8.3 空间点、线、面的位置关系(讲)-2018年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)含解析

2018年高考数学讲练测【浙江版】【讲】第八章立体几何第03节空间点、线、面的位置关系
【考纲解读】
【知识清单】
1.平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）．
（2）公理2：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面（即可以确定一个平面)．
（3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线,有且只有一个平面．
对点练习：
下列命题:
①三个点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条相交直线确定一个平面；④两条平行线确定一个平面；⑤若四点不共面,则必有三点不共线．
其中正确命题是________．
【答案】③④⑤
2. 空间两直线的位置关系
直线与直线的位置关系的分类错误!
直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补． 对点练习:
【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l 。

若直线m ,n 满足,m n αβ∥⊥， 则（ ）
A ．m ∥l
B ．m ∥n
C ．n ⊥l
D ．m ⊥n 【答案】C
【解析】由题意知,l l α
ββ=∴⊂，,n n l β⊥∴⊥．故选
C ．
3。

异面直线所成的角 异面直线所成的角
①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角）．
②范围:]2
,0(π。

异面直线的判定方法：
判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；
反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面． 对点练习：
【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111
C C AB -A B 中,C 120∠AB =，2AB =，1
C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所
成角的余弦值为( ) A ．32
B ．155
C ．
105
D ．
33
【答案】C
4。

直线与平面所成角
1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ,两向量e 与n 的夹角为θ,则有sin φ＝｜cos
θ｜＝错误!.
对点练习：
【2017浙江，19】（本题满分15分）如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AD
BC//，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD 的中点．
（Ⅰ）证明：//
CE平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ)
2．
8
【解析】
试题解析：
M
F
H Q
N
P
A
B
C
D
E
MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．
设CD=1．
在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=2得CE=2，
1,
在△PBN中，由PN=BN=1，PB=3得QH=
4
1,MQ=2，
在Rt△MQH中，QH=
4
所以sin∠QMH=
2, 所以直线CE与平面PBC所成角
8
的正弦值是
2．
8
5。

二面角
1．求二面角的大小
(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．
（2)如图2、3，
,n n分别是二面角α－l－β的两个半平
12
面α，β的法向量,则二面角的大小12,n n
π-<>）．
θ=<>（或12,n n
对点练习：
【2017浙江，9】如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q,R分别为AB，BC,CA上的点，AP=PB，2
BQ CR
==，分别记二面角D–PR–Q，
QC RA
D–PQ–R,D–QR–P的平面角为α，β,γ，则
A．γ〈α<βB．α<γ<βC．α<β<γ
D．β<γ<α
【答案】B
【解析】
【考点深度剖析】
平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型多为选择题或填空题，少有在大题中间接考查．平面的基本性质是立体几何的基础，而两条异面直线所成的角、线面角、二面角和距离是高考热点，在浙江卷中频频出现．
【重点难点突破】
考点一平面的基本性质
【1—1】下列叙述中错误的是（）．
A. 若P∈α∩β且，则P∈l
B。

三点A,B，C确定一个平面
C. 若直线a∩b=A，则直线a与b能够确定一个平面
D。

若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α
【答案】B
【1—2】【江西卷】如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
【答案】4
【解析】取CD的中点为G，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内．所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交
的平面个数为4.
【1—3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC，BD交于点M，求证：点C1，O,M共线．
【答案】见解析。

【解析】如图所示，∵A1A∥C1C，
∴A1A,C1C确定平面A1C.
∵A1C⊂平面A1C,O∈A1C，
∴O∈平面A1C，而O＝平面BDC1∩线A1C，∴O∈平面BDC1，
∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上．
∵AC∩BD＝M，
∴M∈平面BDC1，且M∈平面A1C，
∴平面BDC1∩平面A1C＝C1M，
∴O∈C1M，即C1,O，M三点共线．
【1-4】如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD,AB>CD,S 是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．
【答案】见解析.
【领悟技法】
公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语
言、符号语言、图形语言来表示公理．
画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．
证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．
要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上,也就是利用公理3,即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上。

【触类旁通】
【变式1】如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a,则直线AB和平面α的位置关系一定是( ）．
A。

平行B。

相交 C. 平行或相交 D. ABα⊂【答案】C
【变式2】如图，空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，G,H分别在BC,CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2。

（Ⅰ）求证：E，F,G，H四点共面;
（Ⅱ）设EG与FH交于点P，求证：P,A,C三点共线．【答案】见解析。

【解析】(Ⅰ）∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF∥BD.在△BCD中，错误!＝错误!＝错误!，
∴GH∥BD，∴EF∥GH。

∴E，F，G,H四点共面．
（Ⅱ)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，
∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.
∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
∴P∈AC,∴P，A,C三点共线．
【变式3】如图,在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上,H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF，GH，BD交于一点．
【答案】见解析。

设GH和EF交于一点O.
因为O在平面ABD内，又在平面BCD内，
所以O在这两个平面的交线上．
因为这两个平面的交线是BD,且交线只有这一条，
所以点O在直线BD上．
这就证明了GH和EF的交点也在BD上,
所以EF,GH，BD交于一点．
综合点评：（1）要证明“线共面”或“点共面"可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”)。

(2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线，然后证明其他点都在这条直线上。

考点二空间两直线的位置关系
【2-1】【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】设m,n是两条不同的直线，α时一个平面，则下列说法正确的是（）
A。

若m//α,n//α,则m//n B. 若m//α,n//α,则m⊥n
C。

若m⊥α,n⊥α,则m//n D. 若m⊥α,n⊥α,则m⊥n
【答案】C
【2-2】【2017届浙江省ZDB联盟高三一模】已知平面α和共面的两条不同的直线,m n，下列命题是真命题的是（）
A。

若,m n与α所成的角相等，则//m n
B。

若//mα，//nα,则//m n
C. 若mα⊥，m n⊥,则//nα
D. 若mα⊂，//nα，则//m n
【答案】D
【解析】本题考查空间直线与直线的位置关系
如图甲示，直线,m n与平面M均成α角，但m与n不平行,故A错；
如图乙示， //αβ平面平面，直线,m n β⊂，且//,//m n αα，但m 与n 不平行，故B 错； 如图丙示, ,m m n α⊥⊥，且m n P ⋂=但n α⊂，故C 错;
如图丁示， ,//m n αα⊂，由//n α知n αφ⋂=；又m α⊂，则m n φ⋂=;又,m n 共面，则//m n
故正确答案为D 。

【2-3】如图是正四面体的平面展开图，G ，H ,M ，N 分别为DE ，BE ,EF ，EC 的中点，在这个正四面体中, ①GH 与EF 平行；
②BD 与MN 为异面直线；
③GH 与MN 成60°角；
④DE 与MN 垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
【答案】 ②③④
【2—4】如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111
A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（）
A ．1CC 与1
B E 是异面直线 B ．A
C ⊥平面11ABB A
C ．1
1
AE B C ⊥ D ．1
1
//A C 平面1
AB E
【答案】C
【领悟技法】
空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线，可利用三角形(梯形）中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决。

【触类旁通】
【变式1】【2017届浙江省丽水市高三下学期测试】设,m n 是两条不同的直线， ,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A 。

若//m α， n β
⊥,且αβ⊥,则//m n B. 若//αβ， m α⊂, n β⊂，则//m n
C 。

若m α⊥，
n β
⊥，
m n ⊥，则αβ⊥
D. 若m n ⊥， m α⊂， n β⊂，则αβ⊥
【答案】C
【解析】A，若m∥α，n⊥β，且α⊥β,则m、n平行、相交、或异面，不正确；
B，α∥β,m⊂α，n⊂β，m，n共面时,m∥n,不正确；C，m⊥α，n⊥β,m⊥n,利用平面与平面垂直的判定定理,可得α⊥β，正确；
D，m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α、β平行或相交,不正确。

本题选择C选项.
【变式2】如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；
④DM与BN是异面直线．
以上四个结论中，正确的序号是（）．
A. ③④ B。

②④ C。

①②③ D。

②③④【答案】A
【变式3】【广东卷】若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ） A.l 与l 1，l 2都不相交 B.l 与l 1
，l 2
都相交
C.l 至多与l 1，l 2中的一条相交 D 。

l 至少与l 1，l 2中的一条相交
【答案】D
【变式4】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论的序号都填上)．
【答案】③④
【解析】A,M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B,因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线,AM与DD1也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面,且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，因此直线BN与MB1是异面直线,③正确．
综合点评：判定空间两条直线是异面直线的方法：（1）判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线。

(2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面。

考点3 异面直线所成的角
【3-1】【2017届“超级全能生”浙江省高三3月联考】矩形ABCD中,AB=√3，BC=1，将△ABC与△ADC沿AC 所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为（）
A。

[0,π
]B。

[0,π3]
6
C。

[0,π
]D。

[0,2π3]
2
【答案】C
【3-2】【大纲全国卷】已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A.错误!
B.错误!C。

错误!D.错误!
【答案】B
【解析】如图所示，取AD的中点F,连EF，CF,则EF∥BD,∴异面直线CE与BD所成的角即为CE与EF 所成的角∠CEF。

由题知，△ABC，△ADC为正三角形，设AB＝2，则CE＝CF＝3,EF＝错误!BD＝1.
∴在△CEF中,由余弦定理,得cos∠CEF
＝错误!＝错误!＝错误!，故选B。

【3—3】异面直线,a b 所成的角3
π，直线a c ⊥，则异面直
线直线b 与c 所成的角的范围为（ ） A 。

,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B.
,62ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C 。

2,33ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D 。

5,66ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】B
【解析】作b 的平行线b′，交a 于O 点，
【领悟技法】
求异面直线所成的角常采用“平移线段法"，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点）作平行线平移;补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形;
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是]2
,0(
,当所作
的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 【触类旁通】
【变式1】【2016高考新课标1卷】平面α过正方体
ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，α平面ABCD =m ,α平面AB B 1A 1=n ，则m 、n 所成角的正弦
值为 (A)
3
2
(B ）
22
（C ）
33 (D)13
【答案】A
【变式2】【2017届浙江温州中学高三11月模拟】如图四边形ABCD ，2AB BD DA ===，2BC CD ==
.现将ABD ∆沿BD
折起，当二面角A BD C --处于5[,]
66ππ过程中，直线AB 与CD
所成角的余弦值取值范围是（ )
A ．
522
[,]88-
B ．
252
[
,]88
C ．
2
[0,
]8
D ．
52
[0,
]8
【答案】D. 【解析】
试题分析：如图所示，取BD 中点E ，连结AE ，CE ，∴AEC ∠即为二面角A BD C --的平面角, 而2
222cos 423cos AC
AE CE AE CE AEC AEC =+-⋅⋅∠=-∠，5[,]66
AEC ππ
∠∈ ∴[1,
7]AC ∈,∴22cos ,()AB CD AB CD AB BD BC ⋅=<>=⋅-
222251
21[,]2222
AB BC AC AC AB BC AB BC +-=-++⋅⋅=-∈-⋅，设异面直线AB ,CD
所成的角为θ，
∴15520cos 2822θ≤≤⋅=，故选D 。

【变式3】【2017课标3，理16】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°;
④直线AB 与a 所成角的最小值为60°.
其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号)
【答案】②③
【解析】
【变式4】如图，在四棱锥P.ABCD中，底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝22，PA＝2.求:
（Ⅰ）三角形PCD的面积；
（Ⅱ）异面直线BC与AE所成的角的大小．
【答案】（1)2错误!；(2）错误!.
【解析】（Ⅰ)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.又AD⊥CD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.
因为PD＝错误!＝2错误!，CD＝2，
所以三角形PCD的面积为错误!×2×2错误!＝2错误!.
综合点评：求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移。

考点4 直线与平面所成角
【4-1】【2017届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考】已知矩形ABCD ， 2AD AB =，沿直线BD 将ABD 折成A BD '，使点A '在平面BCD 上的射影在BCD 内（不含边界)．设二面角A BD C '--的大小为θ,直线A D ',
A C '与平面BCD 所成的角分别为,αβ则（ ）
A 。

αθβ<<
B 。

βθα<< C. βαθ<< D 。

αβθ<< 【答案】D
【解析】如图,作'A E BD ⊥于E ， O 是'A 在平面BCD 内的射影，连接,,OE OD OC ,易知',','A EO A DO A CO θαβ∠=∠=∠=,在矩形ABCD 中，作AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F ,由O 点必落在EF 上，由2AD AB =知AE CF CO OD <<<，从而tan tan tan θβα>>，即
θβα
>>,故选D．
【4—2】【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成角为15，顶点B在平面α上的射影为点O,当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值为__________.
【答案】66
设正四面体的边长为1,则2333
CN CP ==， ∵∠BCO=15°，∠BCP=30°,∴∠OCN=45°， ∴N 到平面α的距离326326d =⨯=。

过D 作DM⊥平面α,垂足为M ，则6
6DM d ==，
∴直线CD 与平面α所成角的正弦值为66
DM CD =. 【4—3】【2016年浙江卷】如图,在三棱台ABC –DEF 中,平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3。

（Ⅰ)求证：BF ⊥平面ACFD ；
(Ⅱ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值。

【答案】（1)证明详见解析；（2)21
7.
试题解析：（Ⅰ）延长,,AD BE CF 相交于一点K ，如图所示。

因为平面BCFE ⊥平面ABC ,且AC BC ⊥，所以
AC ⊥平面BCK ，因此，BF AC ⊥.
又因为//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =,所以
BCK △为等边三角形,且F 为CK 的中点，则BF CK ⊥ 所以BF ⊥平面ACFD .
（Ⅱ）因为BF ⊥平面ACK ，所以BDF ∠是直线BD 与平面ACFD 所成的角。

在Rt BFD △中，
33,2BF DF ==，得21cos 7BDF ∠=. 所以，直线BD 与平面ACFD 所成的角的余弦值为21
7.
【领悟技法】
1。

利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做-——-二证---—三计算”。

2.利用向量法求线面角的方法
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角）；
（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角），取其余角就是斜线和平面所成的角.
【触类旁通】
【变式一】【2017届浙江省高三上学期高考模拟】如图,已知四棱柱1111ABCD A BC D -的底面是菱形,侧棱1
AA ⊥底面ABCD ，M 是AC 的中点，120BAD ∠=,1
AA AB =。

（1）证明:1//MD 平面11A BC ; （2)求直线1MA 与平面11
A BC 所成的角的正弦值。

【答案】(1）详见解析；（2）2
10535。

【解析】 试题分析:（1)连接11B D 交11
AC 于点E ，连接BE ，BD ，可证明四边形1ED MB 是平行四边形,从而1
//MD BE ，再由线面平行的判定即可求解；（2）作出平面的垂线，即可作出线面角，求出相关线段的长度即可求解。

∴平面11BB D D ⊥平面11BC A ，过点M 作平面11
BB D D 和平面11BC A 交线BE 的垂线，垂足为H ，得MH ⊥平面11BC A ，连接1HA ，
则1MA H ∠是直线1MA 平面11
BC A 所成的角, 设11AA =，∵ABCD 是菱形且120BAD ∠=，则12AM =，32MB =，
在1Rt MAA ∆中，由12AM =,11AA =，得152
MA =， 在Rt EMB ∆中，由32MB =
，1ME =，得217MH =， ∴112
105sin 35
MH MA H MA ∠==。

【变式二】【2017届浙江省温州市高三二模】在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥AD ,PA =1，PC =PD ，底面ABCD 是梯形，AB ∥CD ，
AB ⊥BC ,
AB =BC =1，CD =2。

（1）求证：PA⊥AB;
（2)求直线AD与平面PCD所成角的大小.
【答案】（1)详见解析；（2）30°.
（2）过点A作AT⊥PM于T，
由{CD⊥平面PAMP
AT⊂平面PAM
得CD⊥AT。

又PM∩CD=M及PM，CD⊂平面PCD于是AT⊥平面PCD，所以∠ADT就是直线AD与平面PCD所成角.
由{AT⊥平面PCDP
TD⊂平面PCD
得AT⊥TD，
由{PA⊥AD
PA⊂AB
得PA⊥平面ABCD，得CD⊥AM，
在Rt△PAM中计算得：AT=√2
2
，
在Rt△DAM中计算得AD=√AM2+MD2=√2。

所以sin∠ADT=AT
AD =
√2
2
√2
=1
2
，
所以直线AD与平面PCD所成角的大小是30°.
考点5 二面角
【5-1】【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一条母线.
(I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（II）已知EF=FB=1
2AC=23，AB=BC。

求二面角F BC A
--
的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）7
7试题解析：
（I）证明：设FC的中点为I，连接,GI HI,
在CEF
△,因为G是CE的中点，所以,
//E
GI F
又,
F E//OB所以,
GI//OB
在CFB
△中,因为H是FB的中点，所以//
HI BC,
又HI GI I
GHI平面ABC,
⋂=,所以平面//
因为GH⊂平面GHI,所以//
GH平面ABC。

（II）解法一：
连接'OO,则'OO⊥平面ABC，
又,
AB BC
=且AC是圆O的直径，所以.
⊥
BO AC
以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz
-，由题意得(0,23,0)
垂直于点M, B，(23,0,0)
C-,过点F作FM OB
所以223,
=-=
FM FB BM
可得(0,3,3)
F
故(23,23,0),(0,3,3)
=--=-。

BC BF
设(,,)m x y z =是平面BCF 的一个法向量.
由0,0
m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩ 可得23230,330
x y y z ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩
可得平面BCF 的一个法向量3
(1,1,
),3
m =- 因为平面ABC 的一个法向量(0,0,1),n = 所以7
cos ,7||||
m n m n m n ⋅<>=
=. 所以二面角F BC A --的余弦值为
7
7
.
解法二：
连接'OO ，过点F 作FM OB ⊥于点M ， 则有//'FM OO , 又'OO ⊥平面ABC ，
所以FM ⊥平面ABC ， 可得223,FM FB BM =
-=
过点M 作MN BC 垂直于点N ，连接FN ， 可得FN BC ⊥,
从而FNM ∠为二面角F BC A --的平面角。

又AB BC =,AC 是圆O 的直径， 所以6sin 45,2
MN BM ==
从而422
FN =
，可得7cos .7
FNM ∠=
所以二面角F BC A --的余弦值为
77。

【5—2】【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等五校高三下学期联考】如图①,在矩形
ABCD 中, 2,1AB BC ==, E 是CD 的中点，将三角形ADE 沿AE 翻
折到图②的位置，使得平面AED '⊥平面ABC 。

（Ⅰ）在线段BD '上确定点F ，使得//CF 平面AED ',并证明； (Ⅱ)求AED ∆'与BCD ∆'所在平面构成的锐二面角的正切值.
【答案】（1）点F 是线段BD '中点时， //CF 平面AED ',证
明见解析;（2）10。

试题解析:(Ⅰ）点F是线段BD'中点时, //
CF平面AED'.
证明：记AE，BC的延长线交于点M，因为2
=，所
AB EC
以点C是BM的中点，
所以//
CF MD'.
而MD'在平面AED'内，CF在平面AED'外，
所以//
CF平面AED'.
（Ⅱ）在矩形ABCD中，2,1
==, BE AE
AB CD
⊥，
因为平面AED'⊥平面ABC，且交线是AE，
所以BE⊥平面AED'.
在平面AED'内作EN⊥MD'，连接BN，
则BN ⊥ MD '.
所以BNE ∠就是D AE ∆'与BCD ∆'所在平面构成的锐 二面角的平面角. 因为5
EN =
2BE =， 所以2
tan 1015
BE BNE EN
∠==
= 【领悟技法】
1.利用几何法：原则上先利用图形“找平面角”或者遵循“一做——-—二证——--三计算”.
2.（1）求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
（2）用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况．
【触类旁通】
【变式一】【2017届浙江省嘉兴市第一中学高三适应性考试】如图，在三棱锥S ABC -中， SA ⊥底面ABC ,
2AC AB SA ===， AC AB ⊥， D ， E 分别是AC ， BC 的中点，
F
在SE 上,且2SF FE =．
（1）求证:
AF ⊥平面SBC ；
（2）在线段上DE 上是否存在点G ，使二面角
G AF E --的大小为30︒?若存在，求出DG 的长；若不存在，
请说明理由．
【答案】（1）见解析； （2）见解析.
试题解析:
（1）由2AC AB SA ===，
AC AB ⊥，
E 是BC 的中点，得2AE =．
因为SA ⊥底面ABC ，所以SA AE ⊥．
在Rt
SAE 中， 6SE =,所以16
33
EF SE ==
．
因此2
AE EF SE =⋅,又因为AEF AES ∠=∠,
所以
EFA EAS ∽，
则90AFE SAE ︒
∠=∠=，即AF SE ⊥． 因为SA ⊥底面ABC ,所以
SA BC ⊥，又BC AE ⊥,
所以BC⊥底面SAE，则BC AF
⊥．
又SE BC E
⋂=，所以AF⊥平面SBC．
（2）方法一：假设满足条件的点G存在,并设DG t=．
过点G作GM AE
⊥交AE于点M,
又由SA GM
⊥，AE SA A
⋂=，得GM⊥平
面SAE．
作MN AF
⊥交AF于点N，连结NG，则AF NG
⊥．
于是GNM
∠为二面角G AF E
--的平面角，
即30
GNM︒
∠=，由此可得
由MN EF ，得
在Rt GMN中，tan30
MG MN︒
=，
于是满足条件的点G存在，且
（2)方法二：假设满足条件的点G存在，并设DG t=．以A 为坐标原点，分别以AC, AB，AS为x，y，z轴建立空间直线坐标系。