数学--潍坊高中2022届12月份高三学科核心素养测评

高三数学
2021.12
本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，设全集U=N ，集合{}{}
1,3,5,7,9,06A B x Z x ==∈<<，则图中阴影部分表示的集合为 A ．{2，4}
B ．{7，9}
C ．{1，3，5}
D ．{1，2，3，4，5}
2．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是 A ．所有奇数的立方都不是奇数 B ．存在一个奇数，它的立方是偶数 C ．不存在一个奇数，它的立方是偶数 D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数
3．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是13,22⎛⎫- ⎪ ⎪
⎝⎭
，则2
z = A ．z
B ．z
C ．2
z
D ．z -
4．为了鼓励学生积极锻炼身体，强健体魄，某学校决定每学期对体育成绩在年级前100名的学生给予专项奖励．已知该校高三年级共有500名学生，如图是该年级学生本学期体育测试成绩的频率分布直方图．据此估计，能够获得该项奖励的高三学生的最低分数为 A ．89 B ．88 C ．87
D ．86
5．函数()11cos y x x x ⎛
⎫
=+-
⎪⎝⎭
的部分图象大致为
6．根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，室内某污染物的浓度≤0.1mg ／m 3为安全范
(单位：mg ／m 3)与竣工后保持良好通风的时间()
t t N *∈ (单位：周)近似满足函数关系式
()3at b t ρ+=，若竣工1周后该污染物浓度为6.25mg ／m 3，3周后室内该污染物浓度为2.25mg
／m 3，则要达到安全使用标准，该建筑物室内至少需要通风放置的时间为(参考数据：
7
8
9
3330.0280.0170.010555⎛⎫⎛⎫⎛⎫
≈≈≈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，) A ．8周 B ．9周 C ．10周 D ．11周
7．五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗．如图在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是 A ．0CH ID +=
B ．//AB FE
C ．2AF FG HG +=
D ．=AF AB AJ +
8．牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于
计算球体体积的方法，该方法不直接给出球体的体积，而是先计算牟合方盖的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积关系为
4
=V V π
牟球，并且推理出了“牟合方盖”的八分之一的体积计算公式，即3=8V r V -牟方盖差，从而计算出34
=3
V r π球．如果记所有棱长都为r 的正四
棱锥的体积为V ，则V V =方盖差:
A ．
2
2
B ．1
C ．2
D ．22
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．不透明的口袋内装有红色和绿色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有 A ．2张卡片都不是红色 B ．2张卡片恰有一张红色 C ．2张卡片至少有一张红色 D ．2张卡片至多有一张红色 10．已知直线,m n ，平面,αβ，且,m n αβ⊂⊂，则下列说法正确的是 A ．若m n ⊥，则αβ⊥ B ．若//αβ，则//m β C ．若m β⊥，则αβ⊥
D ．若m ∥n ，则//αβ
11．设,,x y z 为正实数，且235log log log 0x y z ==>，则下列关系式可能成立的是
A.
235x y z
== B.
352y z x << C. 532
z y x <<
D. 235
x y z <<
12．已知函数()f x 的定义域为(0，+∞)，且对任意()()()0,,22x f x f x ∈+∞=恒成立；若
A ．(]2,4x ∈时，()4f x x =-
B ．对任意m ∈Z ，有()20m f =
C ．存在n Z ∈，使得(
)
219n f +=
D ．“函数()f x 在区间(),a b 上单调递减”的充要条件是“存在k Z ∈，使得()()
1,2,2k k a b +⊆” 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．()()8
x y x y -+的展开式中2
7
x y 的系数为_________．(用数字作答)
14．请写出同时满足以下条件的一个函数：_________． ①该函数的定义域是R ，且其图象是一条连续不断的曲线； ②该函数是偶函数； ③该函数恰有2个零点． 15．已知2sin 63
πα⎛⎫
-=
⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 16．纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，
规定以A0，A1，A2，B1，B2，……等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中An(n ∈N ，n ≤8)系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，……，A8所有规格的纸张的幅宽(以x 表示)和长度(以y 表示)的比例关系都为:1:2x y =；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，……，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2，……，A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm ，则A0纸的面积为________dm 2；这9张纸的面积之和等于___________dm 2．(第一空3分，第二空2分)
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)
已知函数()()()sin 0,02f x x ωϕωϕπ=+><<在一个周期内的部分对应值如下表：
(1)求()f x 的解析式；
(2)求函数()()2sin g x f x x =+的最小值．
18．(12分) 已知数列{}n a 满足
1231233,n
n
n n N a a a a *+++⋅⋅⋅+=+∈． (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)令,2,n
n n a a n b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，
为偶数，
求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．
19．(12分)
如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，且1
3
AD DB =． 记,ACD BCD αβ∠=∠=． (1)求证：3sin sin AC BC αβ⋅=⋅； (2)若,,196
2
AB π
π
αβ=
=
=，求BC 的长．
20．(12分)
2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年02月04日~2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目．下表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：
2022年北京冬奥会赛程表(第七版，发布自2020年11月)
说明：“*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛．
(1)(i)若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰球和跳台滑雪的概率； (ii)若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛不在同一赛区的概率； (2)若在2月6日(星期日)的所有决赛中观看三场，记X 为赛区的个数，求X 的分布列及期望E(X)．
21．(12分)
已知圆柱1OO 的底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．一动点从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转()0θθπ<<后，边11B C 与曲线Γ相交于点P ．
(1)当2
π
θ=
时，证明：平面APB ⊥平面1111A B C D ；
(2)是否存在θ，使得二面角D —AB —P 的大小为4
π
?若存在，求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由．
22．(12分)
已知函数()()x f x e ax a R =-∈．
(1)若函数()0f x ≥在()0,+∞恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)若()()2g x f x ax ax =+-在区间(0，+∞)上存在极大值M ，试判断M 与a 的大小，并说明理由．。