新北师大版高中数学必修一第二单元《函数》测试卷(答案解析)(2)

一、选择题
1．我们把定义域为[)0,+∞且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为“Ω函数”：①对任意的[)0,x ∈+∞，总有()0f x ≥；②若0x ≥，0y ≥，则有()()()f x y f x f y +≥+成立，给出下列四个结论：（1）若()f x 为“Ω函数”，则()00f =；（2）若()f x 为“Ω函数”，则()f x 在[)0,+∞上为增函数；（3）函数()0,1,x Q
g x x Q
∈⎧=⎨
∉⎩在[)0,+∞上是
“Ω函数”（Q 为有理数集）；（4）函数()2
g x x x =+在[)0,+∞上是“Ω函数”；其中正确结论的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有
()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[]0,1上为非减函
数，且满足以下三个条件：①()00f =；②()1
32
x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-，则12017f ⎛⎫
⎪⎝⎭
等于（ ） A ．
116
B ．
132
C ．
164
D ．
1128
3．已知函数(2)f x 的定义域为3(0,)2
，则函数(13)f x -的定义域是（ ） A ．21(,)33
-
B ．11(,)63
-
C ．(0,3)
D ．7(,1)2
-
4．对二次函数()2
f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）． A ．1-是()0f x =的一个解 B ．直线1x =是()f x 的对称轴 C ．3是()f x 的最大值或最小值 D ．点()2,8在()f x 的图象上
5．已知函数()3
2
21x f x x =-
+，且()()20f a f b ++<，则（ ） A ．0a b +<
B ．0a b +>
C ．10a b -+>
D ．20a b ++<
6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果
()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为（ ） A ．](
2-∞，
B ．[)2，
+∞ C ．[]24-， D ．[]1
4， 7．已知函数()()2
20f x x mx m =-+>满足：①[]
()0,2,9x f x ∀∈≤；
②[]
()000,2,9x f x ∃∈=，则m 的值为（ ） A ．1或3 B ．3或
134
C ．3
D ．
134
8．函数sin sin 12
2x
x
y =+
的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．如图是定义在区间[]
5,5－上的函数()y f x =的图象，则下列关于函数()f x 的说法错误的是( )
A ．函数在区间[]
53－，－上单调递增
B ．函数在区间[]1,4上单调递增
C ．函数在区间][3,14,5⎡⎤⋃⎣⎦－上单调递减
D ．函数在区间[]5,5－上没有单调性
10．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2-x ），且对任意的x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0．则（ ） A ．()()()211f f f <-< B ．()()()121f f f <<- C ．()()()112f f f <-<
D ．()()()211f f f <<-
11．若函数()y f x =为奇函数，且在(),0∞-上单调递增，若()20f =，则不等式
()0f x >的解集为( )
A ．()()2,02,∞-⋃+
B ．()(),22,∞∞--⋃+
C ．()()
,20,2∞--⋃
D ．()()2,00,2-⋃
12．已知函数f x （）满足当4x ≥时，f x （）=12x
⎛⎫ ⎪⎝⎭
；当4x <时，1f x f x =+（）（），则
22log 3f +（）=
A ．
1
24 B ．
112
C ．18
D ．38
二、填空题
13．若函数()y f x =的定义域是[]0,4，则函数()
2f x f x =
的定义域是__________.
14．已知()13
=f x x ，则不等式(21)f x -() 230f x ++>的解集为_________. 15．函数2()2f x x x =-，()1g x ax =+(0a >)，若对任意的[]12,2x ∈-，存在
[]22,2x ∈-，使12()()f x g x =，则a 的取值范围是___________.
16．设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，1,12B ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦，函数()()1
,221,x x A f x x x B
⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩
，若()()0f f x A ∈，则0x 的取值范围是__________．
17．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()0)(f b f a f x b a
-=
-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”．0x 是它的一个均值
点，若函数()2
f x x mx =+是[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是___________． 18．若函数()lo
g (3)4,1
(43)41,1
a x x f x a x a x ++≥-⎧=⎨
-+-<-⎩且满足对任意的实数m n ≠都有
()()
0f m f n m n
-<-成立，则实数a 的取值范围____．
19．函数()f x =
的单调递增区间为__________．
20．设函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，2()()g x f x x =-，若函数()y g x =在区
间[0,)+∞上是严格增函数，则不等式2
(1)(1)2f x f x x +->+的解集为___________.
三、解答题
21．已知函数()21f x x
=
- （1）证明函数()f x 在()0,∞+上是减函数． （2）求函数()f x 在[)2,x ∈+∞时的值域． 22．已知函数()2
43f x x x =-+.
（1）若函数()f x 在区间[]1,2t t ++上是单调的，求t 的取值范围；
（2）在区间[]1,1-上，()y f x =的图象恒在22y x m =+-的图象上方，求实数m 的取值范围.
23．已知函数()2
f x x =，()1
g x x =-.
（1）若存在x ∈R 使()()f x b g x <⋅，求实数b 的取值范围；
（2）设()()()2
1F x f x mg x m m =-+--，且()F x 在[0,1]上单调递增，求实数m 的
取值范围.
24．已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，当1x >时，()0f x >，且
()()x f f x f y y ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
. （1）求()1f 的值，并证明()f x 在定义域上是增函数； （2）若112f ⎛⎫=-
⎪⎝⎭的值，解不等式1(1)2f x f x ⎛⎫
++≥ ⎪⎝⎭
. 25．已知函数2()3f x x ax =+-．
（1）若不等式()4f x >-的解集为R ，求实数a 的取值范围；
（2）若不等式()26f x ax ≥-对任意[]1,3x ∈恒成立，求实数a 的取值范围． 26．已知定义在()1,1-上的奇函数2
()1ax b
f x x +=+，且1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）证明：()f x 在0,1上是增函数； （3）解不等式()2
(120)f t f t -+<.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
利用“Ω函数”的定义依次判断即可，必须同时满足“Ω函数”的两个条件，才是“Ω函数”. 【详解】
解：对（1），由①得()00f ≥，
在②中令0x y ==， 即()()020f f =， 解得：()00f ≤，
()00f ∴=，故（1）正确；
对（2），当()0f x =时，满足①②，但在[)0,+∞不是增函数，故（2）错误； 对（3），当x ，y 都为正无理数时，不满足②，故（3）错误； 对（4），
()2g x x x =+，
当[)0,x ∈+∞时，min ()(0)00g x g ==≥， 即满足条件①，
222()()()()20g x y g x g y x y x y x x y y xy +--=+++----=≥，
即满足条件②，
∴函数2()g x x x =+在[0,)+∞上是“Ω函数”，故（4）正确.
故选：B. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是理解“Ω函数”的定义，必须同时满足“Ω函数”的两个条件，才是“Ω函数”.
2．D
解析：D 【分析】
由③可得()11f =，11
22f ⎛⎫=
⎪⎝⎭，然后由②可得11
1113232
n n n f f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111232
n n f -⎛⎫= ⎪⋅⎝⎭，然后结合()f x 在[0,1]上非减函数可得答案. 【详解】
由③得(10)1(0)1f f -=-=，111122f f ⎛⎫
⎛⎫
-
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()11f =，1122
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 由②得()12201111111111323232322n n n n n n f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12231011111111
232232232232
n n n n n f f f f ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫====
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭． ∵
761113201723<<⨯且6
1
123128f ⎛⎫
= ⎪
⨯⎝⎭，71
13128f ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
． 又()f x 在[0,1]上非减函数，∴112017128f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 故选：D
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是由条件得到111113232n n n f f -⎛⎫⎛⎫==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111232
n n f -⎛⎫= ⎪⋅⎝⎭. 3．A
解析：A 【分析】
先求出函数()f x 的定义域(0,3)，再求出函数(13)f x -的定义域. 【详解】
函数(2)f x 的定义域为3
(0,)2，则3
02
x <<
，所以023x << 所以函数()f x 的定义域为(0,3)，则0133x <-<解得2133
x -<< 函数(13)f x -的定义域为21
(,)33
- 故选:A 【点睛】
对于抽象函数定义域的求解方法：
(1)若已知函数()f x 的定义域为[]a b ，，则复合函数()()
f g x 的定义域由不等式
()a g x b ≤≤求出；
(2)若已知函数()()
f g x 的定义域为[]a b ，，则()f x 的定义域为()g x 在[]x a b ∈，上的值域．
4．A
解析：A 【分析】
可采取排除法，分别考虑A 、B 、C 、D 中有一个错误，通过解方程求得a ，判断a 是否为非零整数，即可得出结论. 【详解】
①若A 错，则B 、C 、D 正确，直线1x =是()f x 的对称轴，则12b
a
-
=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2
434ac b a
-=，
点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，
可得2
12434428
b a a
c b
a
a b c ⎧-=⎪⎪-⎪=⎨
⎪++=⎪⎪⎩
，解得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，合乎题意； ②若B 错，则A 、C 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=，
3是()f x 的最大值或最小值，则2
434ac b a
-=，
点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，
可得2
0434428
a b c ac b a a b c -+=⎧⎪
-⎪=⎨⎪++=⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意； ③若C 错误，则A 、B 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12b
a
-
=， 点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，
可得012428
a b c b a a b c -+=⎧⎪⎪-=⎨⎪++=⎪⎩，解得831638a b c ⎧=-⎪⎪⎪
=⎨⎪
=⎪⎪⎩
，不合乎题意；
④若D 错误，则A 、B 、C 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12b
a
-
=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2
434ac b a
-=，
可得2012434a b c b a ac b a
⎧⎪-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得34
3294a b c ⎧=-⎪⎪
⎪
=⎨⎪
⎪=⎪⎩，不合乎题意.
故选：A. 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用二次函数的基本性质求解参数，解本题的关键就是根据已知信息列出关于a 、b 、c 的方程组，解出参数的值，再逐一判断.
5．A
解析：A 【分析】
求得函数的单调性，构造奇函数利用单调性得解 【详解】
由函数单调性性质得：3
y x =，21x
y =+在R 上单调递增
所以()3
2
21
x f x x =-
+在R 上单调递增， 令函数()()3
21
121
x x g x f x x -=+=-+，()()0g x g x +-=
则函数()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，
故()()20f a f b ++<()()g a g b ⇔<-0a b a b ⇔<-⇔+<． 故选:A 【点睛】
构造奇函数利用单调性是解题关键.
6．C
解析：C 【分析】
根据题意可得()f x 在[0，)+∞上为减函数，结合奇偶性以及()31f =-可得
(|1|)f x f ⇒-|1|3x -，解出x 的取值范围，即可得答案．
【详解】
函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0，)+∞上是减函数， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，
由f （3）1=-，则不等式(1)10(1)1(1)f x f x f x f -+⇒--⇒-（3）(|1|)f x f ⇒-（3）|1|3x ⇒-， 解之可得24x -， 故不等式的解集为[2-，4]． 故选：C ． 【点睛】
将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
7．D
解析：D 【分析】
依题意可得()f x 在[]0,2上的最大值为9，求出函数的对称轴，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于m 的方程，解出即可． 【详解】
解：因为函数()()2
20f x x mx m =-+>满足：①[]()0,2,9x f x ∀∈≤；
②[]()000,2,9x f x ∃∈=，即函数()()2
20f x x mx m =-+>在[]0,2上的最大值为9，
因为222()2()f x x mx x m m =-+=--+，对称轴是x m =，开口向下， 当02m <<时，()f x 在[0，)m 递增，在(m ，2]递减， 故2()()9max f x f m m ===，解得：3m =，不合题意，
2m 时，()f x 在[0，2]递增，
故()()2449max f x f m ==-=，解得：13
4
m =，符合题意， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题．
8．D
解析：D 【解析】 因为()sin()
sin sin()
sin 11()222
2
x x x x
f x y f x ---=+
==
+=，
所以函数sin sin 122x
x
y =+
是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；
又sin
2
sin
2
1
15
()2
22
22
2
f π
π
π
=+=+
=，排除C ， 综上，函数sin sin 12
2x
x
y =+大致的图象应为D 项，故选D.
9．C
解析：C 【详解】
由图象可知，函数在[-5，-3]和[1，4]两个区间单调递增，则A 、B 选项是正确的； 又因为函数在[-3，1]和[4，5]两个区间上分别单调递减， 但在区间[-3，1]∪[4，5]上没有单调性，则C 选项错误； 观察函数图象可知函数在[-5，5]上没有单调性，则D 选项正确. 故选C.
要知道四个选项中哪个是错误的，考虑先根据函数图象写出函数的单调区间； 根据题意可知，函数在[-5，-3]和[1，4]两个区间单调递增，据此可判断A 、B 选项； 函数在[-3，1]和[4，5]上单调递减，据此判断其余选项，试试吧！
10．B
解析：B 【分析】
由已知得函数f （x ）图象关于x=1对称且在（-∞，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，从而可判断出大小关系. 【详解】
解：∵当x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）时有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0， ∴f （x ）在（-∞，1]上单调递减， ∵f （x ）=f （2-x ），
∴函数f （x ）的图象关于x=1对称，则f （x ）在∈（1，+∞）上单调递增， ∴f （-1）=f （3）>f （2）＞f （1） 即f （-1）＞f （2）＞f （1） 故选B ． 【点睛】
本题考查函数的对称性及单调性的应用，解题的关键是函数性质的灵活应用．
11．A
解析：A 【分析】
根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣2）=﹣f （2）=0，结合函数的单调性分析可得在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0，再结合函数的奇偶性可得在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0，综合即可得答案． 【详解】
根据题意，函数y=f （x ）为奇函数，且f （2）=0， 则f （﹣2）=﹣f （2）=0，
又由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，
则在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0， 又由函数y=f （x ）为奇函数，
则在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0， 综合可得：不等式f （x ）＞0的解集（﹣2，0）∪（2，+∞）； 故选A ． 【点睛】
本题考查函数单调性奇偶性的应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．
12．A
解析：A 【分析】
根据232log 34<+<，()()22
2log 33log 3f f +=+可得，又有23log 34+> 知，符合4?
x >时的解析式，代入即得结果.
因为函数f x （）满足当4x ≥时，f x （
）=12x
⎛⎫ ⎪⎝⎭
； 当4x <时，1f x f x =+（）（），
所()()()()22222log 3log 121log 12log 24f f f f +==+=以=2
1
log 24
2
=
1
24
，故选A ． 【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式、对数的运算法则，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】求出抽象函数定义域与联立求解答可得【详解】因为函数的定义域是所以又所以故答案为：【点睛】对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数的定义域为则复合函数的定义域由不等式求出；(2)若已知函数的定 解析：](1,2
【分析】
求出抽象函数()2f x 定义域与10x ->联立求解答可得 【详解】
因为函数()y f x =的定义域是[]0,4，所以02402x x ≤≤⇒≤≤，又10x -> 所以12x <≤ 故答案为：](
1,2 【点睛】
对于抽象函数定义域的求解
(1)若已知函数()f x 的定义域为[]a b ，，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式
()a g x b ≤≤求出；
(2)若已知函数(())f g x 的定义域为[]a b ，，，则()f x 的定义域为()g x 在[]x a b ∈，上的值域．
14．【分析】先利用幂函数性质和奇函数定义判断是R 上单调递增的奇函数再结合奇偶性和单调性解不等式即可【详解】由幂函数性质知时在是增函数故函数在是增函数又定义域是R 而故是R 上的奇函数根据奇函数对称性知在R 上
解析：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
【分析】
先利用幂函数性质和奇函数定义判断()f x 是R 上单调递增的奇函数，再结合奇偶性和单调性解不等式即可.
由幂函数性质知，01α<<时y x α
=在[)0,+∞是增函数，故函数()1
3
=f x x 在[)
0,+∞是增函数，又()f x 定义域是R ，而()()()11
3
3
=f x x x f x =-=---，故()f x 是R 上的奇函数，根据奇函数对称性知，()f x 在R 上单调递增.故不等式
(21)f x -() 230f x ++>即(21)f x -()() 2323f x f x >-+=--，故
2123x x ->--，即12x >-，故解集为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
.
故答案为：1,2⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】 思路点睛：
利用函数奇偶性和单调性解不等式问题：
（1）()f x 是奇函数，图像关于原点中心对称，利用奇函数性质将不等式
()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等
式即可；
（2）()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，利用偶函数性质将不等式
()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不
等式即可.
15．【分析】求出在上的值域再求出在上的值域由可得的范围【详解】所以又所以时因为对任意的存在使所以解得故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题可按如下规则转化：一般地已知函数（1）若总
解析：7,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【分析】
求出()f x 在[2,2]-上的值域A ，再求出()g x 在[2,2]-上的值域B ，由A B ⊆可得a 的范围． 【详解】
2()2f x x x =-2(1)1x =--，[2,2]x ∈-，所以()[1,8]f x ∈-，
又0a >，所以[2,2]x ∈-时，()1[21,21]g x ax a a =+∈-++， 因为对任意的[]12,2x ∈-，存在[]22,2x ∈-，使12()()f x g x =， 所以211218
a a -+≤-⎧⎨
+≥⎩，解得7
2a ≥．
故答案为：7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
． 【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[]
,,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的
子集 ．
16．【分析】采用换元法令分别在和两种情况下求得的范围进而继续通过讨论和来求得结果【详解】令则①若则解得：不满足舍去；②若则解得：即若则解得：；若则解得：综上所述：的取值范围为故答案为：【点睛】思路点睛：
解析：15,48⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
采用换元法，令()0f x t =，分别在t A ∈和t B ∈两种情况下求得t 的范围，进而继续通过讨论0x A ∈和0x B ∈来求得结果. 【详解】
令()0f x t =，则()f t A ∈. ①若t A ∈，则()12f t t =+，11022
t ∴≤+<，解得：1
02t -≤<，不满足t A ∈，舍
去；
②若t B ∈，则()()21f t t =-，()1
0212t ∴≤-<
，解得：314
t <≤，即()03
14
f x <≤， 若0x A ∈，则()00
12f x x =+，031142x ∴<+≤，解得：01142x <≤，011,42x ⎛⎫
∴∈ ⎪⎝⎭
； 若0x B ∈，则()()0021f x x =-，()032114x ∴
<-≤，解得：015
28
x ≤<，015,28x ⎡⎫
∴∈⎪⎢⎣⎭
.
综上所述：0x 的取值范围为15,48⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故答案为：15,48⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
思路点睛：求解复合函数()()
f g x 类型的不等式或方程类问题时，通常采用换元法，令
()g x t =，通过求解不等式或方程得到t 满足的条件，进一步继续求解x 所满足的条件. 17．【分析】根据新定义可得在区间上有解利用分离变量法即可求出答案【详解】解：设∴在区间上有解即在区间上有解∵令单调递减时单调递增所以所以实数的取值范围是故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的新定 解析：[)0,+∞
【分析】
根据新定义可得2x mx m +=在区间()1,1-上有解，利用分离变量法即可求出答案． 【详解】
解：设11x -<<，()()()
()
1111f f f x m --=
=--， ∴2x mx m +=在区间()1,1-上有解，
即2
1x m x
=-在区间()1,1-上有解，
∵()()()()2
2
2
12112211121111x x x x x y x x x x x
-+----+====-+-----， 令()10,2x t -=∈，1
2y t t
∴=+-，
(]0,1t ∈单调递减，[)1,2t ∈时单调递增，
所以120y t t
=+-≥，
所以实数m 的取值范围是[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】
关键点点睛：此题考查了函数的新定义题目，解题的关键是将问题转化为2x mx m +=在区间()1,1-上有解，分离参数求解，意在考查了分析能力、数学运算.
18．【分析】根据对任意实数都有成立得出在R 上单调递减从而得出解出a 的范围即可【详解】函数对任意的实数都有成立得在R 上单调递减∴故答案为：【点睛】关键点点睛：依函数单调性的定义得函数在R 上单调递减利用分段
解析：
324
a ≤<. 【分析】
根据对任意实数m n ≠，都有
()()
0f m f n m n
-<-成立，得出()f x 在R 上单调递减，从而
得出()()()4300143141log 134
a a a a a ⎧-<⎪
<<⎨⎪-⋅-+-≥-++⎩
，解出a 的范围即可．
【详解】
函数()f x 对任意的实数m n ≠，都有
()()
0f m f n m n
-<-成立，得()f x 在R 上单调递减，
∴()()()43001
43141log 134a a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-⋅-+-≥-++
⎩34301242a a a a ⎧<⎪⎪⎪
⇒<<⇒≤<⎨⎪
⎪≥⎪⎩
.
3
4
a ≤<. 【点睛】
关键点点睛：依函数单调性的定义得函数在R 上单调递减，利用分段函数的单调性求解.
19．【分析】先求出函数的定义域在利用复合函数单调性得解【详解】因为或所以函数的定义域为由在上单减在单增由复合函数单调性质得函数在单增故答案为：【点睛】复合函数单调性同增异减注意定义域属于基础题 解析：(,1)-∞-
【分析】
先求出函数的定义域，在利用复合函数单调性得解. 【详解】
因为22303x x x -->⇒>或1x <- 所以函数的定义域为(,1)
(3,)-∞-+∞
由223t x x =--在(,1)-∞-上单减，在(3,)+∞单增
由复合函数单调性质得函数()f x =在(,1)-∞-单增
故答案为：(,1)-∞- 【点睛】
复合函数单调性“同增异减”，注意定义域.属于基础题
20．【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围即可得答案【详解】解：根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为偶函数且在区间上是严格增函数则解可 解析：(,2)(0,)-∞-+∞
【分析】
根据题意，分析可得()g x 为偶函数，
进而分析可得()(1)1f x f +-()22
2(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>，
结合函数的奇偶性与单调性分析可得|1|1x +>，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【详解】
解：根据题意，2
()()g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，
则22()()()()()g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数， ()(1)1f x f +-()222(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>，
又由()g x 为偶函数且在区间[0,)+∞上是严格增函数，则|1|1x +>， 解可得：2x <-或0x >， 即x 的取值范围为：(,2)(0,)-∞-+∞；
故答案为：(,2)(0,)-∞-+∞．
【点睛】
关键点睛：解题关键在于，把题目通过转化化归思想，
转化为：()(1)1f x f +-()22
2(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>，进而分
析，难度属于中档题
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）(]1,0-. 【分析】
（1）在()0,∞+上任意取两个实数1x ，2x ，且12x x <，然后怍差
()()()
211212
2x x f x f x x x --=
判断其符号即可. （2）根据（1）知()f x 在[)2,+∞上是减函数，由2x =取得最大值，再由2
0x
>确定值域. 【详解】
（1）在()0,∞+上任意取两个实数1x ，2x ，且12x x <， 则有()()()21121212
222
11x x f x f x x x x x --=
--+=， 又因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >， 所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 所以()f x 在()0,∞+上是减函数．
（2）由（1）知()f x 在[)2,+∞上是减函数， 所以当2x =时()max 0f x =，
又因为
20x
>，所以2
11x ->-，
所以函数()f x 在()0,∞+上的值域为(]1,0-． 【点睛】
方法点睛：判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
22．（1）(][),01,-∞⋃+∞；（2） 【分析】
（1）分函数()f x 在区间[]1,2t t ++上单调递增和单调递减两种情况讨论，可得出关于实数t 的不等式，由此可解得实数t 的取值范围；
（2）由题意可得出24322x x x m -+>+-对任意的[]1,1x ∈-恒成立，利用参变量分离法可得出265m x x <-+，利用二次函数求出函数()2
65g x x x =-+在区间[]1,1-上的最小
值，由此可得出实数m 的取值范围. 【详解】
（1）二次函数()2
43f x x x =-+的图象开口向上，对称轴为直线2x =.
①若函数()f x 在区间[]1,2t t ++上单调递增，则12t +≥，解得1t ≥； ②若函数()f x 在区间[]1,2t t ++上单调递减，则22t +≤，解得0t ≤. 综上所述，实数t 的取值范围是(][),01,-∞⋃+∞；
（2）由题意可得出24322x x x m -+>+-对任意的[]1,1x ∈-恒成立， 则265m x x <-+对任意的[]1,1x ∈-恒成立，
令()()2
26534g x x x x =-+=--，则函数()g x 在区间[]1,1-上单调递减，
所以，()()min 10g x g ==，0m ∴<. 因此，实数m 的取值范围是(),0-∞. 【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥. 23．（1）(,0)(4,)-∞+∞；（2）[1,0][2,)-⋃+∞.
【分析】
（1）由题意可得x R ∃∈，20x bx b -+<，所以2()40b b ∆=-->，即可求解；
（2）22
()1F x x mx m =-+-，然后讨论0∆≤时满足对称轴为02
m
x =
≤，当0∆>时，讨论对称轴与区间的关系，012m <<，显然不成立，所以有21
2(0)10m
F m ⎧≥⎪⎨⎪=-≤⎩或
20
2
(0)10
m
F m ⎧≤⎪⎨⎪=-≥⎩解不等式，最后求并集即可. 【详解】
（1）x R ∃∈，()()f x bg x <， 即x R ∃∈，20x bx b -+<， 所以判别式2
()40b b ∆=-->， 解得：0b <或4b >. 故实数b 的取值范围为(,0)
(4,)-∞+∞.
（2）22
()1F x x mx m =-+-，对称轴为2
m x =
， ()F x 在[0,1]上单调递增，
当(
)2
2
41m m ∆=--=2
54m
-
①当0∆≤
，即m ≤≤
时，
则有02m
m ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩
解得：m 0≤≤
②当0∆>
，即m <
m > 设方程()0F x =的根为1x ，()212x x x <.
若12m ≥，则10x ≤，即212(0)10m
F m ⎧≥⎪⎨⎪=-≤⎩解得：2≥m 若02m ≤，则20x ≤，即202(0)10
m F m ⎧≤⎪⎨⎪=-≥⎩解得：10m -≤≤ 若012
m
<
<，不符合题意，
综上所述，实数m 的取值范围为[1,0][2,)-⋃+∞. 【点睛】
结论点睛：一元二次不等式恒成立求参数
（1）对于20ax bx c ++≥对于x ∈R 恒成立，等价于0
a >⎧⎨∆≤⎩ ， （2）对于20ax bx c ++≤对于x ∈R 恒成立，等价于0
a <⎧⎨∆≤⎩ . 24．（1）()10f =，证明见解析；（2）10,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
.
【分析】
（1）令1y =，可得(1)0f =，利用增函数的定义可证()f x 在()0,∞+上是增函数； （2）利用赋值法求出(4)2f =，将不等式1(1)2f x f x ⎛⎫
++≥ ⎪⎝⎭化为1(4)x f f x +⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭
，
根据()f x 的单调性可解得结果. 【详解】
（1）令1y =，则()()()1f x f x f =-，得(1)0f =，
任取210x x >>，则21
1x x >，210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，所以()()22110x f x f x f x ⎛⎫
-=> ⎪⎝⎭， 故()f x 在()0,∞+上是增函数； （2）在()()x f f x f y y ⎛⎫=-
⎪
⎝⎭
中，令1x =，2y =，则1
()(1)(2)2f f f =-， 即10(2)f -=-得()21f =，
再令2x =，4y =，则2
()(2)(4)4
f f f =-，即11(4)f -=-，得()42f =， ∵0x >，∴11(1)(4)2x f x f f f x x +⎛⎫⎛⎫
++=≥=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 由()f x 在()0,∞+上递增得
14x x +≥且0x >，得1
03
x <≤. 所以不等式1(1)2f x f x ⎛⎫
++≥ ⎪⎝⎭
的解集为1(0,]3.
【点睛】
关键点点睛：在()()x f f x f y y ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
中，通过赋值法求出(4)2f =是解题关键.
25．（1）(2,2)-；（2）(
,-∞． 【分析】
（1）由已知得210x ax ++>的解集为R ，只需∆<0可得答案；
（2）由已知得230x ax -+≥对任意[]1,3x ∈恒成立，可分别讨论对称轴的位置，然后利用单调性和二次函数的性质可得答案. 【详解】
（1）()4f x >-即234x ax +->-， 即210x ax ++>，
由不等式()4f x >-的解集为R ， 可得∆<0，即240a -<， 解得22a -<<， 故a 的取值范围是(2,2)-．
（2）()26f x ax ≥-即2326x ax ax +-≥-， 即230x ax -+≥，
由不等式()26f x ax ≥-对任意[]1,3x ∈恒成立， 可得当12
a
≤，即2a ≤时，10f ≥（）
，即40a -≥，得4a ≤，从而2a ≤； 当132
a
<
<，即26a <<时，0∆≤，即2120a -≤，
得a -≤≤2a <≤ 当
32
a
≥，即6a ≥时，(3)0f ≥，即1230a -≥，得4a ≤，此时无解．
综上，a 的取值范围是(
,-∞． 【点睛】
对于一元二次不等式的恒成立的问题，可结合二次函数图象，利用函数的单调性和二次函数的性质处理，也可以利用参数分离求最值． 26．（1）2
()1
x
f x x =+；（2）证明见解析；（3）102t <<. 【分析】
（1）由题意可得(0)0f =，可求出b 的值，再由12
25
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求出a 的值，从而可求出函数()f x 的解析式；
（2）利用增函数的定义证明即可；
（3）由于函数是奇函数，所以()2
(120)f t f t -+<可化为()2
()12f t t f <-，再利用单
调性可求解不等式 【详解】
（1）解：因为()f x 是()1,1-上的奇函数，所以(0)0f =，即
01
b
=，得0b =，
因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12215
14
a =+，解得1a =， 所以2()1
x f x x =+ （2）证明：1x ∀，2(0,1)x ∈，且12x x <，
则()()()()()()122112122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=
-=++++， 因为1201x x ，所以2212211210,0,(1)(1)0x x x x x x -<->++>，
所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <
所以()f x 在(0,1)上是增函数.
（3）解：因为()f x 在(0,1)上是增函数，且()f x 是()1,1-上的奇函数，
所以()f x 是(1,1)-上的奇函数且是增函数，
所以()2(120)f t f t -+<可化为()2
()12f t t f <-， 所以2211112121t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪<-⎩，解得102t <<. 【点睛】
关键点点睛：此题函数的奇偶性和单调性的应用，第（3）问解题的关键是利用奇函数的性质将不等式()2(120)f t f t -+<转化为()2
()12f t t f <-，进而利用单调性解不等式，考查转化思想和计算能力，属于中档题。