数值分析(计算方法)总结

第一章绪论
误差来源：模型误差、观测误差、截断误差(方法误差）、舍入误差
是的绝对误差，是的误差,为的绝对误差限（或误差限）
为的相对误差,当较小时，令
相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为:即：
绝对误差有量纲，而相对误差无量纲
若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共
有n位，则称近似值有n位有效数字,或说精确到该位。

例：设x==3.1415926…那么，则有效数字为1位,即个位上的3，或说精确到个位.
科学计数法：记有n位有效数字,精确到.
由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字,则其相对误差限为
由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字
令
1.x+y近似值为和的误差（限)等于误差(限）的和
2.x-y近似值为
3.xy近似值为
4.
1．避免两相近数相减
2．避免用绝对值很小的数作除数
3．避免大数吃小数
4．尽量减少计算工作量
第二章非线性方程求根
1。

逐步搜索法
设f （a） <0，f （b)> 0，有根区间为（a，b)，从x0=a出发，按某个预定步长（例如h=(b—a)/N）一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k）=f（a+kh）的符号，若f（x k)〉0(而f（x k-1)<0)，则有根区间缩小为[x k-1,x k] （若f（x k）=0，x k即为所求根）, 然后从x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度:｜x k—x k-1｜
〈 为止，此时取x*≈（x k+x k-1）/2作为近似根.
2。

二分法
设f（x)的有根区间为[a，b］= ［a0,b0］，f(a)<0, f(b)>0。

将[a0,b0]对分,中点x0=
(（a0+b0)/2),计算f（x0）。

3。

比例法
一般地，设［a k,b k］为有根区间，过(a k, f（a k))、 (b k，f（b k))作直线，与x轴交
于一点x k，则：
1。

试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。

2.比例法不是通过使求根区间缩小到0来求根，而是在一定条件下直接构造出一个点列（递推公式），使该点列收敛到方程的根。

--这正是迭代法的基本思想。

事先估计：
事后估计
局部收敛性判定定理：
局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，但对初始点要求较高,即初始点必须选在精确解的附近
Steffensen迭代格式：
Newton法：
Newton下山法：是下山因子
弦割法：
抛物线法:令
其中：
则：
设迭代x k+1= g(x k）收敛到g(x）的不动点(根) x* 设e k= x k x*若
则称该迭代为p（不小于1）阶收敛，其中C (不为0）称为渐进误差常数
第三章解线性方程组直接法
列主元LU分解法:计算主元选主元
对于Ax=b,三角分解A=LU，Doolittle分解：L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵；Crout分解：L为下三角矩阵，U为单位上矩阵。

可分解为:
若利用紧凑格式可化为:
Cholesky平方根法：系数矩阵A必须对称正定
改进Cholesky分解法:
其中：
追赶法：Ax=d（A=LU），可化为Ly=d,Ux=y
向量范数：:
矩阵范数:
谱半
径:
收敛条件：谱半径小于1
条件数：
第四章解线性方程组的迭代法
Jacobi迭代：
基于Jacobi迭代的Gauss—Seidel迭代：
迭代收敛：谱半径小于1，范数小于1能推出收敛但不能反推
逐次超松弛迭代（SOR):
当=1时，就是基于Jacobi迭代的Gauss-Seidel迭代（加权平均)。

第五章插值法
Lagrange插值法：
构造插值函数：
则：
若记：
则可改为:
则插值余项:
逐次线性插值法Aitken (埃特金法）：
Newton插值法：
N(x)=a0+a1(x-x0）+a2（x-x0)（x-x1)+…+an(x—x0)（x—x1)…（x—xn)并满足N(x)=f(x）
差商的函数值表示:
差商与导数的关系:
则：
等距节点Newton插值公式：
Newton向前插值:
余项：
Newton向后插值：
余项：
Hermite插值:
插值余项:
待定系数：
三次样条插值：（三弯矩构造法）
记
对于附加弯矩约束条件：
对于附加转角边界条件：
对于附加周期性边界条件:
上式保证了s(x）在相邻两点的连续性
第六章函数逼近与曲线拟合
主要求法方程
第七章数值积分与数值微分
求积公式具有m次代数精度的充要条件：
插值型求积公式
Newton—Cotes（等分)
梯形求积公式（n=1)，具有1次代数收敛精度
误差公式：
抛物型求积公式（Simpson求积公式，n=2）,具有3次代数收敛精度
误差公式
Newton求积公式（Simpon3/8法则）具有3次代数收敛精度
Cotes求积公式（n=4），具有5次收敛精度
误差公式
节点数为奇数时，代数精度为n；为偶数时，代数精度为n+1.代数精度都是奇数.
复化梯形求积公式:
截断误差：
复化Simpson公式:
截断误差：
复化Cotes求积：
截断误差：
若一个复化积分公式的误差满足且C 0，则称该公式是p阶收敛的。

复化求积公式（需要2n+1个求积节点）
Romberg求积算法：
复化梯形求积公式：
复化Cotes求积公式：
Gauss型求积公式：
内积公式：
截断误差：
高斯求积公式代数精度为2n+1
Gauss-Legendre求积公式（注意区间（—1，1），变换可得）：形如：
求积系数可通过代数精度或插值型求积公式求积系数公式求出，亦可由下式求
得:
截断误差:
Gauss-Chebyshev求积公式：形如：
求积系数：（必为正)
截断误差：
Gauss—Laguerre求积公式：形如：
求积系数:
截断误差：
Gauss-Hermite求积公式：形如：
求积系数：
截断误差：
三点数值微分公式：
泰勒级数展开：
第八章常微分方程求解
Euler法：为一阶法（f（x，y)为y的导数）
梯形方法（改进Euler法）：
四级四阶经典Runge-Kutta公式。