第3章-向量组

3
0,
因 1， 2， 3 线性无关，故有
18

x1
x 3 0, 0, x 2 x 3 0.
列式 1 0 2 0 1
x1 x2
由于此方程组的系数行 1 1 0
故方程组只有零解 b 1 , b 2 , b 3 线性无关 .
0 1 1
x 1 x 2 x 3 0，所以 向量组
不全为零的数 k 1 , k 2 , , k m , 使
2
k 1 1 k 2
k m
m
0
, 不妨设 k i 0 ,
因 k 1 , k 2 , k m 中至少有一个不为零
则

i
(
k1 ki
) 1 ( ( k i1 ki )
k i1 ki
中，
每一个方程中变量的系数就构成一个 n 维行向量.
4
n
维向量的实际意义
确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 机身的仰角 机翼的转角 机身的水平转角


(

2


)
2 ( )
( 0 2 )
飞机重心在空间的位置参数 P(x,y,z) 所以，确定飞机的状态，需用6维向量
1)
则
3 2 1 2
2
即 3 可由 1 ,
经线性运算得到.
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定义（线性组合）
对于向量
, 1 ,
2
1
2
, ,
m
如果有一
组数 1 , 2 , , m , 使
1
1
2
m
m
m
则说向量 是
,
2
, ,
2
§3.1 向量及其相关性
1. 基本概念
定义 n 个有顺序的数 a 1 , a 2 , , a n 所组成的数组
(a 1 , a 2 , , a n )
叫做 n 维向量， 数 a 1 , a 2 , , a n 叫做向量的 分量（或坐标），a j 叫做 的第 j 个分量. 分量为实数的向量称为实向量；分量为复数的向量
1 1 1 1, 2 0
2 5, 3 1 3 6
解 设有 k 1 , k 2 , k 3 , 使 k 1 1 k 2 2 k 3 3 O
k 1 1 1 1 k 2 0 2 5 k 3 1 3 6 O
即
k 1 k 3
即 O ( 0 , 0 , , 0 ).
负向量 设 ( a 1 , a 2 , , a n ),
记 ( a 1 , a 2 , , a n )
6
称 为 的负向量.
2. 向量的运算
行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算. 定义 设 ( a 1 , a 2 , , a n ), ( b 1 , b 2 , , b n ) 都是 n 维向量，规定
• 向量组的线性相关性 • 向量组的秩和最大无关组 • 向量组的秩和矩阵的秩的讨论 • 向量空间的基本概念
1
引言、
解析几何
向量的概念
向
坐
量
线性代数
有次序的实数组成的数组
( n 3)
既有大小又有方向的量
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
标 系
代数形象： 向量的 坐 标 表 示 式
a
T
(a1 , a 2 ,, a n )
a 11 a 21 AX b , 其中 A a m1 b b1 b2 bm a 12 a 22 am2 a1n x1 a2n x2 , X x a mn n
2
1 1 2
m
m
m
O
则说向量组 1 ,
2
, ,
线性相关，否则称它们
线性无关.
问: 如何用定义来验证一组向量线性相关或线性无关?
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关于定义的几点注意： 注⑴ 线性无关的叙述 1 , 2 , ,
若有 k 1 则必有
1
m
2
线性无关
k m

T
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注：齐次线性方程组不同的表示形式：
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n 0 数的形式： a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a x a x a x 0 m2 2 mn n m1 1
于是得
1 1 1 2 ( 1 ) 3 O
16
故 1 , 2 , 3 线性相关.
例 (P68例1) n 维向量组
1 0 0 0 1 0 e1 , e 2 ,, e n 0 0 1

( ) ( )
1
( ) ( ) ( )
( )
O ( ) O
9
附：线性方程组的矩阵表示
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b 1 , a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 , a m 1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n b m .
m
的线性组合，
或说 可由 1 , 2 , ,
线性表示.
于是知, 方程组中有无多余方程等价于在相应的向量 组中是否有某个向量能由其余向量线性表示.
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定义（线性相关）
设有 n 维向量组 1 , 2 , , 不全为零的数
m
, 如果存在一
组
1 , 2 , , m , 使
m
k 2
O
k1 k2 km O
注⑵ 零向量与任一向量线性相关. 注⑶ 两个非零向量 , 线性相关的充要条件 是对应分量成比例，即 k 或
注⑷ 对单个向量 来说 , O 为线性相关，
α O 为线性无关.
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例 (P69例3) 讨论向量组线性相关性.
i1
)
i1
(
km ki
)
m
即 i 能由其余向量线性表示
.
证毕.
思考： 若 1 , 2 , ,
m
线性相关， 是否 1 一定 （不一定）
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能用其余向量线性表出？
定理 2
设 1 , 2 , ,
m
m
线性无关，而
1 , 2 , ,
,
1 , 2 , ,
7
定义 设 ( a 1 , a 2 , , a n ), 是 n 维向量，λ是实数, 规定
( a 1 , a 2 , , a n )
即：数乘向量就是用数乘以向量的每一个分量.
注 向量相加及数乘两种运算统称为向量的线性运算.
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由定义，易证： 向量的线性运算满足如下运算规律
a ( x , y , z ,a 2 , , a n ), ( b 1 , b 2 , , b n ) 都是 n 维向量，则规定:
a i bi ,
i 1,2 , , n
即两个向量相等，就是各个对应的分量都相等. 零向量 分量都为零的向量称为零向量,记作O.
1、线性相关性 引言 设有方程组
x 2y z 0 2 x 3 y z 0 4x y z 0 (1 ) (2) (3)
易知方程间有关系 (3)=2×(1)+(2), 若记:
1 (1
2 1 ),
2
(2
3
1 ),
3
(4
1
称为 n 维单位坐标向量组 。 结论 n 维单位坐标向量组是线性无关的. 证 设有 k 1 e 1 k 2 e 2 k n e n O
k1 k2 k n 0 0 , 0
即

称为复向量.
3
例如 矩阵的一行元素是一个向量； 矩阵的一列元素也是 一个向量.
常称
( a 1 , a 2 , , a n ) 为行向量;
b1 b2 b n
称
为列向量.
如方程组
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n 0 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a x a x a x 0 m2 2 mn n m1 1
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定理 1 向量组 1 , 2 , , m ( m 2 ) 线性相关 的充要条件是其中至少有一个向量可由其余 m-1个 向量线性表示. 证
( 充分性 ) 设 1 , 2 , , m 中有一个向量
(比如
m
)能由其余向量线性表示
, 即有
m 1 1 2 2 m 1 m 1
1 1 2
2
m 1
m 1
( 1 )
m
O
显然 , 1 , 2 , , m 1 , ( 1 ) 不全为零 , 于是
1 , 2 , ,
m
线性相关 .
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（必要性） 因 1 , 2 , , m 线性相关 , 即有一组
( a 1 b 1 , a 2 b 2 , , a n b n ),
称 为向量 与 的和
定义
( )
( a 1 b 1 , a 2 b 2 , , a n b n ),
即：两个向量相加减就是将它们的对应分量相加减.
k1 2k 2 3k 3
k1 5k 2 6k 3 O
k1 1 k2 1 k 1 3
故
k3 0 k1 k k3 k1 2k 2 3k 3 0 1 可取 k 5k 6k 0 k2 k3 2 3 1
2832线性相关性的判定定理本节将讨论从不同的角度如向量组中向量的个数维数以及分量的顺序提出向量组线性相关的判定条件利用矩阵来判别向量组的线性相关性29因为线性相关故有不全为零30定理的第一二个分量对调而得则向量组a与向量组b的线性相关性相同
第三章 向量组的线性相关性与秩
本章将介绍： • 向量的基本概念和运算
证明 因 1 , ,
m
线性相关，则 能由 线性表示，且表示式是唯一的.
, 故有 k 1 , , k m ,
m
, 线性相关
k m 1 不全为 0 , 使
k 1 1 k m
m
向量形式：
x 1 1 x 2 2 x n
n
矩阵形式：
0
AX= 0 其中
其中： i
a 1i a 2i a mi

X
x1 x2 xn
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3.1.2 向量组的线性相关性
k1 k 2 k n 0
故 e 1 , e 2 , , e n 线性无关.
易知：任一n维向量可由n维单位坐标向量组线性表示.
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例3 已知向量组 1 , 2 , 3 线性无关, b1 1 2 , b2 2 3 , b3 3 1 , 试证b1 , b2 , b3 线性无关.
证
设有 x 1 , x 2 , x 3 使 x 1 b1 x 2 b 2 x 3 b 3 0
即
亦即
x（ 1 2） x 2 ( 1
2
3 ) x 3 (
3
1 ) 0,
（ x 1 x 3 )
1
( x 1 x 2 )
2
( x 2 x 3 )