2013江苏省高考数学真题(含答案)

2021年普通高等学校统一考试试题〔XX卷〕
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分。

请把答案填写在答题卡相印位置上。

1．函数y3sin(2x)的最小正周期为．
4 开场
2．设 2
z(2i)〔i为虚数单位〕，那么复数z的模为．n1，a2
2y
2
x 3．双曲线1
169 的两条渐近线的方程为．
nn1
Y
a20
a3a2
4．集合{1,0,1}共有个子集．
N
输出n 5．右图是一个算法的流程图，那么输出的n的值是．
完毕
〔第5题〕6．抽样统计甲、乙两位设计运发动的5此训练成绩〔单位：环〕，结果如下：
运发动第一次第二次第三次第四次第五次
甲8791908993
乙8990918892
那么成绩较为稳定〔方差较小〕的那位运发动成绩的方差为．
22222
(8990)(9090)(9190)(8890)(9290) 2
方差为：2S．
5
7．现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n〔m7，n9〕可以任意选取，那么m，n 都取到奇数的概率为．
8．如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是C
1
B
1
AB，AC，AA的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱
1 A 1
A1B1C1ABC的体积为V2，那么V1:V2．F C
EB
AD
9．抛物线 2
yx在x1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界)．假设点P(x,y)是区域D内的任意一点，那么x2y的取值X围是．
1 10．设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB
2
2
，BEBC
3
，
假设DEABAC
1〔1，2为实数〕，那么12的值为．
2
2
11．f(x)是定义在R上的奇函数。

当x0时，f(x)x4x
，那么不等式f(x)x的解集用区间表示为．
22
xy
12．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为1(a0,b0)
22
ab
，右焦点为
F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d，F到l的距离为d2，
1
假设d26d，那么椭圆C的离心率为．
1
13．在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a,a)，P是函数y 1
x
〔x0〕图象上一动点，
假设点P，A之间的最短距离为22，那么满足条件的实数a的所有值为．
14．在正项等比数列{a n}中，
1
a，a6a73，那么满足a1a2a n a1a2a n的5
2
最大正整数n的值为．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤．
15．〔本小题总分值14分〕
a＝(cos,sin)，b(cos,sin)，0．
〔1〕假设|ab|2，求证：ab；
〔2〕设c(0,1)，假设abc，求,的值．
16．〔本小题总分值14分〕
如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB，过A作
AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：〔1〕平面EFG//平面ABC；
S
〔2〕BCSA．
E G
F
C A
B
17．〔本小题总分值14分〕
y 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y2x4．
l
A 设圆C的半径为1，圆心在l上．
〔1〕假设圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，
Ox 求切线的方程；
〔2〕假设圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐
标a的取值X围．
18．〔本小题总分值16分〕
如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。

一种是从A沿直线步行
到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两
位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从
A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的
速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，12
cosA，
13
3
cosC．
5
〔1〕求索道AB的长；
〔2〕问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
〔3〕为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，
乙步行的速度应控制在什么X围内？
A
M
BN
D
C
19．〔本小题总分值16分〕
设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，S n是其前n项和．记
nS
b n
n2，
nc *
n，其中c为实数．N
〔1〕假设c0，且b1，b，b成等比数列，证明：
24
2
S nk nS
k
〔
*
k,nN〕；
〔2〕假设{b}是等差数列，证明：c0．
n
20．〔本小题总分值16分〕
x
设函数f(x)lnxax，g(x)eax，其中a为实数．
〔1〕假设f(x)在(1,)上是单调减函数，且g(x)在(1,)上有最小值，求a的取值X围；
〔2〕假设g(x)在(1,)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．
2021年答案
一、填空题
1、【答案】π
【解析】T＝| 2π
ω
|＝|
2π
2|＝π．
2、【答案】5
2
【解析】z＝3－4i，i＝－1，|z|＝＝5．33、【答案】yx4
2y 2
x 【解析】令：0
169
2
，得
yxx
93
164
．
4、【答案】8
【解析】2
3＝8．
5、【答案】3
【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．
6、【答案】2
8990918892 【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：x90
5
7、【答案】20 63
【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，
那么m，n都取到奇数的概率为4
7
5
9
20
63
．
8、【答案】1：24
【解析】三棱锥FADE与三棱锥AABC1的相似比为1：2，故体积之比为1：8．
又因三棱锥AABC
1与三棱柱A1B1C1ABC的体积之比为1：3．所以，三棱锥FADE与
三棱柱
ABCABC
1的体积之比为1：24．
11
1
9、【答案】[—2，2]
【解析】抛物线 2
yx在x1处的切线易得为y＝2x—1，令z＝x2y，y＝—1
2x＋
z
2．
1
2 画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min＝—2，过点( ，0)时，z max＝
1
2 ．
y
y＝2x— 1 Ox
y＝—1
2
x
10、【答案】1
2
1212
【解析】DEDBBEABBCAB(BAAC)
2323
1 6 AB
2
3
AC AB
12
AC
所以，1
1，
6
2
2，12
3
1
2 ．
11、【答案】(﹣5，0)∪(5，﹢∞)
2(x0)的图像，如下列图所示。

由于f(x)是定义在R上的奇函数，【解析】做出f(x)x4x
利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。

不等式f(x)x，表示函数y＝f(x)的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0)∪(5，﹢∞)。

y
P(5,5)
y＝x
2—4x
y＝x
x
Q(﹣5,﹣5)
12、【答案】
3
3
B
y l
【解析】如图，l：x＝
2
a
c
d＝
，
2
2
a
c
－c＝
2
b
c
，由等面
b a
c
O
Fx
bc a 。

假
设
d26d，那么
1
2
b
c
＝6
b c
a
积得：
d1＝
，整理
2abb
2 得：6a60，两边同除以：
2
bb
2
a，得：660，解之得：
aa
b
a
＝
6 3 ，所以，离心率为：e1
b
a
2
3
3
．
13、【答案】1或10 【解析】
14、【答案】12
【解析】设正项等比数列{a}首项为a1，公比为q，那么：
n
aq
14
a q
1 5
(1
1
2
q) 3
1
，得：a1＝
32
，
q
6－
n．记＝2，a n＝2
n(n1)n
21
T n aaa，n a1aa22．T nn，那么
12n2n
5
2
n
21
52
2
(n 1)
2
n
，化
简
得：
n
2 1
12
n
2
2
11
2
n
5
121113121
，当5
nnn时，n12．当
222
n＝12时，T1212，当n＝13时，T1313，故n max＝12．
二、解答题
15、解：〔1〕a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
|a－b| 2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，
所以，cosα·c osβ＋sinα·sinβ＝0，所以，ab．
〔2〕
cos
sin
cos
sin
1
①
②
，①2＋②2得：cos(α－β)＝－
1
2．所以，α－β＝
2
3
，α＝
2
3
＋β，
带入②得：sin(
2
3
＋β)＋sinβ＝
3
2
1
2
cosβ＋
sinβ＝sin(
3
＋β)＝1，
所以，＋β＝．
32
所以，α＝5
6
，β＝
6
．
16、证：〔1〕因为SA＝AB且AF⊥SB，
所以F为SB的中点．
又E，G分别为SA，SC的中点，
所以，EF∥AB，EG∥AC．
又AB∩AC＝A，AB面SBC，AC面ABC，
所以，平面EFG//平面ABC．
〔2〕因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，AF平面ASB，AF⊥SB．
所以，AF⊥平面SBC．
又BC平面SBC，
所以，AF⊥BC．
又AB⊥BC，AF∩AB＝A，
所以，BC⊥平面SAB．
又SA平面SAB，
所以，BCSA．
17、解：〔1〕联立：
y
y
x
2x
1
4
，得圆心为：C(3，2)．
设切线为：ykx3，
|3k32|
d＝r1
，得：
2
1k
3 k0ork．
4 3
故所求切线为：y0oryx3．
4
〔2〕设点M(x，y)，由MA2MO，知：2(y3)2xy
222
x，
2y
2
x(1)4，
化简得：
即：点M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ． 又因为点M 在圆C 上，故圆C 圆D 的关系为相交或相切．
故：1≤|CD|≤3，其中
2
(2a3)
2
CDa ．
解之得：0≤a ≤ 12 5
．
18、解：〔1〕如图作B D ⊥CA 于点D ，
设BD ＝20k ，那么DC ＝25k ，AD ＝48k ， AB ＝52k ，由AC ＝63k ＝1260m ， 知：AB ＝52k ＝1040m ． 〔2〕设乙出发x 分钟后到达点M ，
此时甲到达N 点，如下图．
那么：AM ＝130x ，AN ＝50(x ＋2)，
由余弦定理得：MN 2＝AM 2＋AN 2－2AM·ANcosA ＝7400x 2－14000x ＋10000，
其中0≤x ≤8，当x ＝
35
37(min)时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．
〔3〕由〔1〕知：BC ＝500m ，甲到C 用时：
1260
50
＝ 126 5
(min)．
假设甲等乙3分钟，那么乙到C 用时：
126 5 ＋3＝ 141
5(min)，在BC 上用时： 86
5(min)．
此时乙的速度最小，且为：500÷ 86 5 ＝ 1250
43
m/min ．
假设乙等甲3分钟，那么乙到C 用时：
126 5 －3＝ 111
5
(min)，在BC 上用时：
56 5
(min)．
此时乙的速度最大，且为：500÷
56 5＝
625
14m/min ．
1250
43
故乙步行的速度应控制在[
625 14 ，
]X 围内． 19、证：〔1〕假设c0，那么a n a(n1)d ，
n[(n1)d2a]
S n ，
2
(n1)d2a b n ． 2
当
2
b 1，b ，b 成等比数列，b 2b 1b 4，
24
即：
2
d3d
2
aaa ，得：d2ad
22
，又d0，故d2a ．
2
由此：Sna
n
222222
，S nk (nk)anka ，nS k nka
．
故：
2
S nk nS
k
〔
*
k,nN 〕．
〔2〕
(n1)d 2
2
n
nS n
b
n2 2
ncnc
2a
，
2
n
(n 1)d 2
2a(n1)d2a
c
2
2
nc
c
( n
1)d 2
2a
(n
1)d 2
2a c
(n 1)d 2 2
n c
2a
．(※)
假设{b n
}
是等差数b n AnBn 型．
(※)式后
一项，分子幂低幂，
(n1)d2a c 故有：20 2c n 故c0． (n1)d2a ，即c0，而
2
(n1)d2a
2
≠0，
c0时{b}是等差数列． n 1
20、解：〔1〕f(xa ≤0在(1,)上恒成立，那么
a ≥ )
x
故：
a ≥1．
1 x
，x(1，)．
g x
(x)ea ，
x
假设1≤
a
≤gxa ()e ≥0在(1,)上恒成立，
x
此时，g (x )e a x 在
(
1,)上是假
设a ＞g(x)e x
ax 在(1，lna)上是单调减函数，在(lna ，)上是单调增函 数，g min (x)g(lna)，满足． 故
a 的
取a ＞e ．
x x ， 〔2〕g(x)ea ≥0在(1,)上恒成立，那么a ≤e
故：a ≤ 1
e ． 11ax
f(x)a(x0)． xx
(ⅰ)假设0＜
a ≤
1 e 1
，令
a)；
1
令
a
当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；
当x＝1
a
1
a)＝﹣lna－1≥0，当且仅当a＝
时，f(
1
e时取等号．1
e
故：当a＝时，f(x)有1个零点；当0＜a＜
1
e时，f(x)有2个零点．
(ⅱ)假设a＝0，那么f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点．
1
(ⅲ)假设a＜0，那么f(x)a0在(0，)上恒成立，
x
即：f(x)lnxax在(0，)上是单调增函数，
当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．此时，f(x)有1个零点．
综上所述：当a＝1
e或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜
a＜
1
e
时，f(x)有2个零点．。