二次函数的图像与性质

二次函数图象与性质
知识要点梳理：
知识点一、二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的函数称为二次函数(quadratic funcion) .其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.
知识点二、二次函数的图象及画法
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是对称轴平行于y轴(或是y轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同.
1. 用描点法画图象
首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.
2. 用平移法画图象
由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得到a 值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h，k).
知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
1.函数y=ax2(a≠0)的图象与性质：
函数a的符
号
图象
开口
方向
顶点坐
标
对称轴增减性
最大(小)
值
y=ax2a>0 向上 (0，0) y轴x>0时，y随x增大而增大
x<0时，y随x增大而减小
当x=0时，
y最小=0
y=ax2a<0 向下 (0，0) y轴x>0时，y随x增大而减小
x<0时，y随x增大而增大
当x=0时，
y最大=0
2.函数y=ax2+c(a≠0)的图象及其性质:
(1)当a>0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最小=c
(2)当a<0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最大=c
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质：
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是，对称轴是直线
函数二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)
图象
a>0 a<0
性质(1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限
延伸，顶点是它的最低点.
(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自
左向右下降，在对称轴的右侧，抛物线自左向
右上升.
(1)当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延
伸，顶点是它的最高点.
(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左
向右上升；在对称轴右侧，抛物线自左向右下
降.
知识点四、抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用
a，b，c的代数式作用字母的符号图象的特征
a 1. 决定抛物线的开口方向；
2. 决定增减性
a>0 开口向上
a<0 开口向下
c 决定抛物线与y轴交点的位置，交
点坐标为(0，c)
c>0 交点在x轴上方
c=0 抛物线过原点
c<0 交点在x轴下方决定对称轴的位置，对称轴是直线ab>0 对称轴在y轴左侧
ab<0 对称轴在y轴右侧
b2-4ac 决定抛物线与x轴公共点的个数b2-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点b2-4ac=0 顶点在x轴上
b2-4ac<0 抛物线与x轴无公共点
规律方法指导
1.求二次函数解析式的方法
一般来说，二次函数的解析式常见有以下几种形式.
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
(2)顶点式：
y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)
要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，需要已知三个独立条件.
当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后列出三元一次方程组求解.
当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式y=a(x-h)2+k求解. (3)交点式：
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
2.确定二次函数最值的方法
确定二次函数的最大值或最小值，首先先看自变量的取值范围.再分别求出二次函数在顶点处的函数值和在端点处的函数值，比较这些函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值.
①若自变量的取值范围是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示.
图(1)中，抛物线开口向上，有最低点，则当时，函数有最小值是；
图(2)中，抛物线开口向下，有最高点，则当时，函数有最大值是.
②若自变量的取值范围不是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示.
图(1)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；
图(2)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；
图(3)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；
图(4)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；
图(5)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值.
二次函数的图象与性质专项练习题
一、选择题
1.抛物线y=x2+3x的顶点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.抛物线y=-3x2+2x-1的图象与x轴、y轴交点的个数是( )
A.没有交点
B.只有一个交点
C.有两个交点
D.有三个交点
3.若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
A.13
B.10
C.15
D.14
4.已知二次函数y=ax2+bx+c与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点. 其顶点坐标为
P
2
4
,
24
p c b
⎛⎫
-
-
⎪
⎝⎭
,AB=│x1-x2│.若S△APB=1,则b与c的关系式是( )
A.b2-4c+1=0
B.b2-4c-1=0
C.b2-4c+4=0
D.b2-4c-4=0
5.二次函数y=4x2-mx+5,当x<-2时,y随x的增大而减少;当x>-2时,y随x的增大而增大,则当x=1时,y的
值为( )
A.-7
B.1
C.17
D.25
6.若直线y=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c( )
A.开口向上,对称轴是y轴
B.开口向下,对称轴是y轴
C.开口向下,对称轴平行于y轴
D.开口向上,对称轴平行于y轴
7.二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是( )
A.a>0,b2-4ac<0
B.a<0,b2-4ac>0
C.a>0,b2-4ac>0
D.a<0,b2-4ac<0
8.已知二次函数y=ax 2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( )
9.已知抛物线y=5x 2+(m-1)x+m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧,它们的距离平方等于
49
25
,则m 的值为( ) A.-2 B.12 C.24 D.48
10.函数y=x 2+px+q 的图象是以(3,2)为顶点的抛物线,则这个函数的关系式是( ) A.y=x 2+6x+11 B.y=x 2-6x-11 C.y=x 2-6x+11 D.y=x 2-6x+7 11.关于函数y=2x 2-8x,下列叙述中错误的是( )
A.函数图象经过原点
B.函数图象的最低点是(2,-8)
C.函数图象与x 轴的交点为(0,0),(4,0)
D.函数图象的对称轴是直线x=-2
12.如图所示,当b<0时,函数y=ax+b 与y=ax 2+bx+c 在同一坐标系内的图象可能是( )
二、填空题:(每题3分,共45分)
13.二次函数y=2x 2- 4x+ 3 通过配方化为顶点式为y= _________, 其对称轴是______,顶点坐标为_______,抛物线开口________,当x_______时,y 随x 的增大而增大;当x____时,y 随x 的增大而减小;当x=______时,y 最值=________. 14.已知抛物线y=x 2+(m-1)x-
1
4
的顶点的横坐标是2,则m 的值是_______. 15.已知抛物线的对称轴是x=-1,它与x 轴交点间的距离等于4,它在y 轴上的截距是-6,则它的关系式是_____________.
16.在同一坐标系内,抛物线y=ax 2与直线y=2x+b 相交于A 、B 两点,若点A 的坐标是(2,4),则点B 的坐标是_________.
17.将抛物线y=ax 2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为__________.
18.已知函数y=x 2-1840x+2003与x 轴的交点为(m,0),(n,0), 则(m 2-1841m+2003)(n 2
-1841n+2003)的值为______. 19已知抛物线y=x 2
+bx+c 与y 轴交于点A,与x 轴的正半轴交于B 、C 两点,且BC=2,S △ABC =3.那么b=________.
20.直线y=x+2与抛物线y=x 2+2x 的交点坐标为________.
21.如图所示,A 、B 、C 是二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象上的三点,根据图中给
出的三点位置情况,可得a 、c 、 △( △= b 2
- 4ac) 与零的大小关系是 a_____0,c____0,△_____0,(填入“>”、“<”或“=”) 三、解答题:(25分) 22.(6分)(1)请你画出函数y=
12
x 2
-4x+10的图象, 由图象你能发现这个函数具有哪些性质? (2)通过配方变形,说出函数y=-2x 2+8x-8的图象的开口方向、对称轴、 顶点坐标,这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?
1x A y O 1x B y O 1x C y O
1x D y O x A y O x B y O x
C y O x
D y O x B A
C
y
O
23.(6分)根据下列条件,分别求出对应的二次函数关系式. (1)已知抛物线的顶点是(-1,-2),且过点(1,10); (2)已知抛物线过三点:(0,-2),(1,0),(2,3).
24.(6分)已知二次函数y=x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3,其中m 为实数.
(1)求证:不论m 取何实数,这个二次函数的图象与x 轴必有两个交点; (2)设这个二次函数的图象与x 轴交于点A(x 1,0),B(x 2,0),且x 1、x 2的倒数和为2
3
,求这个二次函数的关系式.
25.(7分)某商场购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多利润,商店决定提高销售价格.经试验发现,若按每件20 元的价格销售时, 每月能卖300件,若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件,假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数. (1)试求y 与x 之间的函数关系式;
(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的前提下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本)
26．如图所示，满足a ＞0,b ＜0的函数y=2
ax bx 的图像是（ ）
27．二次函数2y ax =的图像向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得新函数表达式为（ ）
A ．y=a 2(2)x -＋3
B ．y=a 2(2)x -－3
C ．y=a 2(2)x +＋3
D ．y=a 2(2)x +－3
28．抛物线y=－
21
(2)2
x +－4的开口向＿＿＿，顶点坐标＿＿＿，对称轴＿＿＿，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而增大，x ＿＿＿时，y 随x 的增大而减小。

29．将抛物线y=3x 2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线解析式为_________. 30．如图所求：则它的解析式为______________， 若另一个二次函数的图象与该图象关于
x 轴对称，则它的解析式为____________________.
31．已知二次函数的对称轴为直线x=-2,且过（1，1）和（4，4）两点. （1）写出此二次函数解析式；
（2）求出这个函数的最大值或最小值； （3）当x 为何值时，y 随x 增大而增大.
32．已知抛物线y=x 2+(a-3)x+(3b-a)与x 轴有唯一的交点A （8，0），求a ，b 的值？
33．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）,当x=
2
1
时，此函数有最大值是25，且抛物线与x 轴交点为（α，0）和（β，0），且α3+β3=19. 求此二次函数解析式.。