备战中考数学备考之锐角三角函数压轴突破训练∶培优篇附详细答案(1)

备战中考数学备考之锐角三角函数压轴突破训练∶培优篇附详细答案(1)
一、锐角三角函数
1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40o ，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60o ，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ︒≈︒≈︒≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈）
【答案】AB 的长约为0.6m ．
【解析】
【分析】
作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可．
【详解】
解：作BF CE ⊥于F ，
在Rt BFC ∆中， 3.20BF BC sin BCF ⋅∠≈＝，
3.85CF BC cos BCF ⋅∠≈＝，
在Rt ADE ∆E 中，3 1.73tan 3
AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝
由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈，
答：AB 的长约为0.6m ．
【点睛】
考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为»AC 上的动点，且
10cos B =
. (1)求AB 的长度；
(2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD•AE 的值是否变化？若不变，请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由.
(3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+.
【答案】(1) 10AB (2) 10AD AE ⋅=；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长；
（2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ，连接BG ，求得AF=3，FG=13
，继而即可求得AD•AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，
∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=
12
BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10cos 10
BF B == （2）连接DG ，
∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，
又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ，
∴AD ：AF=AG ：AE ，
∴AD•AE=AF•AG ，
连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ，
∵22AB BF -=3，
∴FG=1
3
，
∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3×10
3
=10；
（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，
∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，
∴∠ADC=∠ADN，
∵AD=AD，CD=ND，
∴△ADC≌△ADN，
∴AC=AN，
∵AB=AC，∴AB=AN，
∵AH⊥BN，
∴BH=HN=HD+CD.
【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.
3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC2＝2CD•OE；
（3）若
314
cos,
53
BAD BE
∠==，求OE的长．
【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =35
6
．
【解析】
试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；
（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；
（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．
试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：
连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴CE=DE=BE=BC，
∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，
∴∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴，即BC2=AC•CD．
∴BC2=2CD•OE；
（3）解：∵cos∠BAD=，
∴sin∠BAC=，
又∵BE=，E是BC的中点，即BC=，
∴AC=．
又∵AC=2OE，
∴OE=AC=．
考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数
4．某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：3≈1.7，2≈1.4）．
【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速
【解析】
分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.
详解：如图，由题意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，
∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°，
∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH=
tan PH PAH
33，
∵AC∥BD，∴∠ABD=180°–∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°，则PH=BH=50，∴3，
∵60千米/时=50
3
米/秒，∴
时间t=
50350
50
3
=3+33≈8.1（秒），
即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．
点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。

5．如图，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象与x轴分别相交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴的交点为C，动点T在射线AB上运动，在抛物线的对称轴l上有一定点D，其纵坐标为23，l与x轴的交点为E，经过A、T、D三点作⊙M．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在点T的运动过程中，
①∠DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由；
②若MT＝1
2
AD，求点M的坐标；
（3）当动点T在射线EB上运动时，过点M作MH⊥x轴于点H，设HT＝a，当OH≤x≤OT 时，求y的最大值与最小值（用含a的式子表示）．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3（2）①在点T的运动过程中，∠DMT的度数是定值②（0，3）（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）把点B的坐标代入抛物线解析式求得系数b的值即可；
（2）①如图1，连接AD．构造Rt△AED，由锐角三角函数的定义知，tan∠DAE＝3．即∠DAE＝60°，由圆周角定理推知∠DMT＝2∠DAE＝120°；
②如图2，由已知条件MT＝1
2
AD，MT＝MD，推知MD＝
1
2
AD，根据△ADT的外接圆圆
心M在AD的中垂线上，得到：点M是线段AD的中点时，此时AD为⊙M的直径时，MD
＝1
2
AD．根据点A、D的坐标求得点M的坐标即可；
（3）如图3，作MH⊥x于点H，则AH＝HT＝1
2
AT．易得H（a﹣1，0），T（2a﹣1，
0）．由限制性条件OH≤x≤OT、动点T在射线EB上运动可以得到：0≤a﹣1≤x≤2a﹣1．
需要分类讨论：（i）当
211
1(1)211
a
a a
-
⎧
⎨
----
⎩
…
…
，即
4
1
3
a<
…，根据抛物线的增减性求得y
的极值．
（ii）当
011
211
1(1)211
a
a
a a
<-
⎧
⎪
->
⎨
⎪--<--
⎩
…
，即
4
3
＜a≤2时，根据抛物线的增减性求得y的极值．
（iii）当a﹣1＞1，即a＞2时，根据抛物线的增减性求得y的极值．【详解】
解：（1）把点B（3，0）代入y＝x2+bx﹣3，得32+3b﹣3＝0，
解得b＝﹣2，
则该二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①∠DMT的度数是定值．理由如下：
如图1，连接AD．
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4．
∴抛物线的对称轴是直线x＝1．
又∵点D的纵坐标为
∴D（1，
由y＝x2﹣2x﹣3得到：y＝（x﹣3）（x+1），
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
在Rt△AED中，tan∠DAE
＝DE
AE
==．
∴∠DAE＝60°．
∴∠DMT＝2∠DAE＝120°．
∴在点T的运动过程中，∠DMT的度数是定值；
②如图2，∵MT＝1
2
AD．又MT＝MD，
∴MD＝1
2
AD．
∵△ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上，
∴点M是线段AD的中点时，此时AD为⊙M的直径时，MD＝1
2
AD．∵A（﹣1，0），D（1，
∴点M的坐标是（0
（3）如图3，作MH⊥x于点H，则AH＝HT＝1 2
AT．
又HT＝a，
∴H（a﹣1，0），T（2a﹣1，0）．
∵OH≤x≤OT，又动点T在射线EB上运动，
∴0≤a﹣1≤x≤2a﹣1．
∴0≤a﹣1≤2a﹣1．
∴a≥1，
∴2a﹣1≥1．
（i）当
211
1(1)211
a
a a
-
⎧
⎨
----
⎩
…
…
，即1
4
a
3
剟时，
当x＝a﹣1时，y最大值＝（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣3＝a2﹣4a；
当x＝1时，y最小值＝4．
（ii）当
011
211
1(1)211
a
a
a a
<-
⎧
⎪
->
⎨
⎪--<--
⎩
…
，即
4
3
＜a≤2时，
当x＝2a﹣1时，y最大值＝（2a﹣1）2﹣2（2a﹣1）﹣3＝4a2﹣8a．当x＝1时，y最小值＝﹣4．
（iii）当a﹣1＞1，即a＞2时，
当x＝2a﹣1时，y最大值＝（2a﹣1）2﹣2（2a﹣1）﹣3＝4a2﹣8a．当x＝a﹣1时，y最小值＝（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣3＝a2﹣4a．
【点睛】
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系；另外，解答（3）题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解．
6．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，动点D从点A出发，在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动，连结CD，作点A关于直线CD的对称点E，设点D运动时间为t（s）．
（1）若△BDE是以BE为底的等腰三角形，求t的值；
（2）若△BDE为直角三角形，求t的值；
（3）当S△BCE≤9
2
时，所有满足条件的t的取值范围（所有数据请保留准确值，参考
数据：tan15°=2
；（2秒或3秒；（3）6﹣
【答案】（1）
2
【解析】
【分析】
（1）如图1，先由勾股定理求得AB的长，根据点A、E关于直线CD的对称，得CD垂直
平分AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE，所以AD=DE=BD，由，可得t 的值；
（2）分两种情况：
①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，根据t的值；
②当∠EDB=90°时，如图3，根据△AGC≌△EGD，得AC=DE，由AC∥ED，得四边形CAED 是平行四边形，所以AD=CE=3，即t=3；
（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，
①当△BCE在BC的下方时，
②当△BCE在BC的上方时，
分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论．
【详解】
解：（1）如图1，连接AE，
由题意得：AD=t，
∵∠CAB=90°，∠CBA=30°，
∴BC=2AC=6，
∴
∵点A、E关于直线CD的对称，
∴CD垂直平分AE，
∴AD=DE，
∵△BDE是以BE为底的等腰三角形，
∴DE=BD，
∴AD=BD，
∴；
（2）△BDE为直角三角形时，分两种情况：
①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，
∵CD垂直平分AE，
∴AD=DE=t，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2t，
∴
∴t=3；
②当∠EDB=90°时，如图3，
连接CE，
∵CD垂直平分AE，
∴CE=CA=3，
∵∠CAD=∠EDB=90°，
∴AC∥ED，
∴∠CAG=∠GED，
∵AG=EG，∠CGA=∠EGD，
∴△AGC≌△EGD，
∴AC=DE，
∵AC∥ED，
∴四边形CAED是平行四边形，
∴AD=CE=3，即t=3；
综上所述，△BDE为直角三角形时，t的值为3秒或3秒；
（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，
①当△BCE在BC的下方时，过B作BH⊥CE，交CE的延长线于H，如图4，当AC=BH=3时，
此时S△BCE=1
2
AE•BH=
1
2
×3×3=
9
2
，
易得△ACG≌△HBG，
∴CG=BG，
∴∠ABC=∠BCG=30°，
∴∠ACE=60°﹣30°=30°，
∵AC=CE，AD=DE，DC=DC，∴△ACD≌△ECD，
∴∠ACD=∠DCE=15°，
tan∠ACD=tan15°=t
3
=23，
∴t=6﹣3
由图形可知：0＜t＜6﹣3时，△BCE的BH越来越小，则面积越来越小，②当△BCE在BC的上方时，如图3，CE=ED=3，且CE⊥ED，
此时S△BCE=1
2
CE•DE=
1
2
×3×3=
9
2
，此时t=3，
综上所述，当S△BCE≤9
2
时，t的取值范围是6﹣3．
【点睛】
本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
7．如图1，以点M（－1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝
－x－与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．
（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；
（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；
（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT 交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）OE=5，r=2，CH=2
（2）；
（3）a=4
【解析】
【分析】
（1）在直线y＝－x－中，令y=0，可求得E的坐标，即可得到OE的长为5；连接MH，根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH 是RT△EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长；
（2）连接DQ、CQ．根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD，从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即为cos∠QHC的值；
（3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由圆周角定理可知，
∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出结论．
【详解】
（1）OE=5，r=2，CH=2
（2）如图1，连接QC、QD，则∠CQD =90°，∠QHC =∠QDC，
易知△CHP∽△DQP，故，得DQ=3，由于CD=4，
；
（3）如图2，连接AK ，AM ，延长AM ， 与圆交于点G ，连接TG ，则
，
由于，故，
；
而，故
在
和
中，
；
故△AMK ∽△NMA
;
即：
故存在常数，始终满足 常数a="4"
解法二：连结BM ，证明∽
得
8．阅读下面材料：
观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，过A 作AD ⊥BC 于D （如图），则sin B ＝AD c ，sin C ＝AD
b
，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即
sin sin b c B C = ．同理有：sin sin c a
C A
=，sin sin a b A B
=，所以sin sin sin a b c
A B C ==． 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元
素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题．
（1）如图，△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝60，则AB
＝ ；
（2）如图，一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西75°的方向上（如图），求此时货轮距灯塔A 的距离AB ． （3）在（2）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）
【答案】（1）6；（2）6海里；（36+2
【解析】 【分析】
（1）根据材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，写出比例关系，代入数值即可求得AB 的值.
（2）此题可先由速度和时间求出BC 的距离，再由各方向角得出∠A 的角度，过B 作BM ⊥AC 于M ，求出∠MBC=30°，求出MC ，由勾股定理求出BM ，求出AM 、BM 的长，由勾股定理求出AB 即可；
（3）在三角形ABC 中，∠A=45，∠ABC=75，∠ACB=60，过点C 作AC 的垂线BD ，构造直角三角形ABD ，BCD ，在直角三角形ABD 中可求出AD 的长，进而可求出sin75°的值． 【详解】
解：（1）在△ABC 中，∠B=75°，∠C=45°，BC=60，则∠A=60°， ∵AB sinC =sin BC
A ， ∴
45AB sin o =60
sin60o
， 22
32，
解得：6. （2）如图，
依题意：BC=60×0.5=30（海里）∵CD∥BE，
∴∠DCB+∠CBE=180°
∵∠DCB=30°，
∴∠CBE=150°
∵∠ABE=75°．
∴∠ABC=75°，
∴∠A=45°，
在△ABC中，
sin AB ACB
∠=
BC
sin A
∠即60?
AB
sin
=
30
45?
sin，
解之得：AB=156．
答：货轮距灯塔的距离AB=156海里．
（3）过点B作AC的垂线BM，垂足为M.
在直角三角形ABM中，∠A=45°，6，
所以3BDC中，∠BCM=60°，BC=30°，可求得CM=15，所以3，
由题意得，15315
75
sin
+
o
＝
156
60
sin o
，sin75°=
6+2
4
．
【点睛】
本题考查方向角的含义，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是熟练掌握解直角三角形方法．
9．兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°，拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD的长），试求出主塔BD的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
【答案】主塔BD的高约为86.9米．
【解析】
【分析】
根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+CD可得出.
【详解】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
sin BC
A
AB
=．
∴sin152sin311520.5279.04
BC AB A︒
=⨯=⨯=⨯=．
79.047.986.9486.9
BD BC CD
=+=+=≈（米）
答：主塔BD的高约为86.9米．
【点睛】
本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键.
10．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，动点P在线段BC上，点Q在线段AB上，且PQ＝BQ，延长QP交射线AC于点D．
（1）求证：QA＝QD；
（2）设∠BAP＝α，当2tanα是正整数时，求PC的长；
（3）作点Q关于AC的对称点Q′，连结QQ′，AQ′，DQ′，延长BC交线段DQ′于点E，连结AE，QQ′分别与AP，AE交于点M，N（如图2所示）．若存在常数k，满足k•MN＝PE•QQ′，求k的值．
【答案】（1）证明见解析（2）PC的长为3
7
或
3
2
（3）8
【解析】
【分析】
（1）由等腰三角形的性质得出∠B＝∠BPQ＝∠CPD，由直角三角形的性质得出∠BAC＝∠D，即可得出结论；
（2）过点P作PH⊥AB于H，设PH＝3x，BH＝4x，BP＝5x，由题意知tanα＝1或1
2
，当
tanα＝1时，HA＝PH＝3x，与勾股定理得出3x+4x＝5，解得x＝5
7
，即可求出PC长；
当tanα＝1
2
时，HA＝2PH﹣6x，得出6x+4x＝5，解得x＝
1
2
，即可求出PC长；
（3）设QQ′与AD交于点O，由轴对称的性质得出AQ′＝AQ＝DQ＝DQ′，得出四边形
AQDQ′是菱形，由菱形的性质得出QQ′⊥AD，AO＝1
2
AD，证出四边形BEQ'Q是平行四边
形，得出QQ′＝BE，设CD＝3m，则PC＝4m，AD＝3+3m，即QQ′﹣BE＝4m+4，PE＝8m，
由三角函数得出MO
AO
＝tan∠PAC＝
PC
AC
，即可得出结果．
【详解】
（1）证明：∵PQ＝BQ，
∴∠B＝∠BPQ＝∠CPD，
∵∠ACB＝∠PCD＝90°，
∴∠A+∠BAC＝90°，∠D+∠CPD＝90°，
∴∠BAC＝∠D，
∴QA＝QD；
（2）解：过点P作PH⊥AB于H，如图1所示：设PH＝3x，BH＝4x，BP＝5x，
由题意得：tan∠BAC＝4
3
，∠BAP＜∠BAC，
∴2tanα是正整数时，tanα＝1或1
2
，当tanα＝1时，HA＝PH＝3x，
∴3x+4x
5， ∴x ＝
57
， 即PC ＝4﹣5x ＝37
； 当tanα＝
1
2
时，HA ＝2PH ﹣6x ， ∴6x+4x ＝5，
∴x ＝
12
， 即PC ＝4﹣5x ＝
32
； 综上所述，PC 的长为
37或32
； （3）解：设QQ′与AD 交于点O ，如图2所示： 由轴对称的性质得：AQ′＝AQ ＝DQ ＝DQ′， ∴四边形AQDQ′是菱形， ∴QQ′⊥AD ，AO ＝1
2
AD ， ∵BC ⊥AC ， ∴QQ′∥BE ， ∵BQ ∥EQ′，
∴四边形BEQ'Q 是平行四边形， ∴QQ′＝BE ，
设CD ＝3m ，则PC ＝4m ，AD ＝3+3m ， 即QQ′﹣BE ＝4m+4，PE ＝8m ， ∵
MO AO ＝tan ∠PAC ＝PC
AC
， ∴332
MO
m +＝43
m
，
即MN ＝2MO ＝4m （1+m ）， ∴k ＝
PE QQ MN
g ′＝8(44)
4(1)m m m m ++＝8．
【点睛】
本题是三角形综合题目，考查了等腰三角形的性质与判定、三角函数、勾股定理、菱形的判定与性质、平行线的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，灵活运用三角函数是解题关键．
11．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．点为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线分别交直线及抛物线于点，．
（1）填空：点的坐标为，抛物线的解析式为；
（2）当点在线段上运动时（不与点，重合），
①当为何值时，线段最大值，并求出的最大值；
②求出使为直角三角形时的值；
（3）若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，请直接写出此时由点，，，构成的四边形的面积．
【答案】（1），；
（2）①当时，有最大值是3；②使为直角三角形时的值为3或；
（3）点，，，构成的四边形的面积为：6或或.
【解析】
【分析】
（1）把点A坐标代入直线表达式y＝，求出a＝−3，把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①设：点P（m，），N（m，）求出PN值的表达式，即可求解；②分∠BNP＝90°、∠NBP＝90°、∠BPN＝90°三种情况，求解即可；
（3）若抛物线上有且只有三个点N到直线AB的距离是h，则只能出现：在AB直线下方抛物线与过点N的直线与抛物线有一个交点N，在直线AB上方的交点有两个，分别求解即可．
【详解】
解：（1）把点坐标代入直线表达式，
解得：，则：直线表达式为：，令，则：，
则点坐标为，
将点的坐标代入二次函数表达式得：，
把点的坐标代入二次函数表达式得：，
解得：，
故：抛物线的解析式为：，
故：答案为：，；
（2）①∵在线段上，且轴，
∴点，，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，有最大值是3，
②当时，点的纵坐标为-3，
把代入抛物线的表达式得：，解得：或0（舍去），∴；
当时，∵，两直线垂直，其值相乘为-1，
设：直线的表达式为：，
把点的坐标代入上式，解得：，则：直线的表达式为：，
将上式与抛物线的表达式联立并解得：或0（舍去），
当时，不合题意舍去，
故：使为直角三角形时的值为3或；
（3）∵，，
在中，，则：，，
∵轴，
∴，
若抛物线上有且只有三个点到直线的距离是，
则只能出现：在直线下方抛物线与过点的直线与抛物线有一个交点，在直线上方的交点有两个.
当过点的直线与抛物线有一个交点，
点的坐标为，设：点坐标为：，
则：，过点作的平行线，
则点所在的直线表达式为：，将点坐标代入，
解得：过点直线表达式为：，
将拋物线的表达式与上式联立并整理得：，
，
将代入上式并整理得：，
解得：，则点的坐标为，
则：点坐标为，则：，
∵，，∴四边形为平行四边形，则点到直线的距离等于点到直线的距离，
即：过点与平行的直线与抛物线的交点为另外两个点，即：、，
直线的表达式为：
，将该表达式与二次函数表达式联立并整理得：
，解得：
， 则点、的横坐标分别为，
，
作交直线
于点，
则，
作
轴，交轴于点，则：
，，
，
则：，
同理：，
故：点，，，构成的四边形的面积为：6或
或
.
【点睛】
本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识，其中（3）中确定点N 的位置是本题的难点，核心是通过△＝0，确定图中N 点的坐标．
12．已知：如图，在Rt △ABO 中，∠B =90°，∠OAB =30°，OA =3．以点O 为原点，斜边OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，以点P （4，0）为圆心，PA 长为半径画圆，⊙P 与x 轴的另一交点为N ，点M 在⊙P 上，且满足∠MPN =60°．⊙P 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向左运动，设运动时间为ts ，解答下列问题： （发现）（1）MN n
的长度为多少；
（2）当t =2s 时，求扇形MPN （阴影部分）与Rt △ABO 重叠部分的面积． （探究）当⊙P 和△ABO 的边所在的直线相切时，求点P 的坐标．
（拓展）当MN n
与Rt △ABO 的边有两个交点时，请你直接写出t 的取值范围．
【答案】【发现】（1）MN n
的长度为π3；（23
P 的坐标为10（，）；或23
0）或23
0（）；【拓展】t 的取值范围是23t ≤＜或45t ≤＜，理由见解析．
【解析】 【分析】
发现：（1）先确定出扇形半径，进而用弧长公式即可得出结论；
（2）先求出PA =1，进而求出PQ ，即可用面积公式得出结论； 探究：分圆和直线AB 和直线OB 相切，利用三角函数即可得出结论；
拓展：先找出·MN
和直角三角形的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论． 【详解】 [发现]
（1）∵P （4，0），∴OP =4．
∵OA =3，∴AP =1，∴·MN
的长度为6011803
ππ
⨯=． 故答案为
3
π
； （2）设⊙P 半径为r ，则有r =4﹣3=1，当t =2时，如图1，点N 与点A 重合，∴PA =r =1，设MP 与AB 相交于点Q ．在Rt △ABO 中，∵∠OAB =30°，∠MPN =60°． ∵∠PQA =90°，∴PQ 12=PA 12=，∴AQ =AP ×cos30°3=，∴S 重叠部分=S △APQ 12=
PQ ×AQ 3
=． 即重叠部分的面积为3
8
． [探究]
①如图2，当⊙P 与直线AB 相切于点C 时，连接PC ，则有PC ⊥AB ，PC =r =1． ∵∠OAB =30°，∴AP =2，∴OP =OA ﹣AP =3﹣2=1； ∴点P 的坐标为（1，0）；
②如图3，当⊙P 与直线OB 相切于点D 时，连接PD ，则有PD ⊥OB ，PD =r =1，∴PD ∥AB ，∴∠OPD =∠OAB =30°，∴cos ∠OPD PD OP =，∴OP 123
30cos ==︒∴点P 的坐标为（
23
3
，0）； ③如图4，当⊙P 与直线OB 相切于点E 时，连接PE ，则有PE ⊥OB ，同②可得：OP 23
=
； ∴点P 的坐标为（23
3
-
，0）；
[拓展]
t的取值范围是2＜t≤3，4≤t＜5，理由：
如图5，当点N运动到与点A重合时，·MN与Rt△ABO的边有一个公共点，此时t=2；
当t＞2，直到⊙P运动到与AB相切时，由探究①得：OP=1，∴t
41
1
-
==3，·MN与
Rt△ABO的边有两个公共点，∴2＜t≤3．
如图6，当⊙P运动到PM与OB重合时，·MN与Rt△ABO的边有两个公共点，此时t=4；
直到⊙P运动到点N与点O重合时，·MN与Rt△ABO的边有一个公共点，此时t=5；
∴4≤t＜5，即：t的取值范围是2＜t≤3，4≤t＜5．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，切线的性质，锐角三角函数，三角形面积公
式，作出图形是解答本题的关键．
13．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离(如图②)．
【答案】1．5米．
【解析】
试题分析：延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出
在Rt△ACD中,米，CD=2AD=3米，再证明△BOD是等边三角形，得到米，然后根据
BC =BD −CD 即可求出浮漂B 与河堤下端C 之间的距离． 试题解析：延长OA 交BC 于点D .
∵AO 的倾斜角是，
∴ ∵
在Rt △ACD 中, (米)，
∴CD =2AD =3米， 又
∴△BOD 是等边三角形， ∴
(米)，
∴BC =BD −CD =4.5−3=1.5(米).
答：浮漂B 与河堤下端C 之间的距离为1.5米.
14．如图所示，一堤坝的坡角62ABC ∠=︒，坡面长度25AB =米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角50ADB ∠=︒，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01 米)(参考数据：sin620.88︒≈，cos620.47︒≈，
tan50 1.20︒≈)
【答案】6.58米 【解析】
试题分析：过A 点作AE ⊥CD 于E ．在Rt △ABE 中，根据三角函数可得AE ，BE ，在Rt △ADE 中，根据三角函数可得DE ，再根据DB=DE ﹣BE 即可求解． 试题解析：过A 点作AE ⊥CD 于E ． 在Rt △ABE 中，∠ABE=62°． ∴AE=AB•sin62°=25×0.88=22米，
BE=AB•cos62°=25×0.47=11.75米，在Rt△ADE中，∠ADB=50°，∴DE==18米，∴DB=DE﹣BE≈6.58米．故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
15．如图，Rt△ABC，CA⊥BC，AC＝4，在AB边上取一点D，使AD＝BC，作AD的垂直平分线，交AC边于点F，交以AB为直径的⊙O于G，H，设BC＝x．
（1）求证：四边形AGDH为菱形；
（2）若EF＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）连结OF，CG．
①若△AOF为等腰三角形，求⊙O的面积；
②若BC＝3，则30CG+9＝______．（直接写出答案）．
【答案】（1）证明见解析；（2）y＝1
8
x2（x＞0）；（3）①
16
3
π或8π或（17+2）
π；21．
【解析】
【分析】
（1）根据线段的垂直平分线的性质以及垂径定理证明AG=DG=DH=AH即可；
（2）只要证明△AEF∽△ACB，可得AE EF
AC BC
解决问题；
（3）①分三种情形分别求解即可解决问题；
②只要证明△CFG∽△HFA，可得GF
AF
=
CG
AH
，求出相应的线段即可解决问题；
【详解】
（1）证明：∵GH垂直平分线段AD，∴HA＝HD，GA＝GD，
∵AB是直径，AB⊥GH，∴EG＝EH，
∴DG＝DH，
∴AG＝DG＝DH＝AH，∴四边形AGDH是菱形．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠ACB＝90°，∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴AE EF AC BC
=
，
∴1
2
4
x y
x
=，
∴y＝1
8
x2（x＞0）．
（3）①解：如图1中，连接DF．
∵GH垂直平分线段AD，
∴FA＝FD，
∴当点D与O重合时，△AOF是等腰三角形，此时AB＝2BC，∠CAB＝30°，∴AB83，
∴⊙O的面积为16
3
π．
如图2中，当AF＝AO时，
∵AB ＝
22AC BC +＝216x +，
∴OA ＝2
16x +， ∵AF ＝22EF AE +＝22
21182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴
216x +＝22
21182x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 解得x ＝4（负根已经舍弃）， ∴AB ＝42， ∴⊙O 的面积为8π．
如图2﹣1中，当点C 与点F 重合时，设AE ＝x ，则BC ＝AD ＝2x ，AB ＝2164x +，
∵△ACE ∽△ABC ， ∴AC 2＝AE•AB ， ∴16＝2164x +
解得x 2＝17﹣2（负根已经舍弃）， ∴AB 2＝16+4x 2＝17+8， ∴⊙O 的面积＝π•
1
4
•AB 2＝（17+2）π
综上所述，满足条件的⊙O的面积为
16
3
π或8π或（217+2）π；
②如图3中，连接CG．
∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝5，
∴OH＝OA＝5
2
，
∴AE＝3
2
，
∴OE＝OA﹣AE＝1，
∴EG＝EH
2
5
1
2
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
21
2
，
∵EF＝1
8x2＝
9
8
，
∴FG＝21
2﹣
9
8
，AF22
AE EF
+
15
8
，AH22
AE EH
+
30
2
，
∵∠CFG＝∠AFH，∠FCG＝∠AHF，∴△CFG∽△HFA，
∴GF CG
AF AH
=，
∴219
28
1530 8
-
=
∴CG＝70
5﹣
330
10
，
∴30＝21．故答案为21
【点睛】
本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、垂径定理、线段的垂直平分线的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．。