接的表现，对晶体原子振动的研究，最早是从热学性质开始的。
（在“统计热力学”中将讨论有关配分函数的处理及热力学函数的计算，本章中固体比热的计算，同上述内容有联系。
）§3.1晶体中原子的微振动及其量子化1．设晶体由N 个原子组成，它们相对于平衡位置的位移，分别用（x 1，x 2，x 3）、（x 4，x 5，x 6）……、（x 3N-2，x 3N-1，x 3N ）来表示，则其动能可表示为：∑=∙=Ni ii x m T 31221 （1）（)(212∙===x dt dx v mv T ） 其中m i 是坐标为x 1的原子的质量。
第三章晶格振动与晶体的热学性质PPT课件
4ed
0
e
2
1
CV 1254NkBTD3T3
德拜 T3 定律 ：CV 与 T3 成比例
注意：T3 定律一般只适用于大约
1 T 30 D
的范围
这表明，Debye模型可以很好地解释在很低 温度下晶格热容CV∝ T3的实验结果。
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
的色散关系，称为晶格振动的振动谱。 (q )
利用波与格波的相互作用，以实验的方法直接
测定 (q)
一、格波振动使中子流的非弹性散射 二、（可见光）光子与晶格的非弹性散射 三、X光的非弹性散射
只讨论单声子过程
因而，光散射只能和长波声子，即接近布里渊区 心的声子发生相互作用。
用可见光散射方法只能测定原点附近的很小一 部分长波声子的振动谱，而不能测定整个晶格振 动谱，这是光可见散射法的最根本缺点。
<<1
(1)★ 声学波
2m m M M 11m 4 m M M 2si2n aq 1/2
2m m M M 11m 4 mM M2sin2aq1/2
简化
m4mMM2sin2aq1 1m 4 m M 2 M si2a n 1 q /2 11 2m 4 m M 2 M si2a nq
32
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
第三章 晶体中的原子热振动 ppt课件
两者相差 倒格矢的 整数倍
q 2
2a a
ppt课件
22
(3) (q)的取值范围
2 sin 1 qa
m2
max min
max
a
2
m
min0 0
ppt课件
23
3. 周期性边界条件 设晶格由N 个原胞构成,那么
xn xnN
xn A eiqnat
从相邻原子的振幅比来讨论声学波与光学波的特点：
从前面的方程组
m2 2
A 2 cos qa B 0
，得：
2 cos qa A M2 2 B 0
光学波： A
2
M
2
<0
0
B 2 cosqa >0
表明基元中原子 反向振动。
min
2
1 2
m
max
2
1
2 ~ 31013 s1
~ q 声学波
min 0
1
max
2
M
2
ppt课件
31
2
mM mM
1
1
4mM
m M 2
sin 2
1
2 aq
固体电子学导论
岳贤军 南通大学电子信息学院电子工程系
ppt课件
1
第3章 晶体中的原子热振动
3.1 原子间的相互作用 3.2 一维单原子晶格的振动 3.3 一维双原子晶格的振动 3.4 晶格振动的量子化及声子 3.5 晶体的热学性质
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q 2
2a a
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22
(3) (q)的取值范围
2 sin 1 qa
m2
max min
max
a
2
m
min0 0
ppt课件
23
3. 周期性边界条件 设晶格由N 个原胞构成,那么
xn xnN
xn A eiqnat
从相邻原子的振幅比来讨论声学波与光学波的特点：
从前面的方程组
m2 2
A 2 cos qa B 0
，得：
2 cos qa A M2 2 B 0
光学波： A
2
M
2
<0
0
B 2 cosqa >0
表明基元中原子 反向振动。
min
2
1 2
m
max
2
1
2 ~ 31013 s1
~ q 声学波
min 0
1
max
2
M
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mM mM
1
1
4mM
m M 2
sin 2
1
2 aq
固体电子学导论
岳贤军 南通大学电子信息学院电子工程系
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1
第3章 晶体中的原子热振动
3.1 原子间的相互作用 3.2 一维单原子晶格的振动 3.3 一维双原子晶格的振动 3.4 晶格振动的量子化及声子 3.5 晶体的热学性质
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第三章晶格振动33PPT课件
式中，截止频率ωm又称为德拜频率，记为ωD，它 由格波总数等于3N来确定：
0Dgd＝23V 2p 3 0D2d＝ 3N
求得：
（3-74）
D3
6π2Np
V
（3-75）
引入德拜温度ΘD，设 DkBΘD，作变量代换：
x＝ k BT
d＝kBT dx
则式（3-73）可改写成：
Cv＝
3V 2 2p3
其中，NA为阿伏伽德罗常数。摩尔热容与材料的 性质及温度无关，符合杜隆—泊替定律。固体热容在 低温下正比于T3是经典物理无法解释的难题。 量子理论热容的计算 然而，从量子论的观点出发，每个谐振子能量都是量 子化的，其平均能量不再是kBT，而成为：
E ＝1＋
1
2
expkBT
1
1 2
n
（3-58′）
EkB E
则热容成为ΘE和温度T的函数：
Cv＝3NSkB
TE
2
eE /T
eE T
2
1
（3-71）
在声子热容CV显著变化的温度范围内，使热容理论 曲线尽可能地与实验曲线拟合，从而确定爱因斯坦
温度ΘE。对大多数固体，ΘE在100～300K之间。
• 德拜模型
把晶体视为各向同性的连续弹性媒质。设晶体是N 个初基原胞组成的三维单式格子(S＝1)，晶体中仅 有3支声学支格波，并设它们的相速vp都相同。因而 三支格波的色散关系均是线性的:
固体热容的实验定律：高温下的杜隆—珀替（Dulong -Petit）定律和低温下的德拜（Debye）定律。 杜隆—珀替定律：对确定的材料，高温下的热容为常 数，摩尔热容为3R，
R=8.314510±0.000070J/(mol·K) 。 德拜定律：低温下的固体热容与T3成正比。
第三章晶格振动1PPT课件
在简谐近似下，我们实际处理的是晶格振动的低激发态问 题，晶格振动由简正模描述，这个简正模就是声子 （Phonon）。由此，我们把晶格振动这个多体问题转化为 单体问题，即对声子的描述。而非简谐项(Anharmonic term) 可以用涉及声子的相互作用来解决。如晶格热导率涉及声 子碰撞。
5.1 一维单原子链的振动
一、运动方程及其解
n-2 n-1 n n+1 n+2Βιβλιοθήκη 考虑由一同种原子组成的一维
a
单原子链的振动。设平衡时相邻
原子间距为a（即原胞大小），在 t 时刻第n个原子偏离其平衡位置
n-2 n-1
n
n+1 n+2
的位移为n，如只考虑最近邻原子间的弹性相互作用，有
f n n n 1 n n 1 n 1 n 1 2 n
把薛定谔方程分离变量得：
V T ( n R ) V ( V R n )( R m ( ) R ) n ( r ( ,R R ) n )V e( r n ,R ) V e( r n ,R n )( r ,R n ) d r
其中V(r)是离子实之间的相互作用势。除去离子实之间的库 仑相互作用外，还有电子的贡献
一个原子实静态的模型无法解释如下几种现象
1. 无法解释晶体的比热等一系列晶体平衡态物性 2. 无法解释电导等一系列输运特性 3. 无法解释固体同各种辐射波的相互作用
晶体平衡态物性：
比热：晶体中电子的比热与晶体实际比热差别非常大。同时， 按照经典热力学对晶体比热的估算也在低温段失效。
热膨胀系数：只是电子引起的变化不足以理解晶体的膨胀系 数。
其中为弹性恢复力系数。设原子质量为m，则第n个原
子的运动方程为 m n 1 n 1 2 n
5.1 一维单原子链的振动
一、运动方程及其解
n-2 n-1 n n+1 n+2Βιβλιοθήκη 考虑由一同种原子组成的一维
a
单原子链的振动。设平衡时相邻
原子间距为a（即原胞大小），在 t 时刻第n个原子偏离其平衡位置
n-2 n-1
n
n+1 n+2
的位移为n，如只考虑最近邻原子间的弹性相互作用，有
f n n n 1 n n 1 n 1 n 1 2 n
把薛定谔方程分离变量得：
V T ( n R ) V ( V R n )( R m ( ) R ) n ( r ( ,R R ) n )V e( r n ,R ) V e( r n ,R n )( r ,R n ) d r
其中V(r)是离子实之间的相互作用势。除去离子实之间的库 仑相互作用外，还有电子的贡献
一个原子实静态的模型无法解释如下几种现象
1. 无法解释晶体的比热等一系列晶体平衡态物性 2. 无法解释电导等一系列输运特性 3. 无法解释固体同各种辐射波的相互作用
晶体平衡态物性：
比热：晶体中电子的比热与晶体实际比热差别非常大。同时， 按照经典热力学对晶体比热的估算也在低温段失效。
热膨胀系数：只是电子引起的变化不足以理解晶体的膨胀系 数。
其中为弹性恢复力系数。设原子质量为m，则第n个原
子的运动方程为 m n 1 n 1 2 n
第三章 晶体中的原子热振动 PPT课件
dU r 0 U a dr r a
U a
晶体的结合能
i , j =1 , 2 , , N
二. 原子间的键
1. 离子键 离子键是由正负离子通过库仑引力形成的。典型的如ⅠA族元素 (碱金属)与ⅦB族元素(过渡金属锰族元素：锰、铼、锝)之间形 成。ⅠA族元素易于失去电子而带正电荷，ⅦB族元素倾向于得 到一个电子而带负电荷，并使两者的电子组态都变为满壳层。
短波近似
满足力的平衡条件，质心基本不动。 以同一振幅刚性地振动。
q
2a
A
B A
B
0
即A B 即A B
质量小的原子对短光学 波贡献大。
质量大的原子对短声学 波贡献大。
4. 周期性边界条件 设晶体由N个原胞构成，则周期性边界条件为：
﹡ 各原子振动间存在相互联系，有固定的位相差。相邻原子
的位相差为qa
﹡﹡ xm xn时
Aeiqmat Aeiqnat
则, ma na 2 l l取整数
q
(3) 在不同时间观察整个晶格
整个晶格的振动（原子振动的集体行为），构成了一个波矢
为 q的前进波———格波。
mM
3. 声学波与光学波
2
mM mM
1
1
4mM
m M 2
sin 2
aq
1 2
从相邻原子的振幅比来讨论声学波与光学波的特点：
从前面的方程组
m2 2
A 2 cos qa B 0
，得：
2 cos qa A M2 2 B 0
第三章 晶体中的原子热振动
03
原子热振动的描述
原子热振动频率
原子热振动频率是指晶体中原 子热振动的频率
原子热振动频率与晶体的晶格 常数、原子的质量和温度有关
原子热振动频率可以通过实验 测量得到
原子热振动频率是研究晶体物 理性质的重要参数
原子热振动幅度
原子热振动：原子在 晶体中的随机运动
热振动幅度：原子热 振动的幅度大小
实验测量与计算结果的比较
实验测量方法：X射线衍射、电子衍射、中子衍射等 计算方法：分子动力学模拟、蒙特卡洛模拟等 实验测量结果：原子位置、原子间距、晶体结构等 计算结果：原子热振动频率、热振动幅度、热振动能量等 比较结果：实验测量结果与计算结果基本一致，验证了计算方法的准确性和可靠性。
05
原子热振动的应用
在材料科学中的应用
热导率：原子热振动影响材料的热导率 热膨胀：原子热振动影响材料的热膨胀系数 热稳定性：原子热振动影响材料的热稳定性 热处理：原子热振动影响材料的热处理效果
在物理领域的应用
解释热力学定律：原子热振动是热力学定律的基础 研究物质状态：原子热振动是研究物质状态的重要工具 解释热传导现象：原子热振动是解释热传导现象的基础 研究晶体结构：原子热振动是研究晶体结构的重要工具
探索原子热振动与其他物理现象的关联
原子热振动与热力学定律 的关系
原子热振动与量子力学的 关系
原子热振动与固体物理的 关系
原子热振动与材料科学的 关系
原子热振动与生物物理的 关系
原子热振动与环境科学的 关系
发展更加精确和高效的计算方法
量子计算：利用 量子计算机进行 模拟和计算，提 高计算速度和精 度
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第三章晶体中的原子热振动
第3章 晶体中的原子热振动
3.1 原子间的相互作用 3.2 一维单原子晶格的振动 3.3 一维双原子晶格的振动 3.4 晶格振动的量子化及声子 3.5 晶体的热学性质
研究对象
晶体中电子状态：假设原子或离子在格点附近固定不动 实际上，有限温度下，晶体中原子或离子微扰格点（平衡 位置）附近做热振动
第I族、第II族元素及过渡元素都是典型的金属晶体。
特点:共有化电子可以在整个晶体中运动，因此导电性、导热性 良好、具有高延展性。
4. 分子键 元素周期表中第VIII族元素在低温下结合成的晶体。——非极 性分子晶体 依靠瞬时偶极矩的互作用——范德 瓦耳斯（Van der Waals）力
特点:透明的绝缘体，熔点特低（几十 K）
5. 氢键 氢键是一种氢原子参与成键的特殊键型。氢原子半径小，电离 能很大，一般情况下不易失去电子，而是与其他原子形成共价 键。当氢原子唯一的价电子与其他原子形成共价键后，电子云 分布便靠近共价键一边，而另一边的原子核则暴露在外，容易 通过库仑作用与负电性大的原子相结合。
氢原子的这种结合可表示为 X—H…Y 其中，X—H距离近，作用强；H…Y距离稍远，结合力相对较 弱，通常称H…Y为氢键。
当大量原子相互靠近时,总的互作用势U:
1 N N
U 2
i
u rij
j 1, j i
U N 2
N
u
j1, ji
rij
令rij lijr r —最近邻原子间距 则U可表达为r的函数，U=U(r)
dU r 0 U a dr r a
U a
晶体的结合能
i , j =1 , 2 , , N
根据牛顿定律，第n个原子的运动方程为：
m
d 2 xn dt 2
xn1 xn1 2xn
试探解： xn Aeiqnat
分析：(1) 观察单个原子
各原子作简谐振动：
A—振幅
—振动频率
qna—初相位
(2) 观察整个晶格 xn Aeiqnat
﹡ 各原子振动间存在相互联系，有固定的位相差。相邻原子
二. 原子间的键
1. 离子键 离子键是由正负离子通过库仑引力形成的。典型的如ⅠA族元素 (碱金属)与ⅦB族元素(过渡金属锰族元素：锰、铼、锝)之间形 成。ⅠA族元素易于失去电子而带正电荷，ⅦB族元素倾向于得 到一个电子而带负电荷，并使两者的电子组态都变为满壳层。
特点:晶体结合的稳定性导致导电性能差、熔点高、硬度高和热 膨胀系数小。
代入运动方程，
m
d 2 xn dt 2
xn1 xn1 2xn
得： 2 sin qa
m
2
2 sin 1 qa 一维单原子晶格振动的色散关系
m2
讨论：(1) 相速度
vp
q
常数
仅当q 0,即 a时: (长波近似)
2 1 qa
m2
a 常数
qm
结论： a,晶格近似看作连续 .
晶体宏观性质<——微观理论
固体：确定形状，确定体积的物质形态
性质：力学、电学、热学、磁学、光学等
复杂：面对具体的物理现象（比如同样原子组成的结构不同 的材料） 微观：从原子、电子层次（每立方1029数量级的原子、电子！）
相互作用及运动规律复杂
金
刚
石
石
结
墨
构
3.1 原子间的相互作用
一. 原子间的互作用 互作用力
的位相差为qa
﹡﹡ xm xn时
Aeiqmat Aeiqnat
则, ma na 2 l l取整数
q
(3) 在不同时间观察整个晶格
整个晶格的振动（原子振动的集体行为），构成了一个波矢
为 q的前进波———格波。
2. 色散关系
~ q 为非线性关系
—色散关系
将试探解
xn Aeiqnat
特点:弱键,具有饱和性和方向性。
注意：对于多数固体材料，结合力是综合性的，同时存在着两 类或两类以上的结合力。
3.2 一维单原子的振动
近似与简化 晶格动力学方程
振动能量的量子化
一. 近似与简化
三个近似
绝热近似：解除电子运动与离子运动间的耦合
简谐近似：将原子之间的互作用力看作弹性力
U
r
U
a
1 2!
2. 共价键 共价键常由ⅣA碳族元素原子形成，如C、Si、Ge、Sn等。每个原 子有4个价电子，能与周围最邻近4个原子形成4个共价键，每个 键含有自旋相反的2个电子，它们来源于2个不同原子。这样，每 个原子周围拥有8个电子，使各原子的电子组态都变为满壳层。
共价键结合有两个基本特征：饱和 性和方向性。
r 时,
r r0时, r r0时,
r r0时,
f 0
f引 f斥 f引 f斥
f引 f斥
r rm时, 吸引力最大
吸引力：异性电荷间 的库仑引力
排斥力：同性电荷间的 库仑斥力及泡利原理的 排斥力
互作用势 ur:
f r dur
dr
dur
dr
r0
0
求得两个原子间相互作用力f， 需先求得两原子间的相互作用势U
特点:价电子定域在共价键上致使导电性很弱。熔点高、硬度高。
3. 金属键
金属键常由ⅠA、ⅡA族及过渡元素原子形成。这些原子的负 电性小，最外层一般有一两个容易失去的价电子，失去价电子 的原子称为离子实。由于波函数的交叠，价电子不再属于个别 原子而为所有离子实共有，成为在金属中自由运动着的电子， 也称作共有化运动。 如果将共有化状态的价电子比作电子云，可以用一个简化的物 理模型来描述金属晶体：将离子实看作浸没在电子云中，金属 晶体的结合力主要是来源于离子实和电子云之间的静电作用力。
(2) (q)具有对称性和周期性
2 sin 1 qa
m2
q q
q
2 a
q
色散曲线
将q限制在 a : a 区间(第一布里渊区)即可,在这以外并不
提供新的格波.
4a
状 态 等 价
4a
5
q 2a
两者相差 倒格矢的 整数倍
q 2
2a a
(3) (q)的取值范围
2 sin 1 qa
m2
max min
max
d 2U dr 2
a
2
最近邻近似：仅考虑最近邻原子之间的互作用
二. 一维单原子晶格振动的经典理论
晶格振动的动力学方程 1. 振动方程及行波解
只考虑相邻原子的作用，第n个原子仅受到第(n-1)个和第(n+1) 个原子的作用，总的作用力是：
f xn+1 xn xn xn-1
xn1 xn1 2xn
第3章 晶体中的原子热振动
3.1 原子间的相互作用 3.2 一维单原子晶格的振动 3.3 一维双原子晶格的振动 3.4 晶格振动的量子化及声子 3.5 晶体的热学性质
研究对象
晶体中电子状态：假设原子或离子在格点附近固定不动 实际上，有限温度下，晶体中原子或离子微扰格点（平衡 位置）附近做热振动
第I族、第II族元素及过渡元素都是典型的金属晶体。
特点:共有化电子可以在整个晶体中运动，因此导电性、导热性 良好、具有高延展性。
4. 分子键 元素周期表中第VIII族元素在低温下结合成的晶体。——非极 性分子晶体 依靠瞬时偶极矩的互作用——范德 瓦耳斯（Van der Waals）力
特点:透明的绝缘体，熔点特低（几十 K）
5. 氢键 氢键是一种氢原子参与成键的特殊键型。氢原子半径小，电离 能很大，一般情况下不易失去电子，而是与其他原子形成共价 键。当氢原子唯一的价电子与其他原子形成共价键后，电子云 分布便靠近共价键一边，而另一边的原子核则暴露在外，容易 通过库仑作用与负电性大的原子相结合。
氢原子的这种结合可表示为 X—H…Y 其中，X—H距离近，作用强；H…Y距离稍远，结合力相对较 弱，通常称H…Y为氢键。
当大量原子相互靠近时,总的互作用势U:
1 N N
U 2
i
u rij
j 1, j i
U N 2
N
u
j1, ji
rij
令rij lijr r —最近邻原子间距 则U可表达为r的函数，U=U(r)
dU r 0 U a dr r a
U a
晶体的结合能
i , j =1 , 2 , , N
根据牛顿定律，第n个原子的运动方程为：
m
d 2 xn dt 2
xn1 xn1 2xn
试探解： xn Aeiqnat
分析：(1) 观察单个原子
各原子作简谐振动：
A—振幅
—振动频率
qna—初相位
(2) 观察整个晶格 xn Aeiqnat
﹡ 各原子振动间存在相互联系，有固定的位相差。相邻原子
二. 原子间的键
1. 离子键 离子键是由正负离子通过库仑引力形成的。典型的如ⅠA族元素 (碱金属)与ⅦB族元素(过渡金属锰族元素：锰、铼、锝)之间形 成。ⅠA族元素易于失去电子而带正电荷，ⅦB族元素倾向于得 到一个电子而带负电荷，并使两者的电子组态都变为满壳层。
特点:晶体结合的稳定性导致导电性能差、熔点高、硬度高和热 膨胀系数小。
代入运动方程，
m
d 2 xn dt 2
xn1 xn1 2xn
得： 2 sin qa
m
2
2 sin 1 qa 一维单原子晶格振动的色散关系
m2
讨论：(1) 相速度
vp
q
常数
仅当q 0,即 a时: (长波近似)
2 1 qa
m2
a 常数
qm
结论： a,晶格近似看作连续 .
晶体宏观性质<——微观理论
固体：确定形状，确定体积的物质形态
性质：力学、电学、热学、磁学、光学等
复杂：面对具体的物理现象（比如同样原子组成的结构不同 的材料） 微观：从原子、电子层次（每立方1029数量级的原子、电子！）
相互作用及运动规律复杂
金
刚
石
石
结
墨
构
3.1 原子间的相互作用
一. 原子间的互作用 互作用力
的位相差为qa
﹡﹡ xm xn时
Aeiqmat Aeiqnat
则, ma na 2 l l取整数
q
(3) 在不同时间观察整个晶格
整个晶格的振动（原子振动的集体行为），构成了一个波矢
为 q的前进波———格波。
2. 色散关系
~ q 为非线性关系
—色散关系
将试探解
xn Aeiqnat
特点:弱键,具有饱和性和方向性。
注意：对于多数固体材料，结合力是综合性的，同时存在着两 类或两类以上的结合力。
3.2 一维单原子的振动
近似与简化 晶格动力学方程
振动能量的量子化
一. 近似与简化
三个近似
绝热近似：解除电子运动与离子运动间的耦合
简谐近似：将原子之间的互作用力看作弹性力
U
r
U
a
1 2!
2. 共价键 共价键常由ⅣA碳族元素原子形成，如C、Si、Ge、Sn等。每个原 子有4个价电子，能与周围最邻近4个原子形成4个共价键，每个 键含有自旋相反的2个电子，它们来源于2个不同原子。这样，每 个原子周围拥有8个电子，使各原子的电子组态都变为满壳层。
共价键结合有两个基本特征：饱和 性和方向性。
r 时,
r r0时, r r0时,
r r0时,
f 0
f引 f斥 f引 f斥
f引 f斥
r rm时, 吸引力最大
吸引力：异性电荷间 的库仑引力
排斥力：同性电荷间的 库仑斥力及泡利原理的 排斥力
互作用势 ur:
f r dur
dr
dur
dr
r0
0
求得两个原子间相互作用力f， 需先求得两原子间的相互作用势U
特点:价电子定域在共价键上致使导电性很弱。熔点高、硬度高。
3. 金属键
金属键常由ⅠA、ⅡA族及过渡元素原子形成。这些原子的负 电性小，最外层一般有一两个容易失去的价电子，失去价电子 的原子称为离子实。由于波函数的交叠，价电子不再属于个别 原子而为所有离子实共有，成为在金属中自由运动着的电子， 也称作共有化运动。 如果将共有化状态的价电子比作电子云，可以用一个简化的物 理模型来描述金属晶体：将离子实看作浸没在电子云中，金属 晶体的结合力主要是来源于离子实和电子云之间的静电作用力。
(2) (q)具有对称性和周期性
2 sin 1 qa
m2
q q
q
2 a
q
色散曲线
将q限制在 a : a 区间(第一布里渊区)即可,在这以外并不
提供新的格波.
4a
状 态 等 价
4a
5
q 2a
两者相差 倒格矢的 整数倍
q 2
2a a
(3) (q)的取值范围
2 sin 1 qa
m2
max min
max
d 2U dr 2
a
2
最近邻近似：仅考虑最近邻原子之间的互作用
二. 一维单原子晶格振动的经典理论
晶格振动的动力学方程 1. 振动方程及行波解
只考虑相邻原子的作用，第n个原子仅受到第(n-1)个和第(n+1) 个原子的作用，总的作用力是：
f xn+1 xn xn xn-1
xn1 xn1 2xn