2021年高考数学高考数学压轴题 立体几何多选题分类精编及解析

2021年高考数学高考数学压轴题 立体几何多选题分类精编及解析
一、立体几何多选题
1．已知正方体1111 ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1DD 的中点，N 为正方形ABCD 所在
平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）
A ．若2MN =，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为π
B ．若N 到直线1BB 与直线D
C 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线
C ．若1
D N 与AB 所成的角为3
π
，则N 的轨迹为双曲线 D ．若MN 与平面ABCD 所成的角为3
π
，则N 的轨迹为椭圆
【答案】BC 【分析】
对于A ，连接MN ，ND ，DP ，得到直角MDN △，且P 为斜边MN 的中点，所以1PD =，进而得到P 点的轨迹为球面的一部分，即可判断选项A 错误；对于B ，可知1NB BB ⊥，即NB 是点N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 中，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等，利用抛物线定义知B 正确；对于C ，建立空间直角坐标系，设(,,0)N x y ，利用空间向量求夹角知122121
cos
3
2
24
D N AB y x y D N AB
π
⋅=
=
=
⨯++⋅，化简可知N 的轨迹为双曲线；对于D ，MN 与平面ABCD 所成的角为3
MND π
∠=
，3
ND =
，可知N 的轨迹是以D 为圆心，3
3
为半径的圆周； 【详解】
对于A ，如图所示，设P 为MN 的中点，连接MN ，ND ，DP ，由正方体性质知MDN △为直角三角形，且P 为MN 的中点，2MN =，根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，知MDN △不管怎么变化，始终有1PD =，即P 点的轨迹与正方体的面围城的几何体是一个以D 为球心，1为半径的球的
18，其面积2
14182
S ππ=⨯⨯=，故A 错误；
对于B ，由正方体性质知，1BB ⊥平面ABCD 由线面垂直的性质定理知1NB BB ⊥，即NB 是点N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 中，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等，所以点N 的轨迹是以点B 为焦点，直线DC 为准线的抛物线，故B 正确； 对于C ，如图以D 为直角坐标系原点，建立空间直角坐标系，(,,0)N x y ，1(0,0,2)D ，
(0,2,0)A ，(2,2,0)B ，则1(,,2)D N x y =-，(0,2,0)AB =，利用空间向量求夹角知
122121
cos
3
2
24
D N AB y x y D N AB
π
⋅=
=
=
⨯++⋅，化简整理得：22
34y x -=，即22
1
44
3
y x -=，所以N 的轨迹为双曲线，故C 正确；
对于D ，由正方体性质知，MN 与平面ABCD 所成的角为MND ∠，即3
MND π
∠=，在直
角MDN △中，3ND =，即N 的轨迹是以D 3D 错误； 故选：BC 【点睛】
关键点睛：本题考查立体几何与解析几何的综合，解题的关键是抓住解析几何几种特殊曲线的定义，考查学生的逻辑推理能力，转化与划归能力与运算求解能力，属于难题.
2．在正三棱柱111ABC A B C -中，2AC =，11CC =，点D 为BC 中点，则以下结论正
确的是（ ） A ．1111
22
A D A
B A
C AA =
+- B ．三棱锥11D AB C -的体积为
3
C ．1AB BC ⊥且1//AB 平面11AC D
D ．ABC 内到直线AC 、1BB 的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分 【答案】ABD 【分析】
A ．根据空间向量的加减运算进行计算并判断；
B ．根据1111D AB
C A DB C V V --=，然后计算出对应三棱锥的高A
D 和底面积11
DB C S
，由此求解出三棱锥的体积；C ．先假设1AB BC ⊥，
然后推出矛盾；取AB 中点E ，根据四点共面判断1AB //平面11AC D 是否成立；D ．将问题转化为“ABC 内到直线AC 和点B 的距离相等的点”的轨迹，然后利用抛物线的定义进行判断. 【详解】
A ．()
11111111
222
A D A A AD AD AA A
B A
C AA AB AC AA =+=-=
+-=+-，故正确； B ．1111D AB C A DB C V V --=，因为D 为BC 中点且AB AC =，所以AD BC ⊥， 又因为1BB ⊥平面ABC ，所以1BB AD ⊥且1BB BC B =，所以AD ⊥平面11DB C ，
又因为36322AD BD BC ==
=
，11
11112
22
DB C S BB B C =
⨯⨯=
， 所以1111
11
1
1623
3
3D AB C A DB C DB C V V AD S --==⨯⨯=⋅⋅=
，故正确；
C ．假设1AB BC ⊥成立，又因为1BB ⊥平面ABC ，所以1BB BC ⊥且111BB AB B =，
所以BC ⊥平面1ABB ，所以BC AB ⊥，显然与几何体为正三棱柱矛盾，所以1AB BC ⊥不成立；
取AB 中点E ，连接11,,ED EA AB ，如下图所示：
因为,D E 为,BC AB 中点，所以//DE AC ，且11//AC A C ，所以11//DE AC ，所以
11,,,D E A C 四点共面，
又因为1A E 与1AB 相交，所以1AB //平面11AC D 显然不成立，故错误；
D ．“ABC 内到直线AC 、1BB 的距离相等的点”即为“ABC 内到直线AC 和点B 的距离相等的点”，
根据抛物线的定义可知满足要求的点的轨迹为抛物线的一部分，故正确； 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：求解空间中三棱锥的体积的常用方法：
（1）公式法：直接得到三棱锥的高和底面积，然后用公式进行计算；
（2）等体积法：待求三棱锥的高和底面积不易求出，采用替换顶点位置的方法，使其求解高和底面积更容易，由此求解出三棱锥的体积.
3．已知图1中，A 、B 、C 、D 是正方形EFGH 各边的中点，分别沿着AB 、BC 、
CD 、DA 把ABF 、BCG 、CDH △、DAE △向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD 垂直，再顺次连接EFGH ，得到一个如图2所示的多面体，则（ ）
A ．AEF 是正三角形
B ．平面AEF ⊥平面CGH
C ．直线CG 与平面AEF 2
D ．当2AB =时，多面体ABCD EFGH -的体积为83
【答案】AC 【分析】
取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ，证明出OH ⊥平面ABCD ，然后以点
O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求
出EF ，可判断A 选项的正误，利用空间向量法可判断BC 选项的正误，利用几何体的体积公式可判断D 选项的正误. 【详解】
取CD 、AB 的中点O 、M ，连接OH 、OM ， 在图1中，
A 、
B 、
C 、
D 是正方形EFGH 各边的中点，则
11
22
CH GH EH DH ===，
O 为CD 的中点，OH CD ∴⊥，
平面CDH ⊥平面ABCD ，平面CDH 平面ABCD CD =，OH ⊂平面CDH ，
OH ∴⊥平面ABCD ，
在图1中，设正方形EFGH 的边长为()220a a >，可得四边形ABCD 的边长为2a ， 在图1中，ADE 和ABF 均为等腰直角三角形，可得45BAF DAE ∠=∠=， 90BAD ∴∠=，∴四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，
O 、M 分别为CD 、AB 的中点，则//OC BM 且OC BM =，且90OCB ∠=，
所以，四边形OCBM 为矩形，所以，OM CD ⊥，
以点O 为坐标原点，OM 、OC 、OH 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，
则()2,,0A a a -、()2,,0B a a 、()0,,0C a 、()0,,0D a -、(),,E a a a -、()2,0,F a a 、
(),,G a a a 、()0,0,H a .
对于A 选项，由空间中两点间的距离公式可得2AE AF EF a ===，
所以，AEF 是正三角形，A 选项正确；
对于B 选项，设平面AEF 的法向量为()111,,m x y z =，(),0,AE a a =-，
()0,,AF a a =，
由111100
m AE ax az m AF ay az ⎧⋅=-+=⎪
⎨
⋅=+=⎪⎩，取11z =，则11x =，11y =-，则()1,1,1m =-，
设平面CGH 的法向量为()222,,n x y z =，(),0,CG a a =，()0,,CH a a =-，
由222200n CG ax az n CH ay az ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
，取21z =-，可得21x =，21y =-，则()1,1,1n =--，
()2
2111110m n ⋅=+--⨯=≠，所以，平面AEF 与平面CGH 不垂直，B 选项错误；
对于C 选项，6
cos ,23
CG m CG m a CG m
⋅<>=
=
=⨯⋅， 设直线CG 与平面AEF 所成角为θ，则sin 6θ=，23cos 1sin θθ=-=，
所以，sin tan 2cos θ
θθ
=
=，C 选项正确； 对于D 选项，以ABCD 为底面，以OH 为高将几何体ABCD EFGH -补成长方体
1111ABCD A B C D -，则E 、F 、G 、H 分别为11A D 、11A B 、11B C 、11C D 的中点，
因为2AB =，即1a =，则1OH =，长方体1111ABCD A B C D -的体积为2214V =⨯=，
11211111
113326
A A EF A EF V S AA -=⋅=⨯⨯⨯=△，
因此，多面体ABCD EFGH -的体积为1110
44463
ABCD EFGH A A EF V V V --=-=-⨯=， D 选项错误.
故选：AC. 【点睛】
方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h
l
θ=
（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.
4．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，090B F ∠=∠=，0
60,45,A D BC DE ∠=∠==，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是（ ）
A ．BC FM ⊥
B ．A
C 与平面MOF 3C ．平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°
D ．设平面ABF 平面MOF l =，则有//l AB
【答案】AD 【分析】
证明BC ⊥面FOM 可判断A ；根据AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=判断B ；利用特殊位置判断C ；先证明//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可判断D ； 【详解】
由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OM OF O ⊥⊥=，
所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥，故A 正确；
因为BC ⊥面FOM ，所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=，所以余弦值为
1
2
，故B 错误；
对于C 选项可以考虑特殊位置法，由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ，所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上，不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ，过点M 作
//BC MN ，连结NF .易证AB ⊥面MNF ，则l ⊥面MNF ，所以MFN ∠为平面MOF
与平面AFB 所成的二面角的平面角，不妨设2AB =，因为060A
，所以
23BC =，则1
3,12
OF BC OM =
==，显然MFN ∠不等于45°，故C 错误. 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ，又因为//,AB OM AB ⊄面MOF ，OM ⊂面
MOF ，所以//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可得：//l AB ，故D 正确； 故选：AD.
【点睛】
方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.
5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且
1EF =，以下结论正确的有（ ）
A ．AC BE ⊥
B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值
C ．点A 到平面BEF 的距离为定值
D ．三棱锥A BEF -的体积是定值 【答案】ACD 【详解】
由AC BD ⊥，1AC DD ⊥可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确； 取特例，当E 与1D 重合时，F 是F '，AE 即1AD ，1AD 平行1BC ，异面直线,AE BF '所成的角是1C BF '∠，当F 与1B 重合时，E 是E '，BF 即1BB ，异面直线,AE BF '所成的角是1A AE '∠，可知1C BF '∠与1A AE '∠不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不是定值，故B 错误；
连结BD 交AC 于O ，又AC ⊥平面11D DBB ，点A 到平面11BDD B 的距离是2AO ，也即点A 到平面BEF 的距离是
2
2
，故C 正确； 2
AO 为三棱锥A BEF -的高，又1111224BEF
S =⨯⨯=△，故三棱锥A BEF -的体积为1122
34224
⨯
⨯=
为定值，D 正确. 故选：ACD 【点睛】
求空间中点到平面的距离常见方法为： （1）定义法：直接作平面的垂线，求垂线；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离； （3）向量法：计算斜线在平面的法向量上的投影即可.
6．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）
A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11
B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线B
C 所成角可能为30︒
C ．平面1A BE 与平面11CD
D C 所成锐二面角的正切值为2
D ．设正方体棱长为1，则过点
E ，
F ，A 5 【答案】AC 【分析】
取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，易证得平面1//B MN 平面1A BE ，可得点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，根据等腰三角形的性质得1B F MN ⊥，即有11B F CD ⊥，A 正确；当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，可判断B 错误；根据平面1//B MN 平面1A BE ，11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，计算可知C 正确；
【详解】
取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得11//B N A E ，
1//MN A B ，从而平面1//B MN 平面1A BE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ．
取MN 的中点F ，因为1B MN △是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 正确；
设正方体的棱长为a ，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时11tan C B F ∠=
1tan 3023
︒<=，所以B 错误； 平面1//B MN 平面1A BE ，取F 为MN 的中点，则1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，∴11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，11
111tan B C B FC C F
∠==22C 正确；
因为当F 为1C E 与MN 的交点时，截面为菱形1AGC E （G 为1BB 的交点），面积为
6
2
D 错误.
故选：AC.
【点睛】
本题主要考查线面角，二面角，截面面积的求解，空间几何中的轨迹问题，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，综合性较强，属于较难题．
7．（多选题）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（ ）
A ．113P AA D V -=
B ．点P 必在线段1B
C 上
C ．1AP BC ⊥
D ．AP ∥平面11AC D 【答案】BD
【分析】
对于A ，1111111113326
P AA D AA D V S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯=， 对于B,C,D ，如图以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用空间向量判即可.
【详解】
对于A ，因为点P 在平面11BCC B ，平面11BCC B ∥平面1AA D ，
所以点P 到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长， 所以1111111113326
P AA D AA D V S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，A 错误； 对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：
则11(1,0,0),(,1,),(1,1,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)A P x z B D B C
所以11(1,1,),(1,1,1),(1
,0,1)AP x z BD BC =-=--=--, 因为1AP BD ⊥，
所以1110AP BD x z ⋅=--+=，所以x z =，即(,1,)P x x ，
所以(,0,)CP x x =,
所以1
CP xBC =-，即1,,B C P 三点共线， 所以点P 必在线段1B C 上，B 正确；
对于C ，因为1(1,1,),(1,0,1)AP x x BC =-=-，
所以111AP BC x x ⋅=-+=，
所以1AP BC ⊥不成立，C 错误；
对于D ，因为11(1,0,1),(0,1,1),(0,0,0)A C D ,
所以11(1
,0,1),(0,1,1)DA DC ==, 设平面11AC D 的法向量为(,,)n x y z =，则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩
， 令1x =，则1,1z y =-=，所以(1,1,1)n =-，
所以110AP n x x ⋅=-+-=，所以AP n ⊥，
所以AP ∥平面11AC D ，D 正确，
故选：BD
【点睛】
此题考查了空间线线垂直的判定，线面平行的判定，三棱锥的体积，考查空间想象能力，考查计算能力，属于较难题.
8．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）
A ．若1233
AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++
C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =
D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC
【分析】
作出四面体P ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】
对于A ，1233
AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+，22AD AB AC AD ∴-=- ， 2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；
对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，
33PQ QA QB QC PQ ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=,3PA PB PC PQ ∴++=
即111333
PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确； 对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，
()0PA BC PC AC CB ∴++=,0PA BC PC AC PC CB ∴++=
0PA BC PC AC PC BC ∴+-=,()0PA PC BC PC AC ∴-+=
0CA BC PC AC ∴+=,0AC CB PC AC ∴+=
()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；
对于D ，111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122
MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+
22211122222222222222222
=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 2MN ∴=，故D 错误.
故选：ABC
【点睛】
用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
9．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形ABCD ，11BCC B 的中心.则下列结论正确的是（ ）
A ．平面1D MN 与11
B
C 的交点是11B C 的中点
B ．平面1D MN 与B
C 的交点是BC 的三点分点
C ．平面1
D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点
D ．平面1D MN 将正方体分成两部分的体积比为1∶1
【答案】BC
【分析】
取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ，连FM 并延长分别交,BC AD 于,P Q ，连1,D Q PN 并延长交11B C 与H ，平面四边形1D HPQ 为所求的截面，进而求出,,P Q H 在各边的位置，利用割补法求出多面体11QPHD C CD 的体积，即可求出结论.
【详解】
如图，取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ，
连接FM 并延长，设FM BC P ⋂=，FM AD Q ⋂=，
连接PN 并延长交11B C 于点H .连接1D Q ，1D H ，
则平面四边形1D HPQ 就是平面1D MN 与正方体的截面，如图所示.
111111////,22
NE CC DD NE CC DD ==， NE ∴为1DD F ∆的中位线，E ∴为DF 中点，连BF ，
,,90DCE FBE BF DC AB FBE DCE ∴∆≅∆==∠=∠=︒，
,,A B F ∴三点共线，取AB 中点S ，连MS ， 则12//,,23
BP FB MS BP MS BC MS FS =∴==， 22111,33236
BP MS BC BC PE BC ∴==⨯=∴=， E 为DF 中点，11//,233
PE DQ DQ PE BC AD ∴=== N 分别是正方形11BCC B 的中心，11113C H BP C B ∴==
所以点P 是线段BC 靠近点B 的三等分点，
点Q 是线段AD 靠近点D 的三等分点，
点H 是线段11B C 靠近点1C 的三等分点.
做出线段BC 的另一个三等分点P '，
做出线段11A D 靠近1D 的三等分点G ，
连接QP '，HP '，QG ，GH ，1H QPP Q GHD V V '--=， 所以111113
QPHD C CD QPHQ DCC D V V V -==多面体长方体正方体
从而平面1D MN 将正方体分成两部分体积比为2∶1.
故选:BC.
【点睛】
本题考查直线与平面的交点及多面体的体积，确定出平面与正方体的交线是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.
10．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）．
A ．棱的高与底边长的比为22
B ．侧棱与底面所成的角为4π
C ．棱锥的高与底面边长的比为2
D ．侧棱与底面所成的角为3
π 【答案】AB
【分析】 设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h =
=得254h a =，然后可得侧面积为2
42108a a
+，运用导数可求出当32a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案.
【详解】
设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a
可得21183V a h ==，即254h a
=
所以其侧面积为1422⋅⋅==令()24
2108f a a a =+，则()2
3321084f a a a ⨯'=-
令()2
3
3210840f a a a ⨯'=-=得a =
当(
a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减
当()
a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增
所以当a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小
此时3h =
所以棱锥的高与底面边长的比为2
，故A 正确，C 错误
侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，a =可得3AO = 所以4SAO π∠=
，故B 正确，D 错误 故选：AB
【点睛】
本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.。