Ch02 点线面的投影

Ch2点线面的投影
本章重点：投影法概念、正投影的特性、三等规律
本章难点：三面投影图画法
§2-1 投影方法及其分类
一、投影
在灯光或太阳光照射物体时，在地面或墙上酒会产生与原物体相同或相似的影子，人们根据这个自然现象，总结出将空间物体表达为平面图形的方法，即投影法。

在投影法中：
投影线——在投影法中，向物体投射的光线，称为投影线；
投影面——在投影法中，出现影像的平面，称为投影面；
投影——在投影法中，所得影像的集合轮廓则称为投影或投影图。

二、投影法的分类
投影法依投影线性质的不同而分为两类：
1．中心投影法
投影线由投影中心的一点射出，通过物体与投影面相交所得的图形，称为中心投影。

投影线的出发点称为投影中心。

这种投影方法，称为中心投影法；所得的单面投影图，称为中心投影图。

如图0-1所示。

由于投影线互不平行，所得图形不能反映提的真实大小，因此，中心投影不能作为绘制工程图样的基本方法
图2-1中心投影法图2-2平行投影法（a）图2-3平行投影法（b）2．平行投影法
如果将投影中心移至无穷远处，则投影可看成互相平行的通过物体与投影面相交，所得的图形称为平行投影；用平行投影线进行投影的方法称为平行投影法。

在平行投影法中，根据投射方向是否垂直投影面，平行投影法又可分为两种：
（1）斜投影法：投影方向（投影线）倾斜于投影面，称为斜角投影法；
（2）直角投影法：投影方向（投影线）垂直于投影面，称为直角投影法，简称正投影法。

正投影法是工程制图中广泛应用的方法。

正投影法是本课程研究的主要对象。

以后所说的投影，如无特别说明均指正投影。

3．轴测投影
轴测投影是用平行投影法在单一投影面上取得物体立体投影的一种方法。

用这种方法获得的轴测图直观性强，可在图形上度量物体的尺寸，虽然度量性较差，绘图也较困难，仍然是工程中一种较好的辅助手段。

三.正投影的基本特性
1．实形性
当线段或平面图形平行于投影面时，其投影反映实长或实形。

2．积聚性
当直线或平面平行于投影线时（垂直于投影面）其投影积聚为一点或直线。

3．类似性
当直线或平面既不平行于投影面，又不平行于投影线时，其投影小于实长或实形，但与原形类似。

4．平行性
互相平行的两直线在同一投影面上的投影保持平行。

5．从属性
若点在直线上，则点的投影必在直线的投影上。

6．定比性
直线上两线段长度之比等于该两线段投影的长度之比。

两平行线段的长度之比等于它们的投影长度之比。

以上性质，虽以正投影为例，其实适用于平行投影。

图2-4 正投影的性质
四．三个投影面的建立（三面投影体系的建立）
如图2—5所示是三个形状不同的物体，它们在同一个投影面上的投影是相同的。

很明显若不附加其它说明，仅凭这一个投影面上的投影，是不能表示物体的形状和大小的。

图2－5一个投影不能确定物体的形状
1．三个投影面的建立
一般需将物体放置在如图2—6的三面投影体系中，分别向三个投影面进行投影，然后将所得到的三个投影联系起来，互相补充即可反映出物体的真实形状和大小。

图2－6三面投影体系
2．三投影面名称
正投影面——正立着的面，简称正投影面或V面，
水平投影面——水平的面为水平投影面，简称水平面或H面，
侧投影面——侧立着的面为侧投影面，简称侧面或W面。

在三投影面中：OX轴——V面和H面的交线，
OY轴——H面和W面的交线，
OZ轴——V面和W面的交线，
坐标原点——OX、OY、OZ三轴的交点。

五．三视图的形成
按照正投影法绘制出物体的投影图，又称为视图。

为了得到能反映物体真实形状和大小的视图，将物体适当地防止在三面投影体系中，分别向V面、H面、W面进行投影美丽V 面上得到的投影称为主视图；在H面上得到的投影称为俯视图；在W面上得到的投影称为左视图。

三视图的形成工程如图2—7（a）所示。

为了符合生产要求需要把三视图画在一个平面内，即把三个投影面展开，如图2—7（b）所示。

展开方法：V面不动，H面绕OX轴旋转900，W面绕OZ轴旋转900，使H、W面与V面形成同一平面。

在旋转工程中，需将OY轴一分为二，随H面的称为OY H，随W面的OY W。

展
开后的三视图，如图2—7（c）所示。

值得注意的是：在生产中不需要画出投影轴和表示投影面的边框，视图按上述位置布置时，不需注出视图名称，如图2—7（d）所示。

六．三视图的投影关系
从三视图的形成工程和投影面展开的方法中，可明确以下关系：
1．位置关系
俯视图在主视图的下边，左视图在主视图的右边；
图2—7三视图的形成
2．方位关系
任何物体都有前后、上下、左右六个方位。

而每个视图只能表示其四个方位，如图2—8所示。

在三视图中，主、左视图表示物体的上、下；主、俯视图表示物体的左、右；俯左视图
表示物体的前后。

靠近主视图的一面是物体的后面，远离主视图的一面是物体的前面。

图2—8 三视图与物体的方位关系
3．三等关系
任何物体都有长、宽、高三个尺度，若将物体左右方向（X方向）的尺度称为长，上下方向（Z方向）尺度称为高，前后方向（Y方向）尺度称为宽，则在三视图上（如图2—9所示）
主、俯视图反映了物体的长度，主、左视图反映了物体的高度，俯、左视图反映了物体的宽度。

归纳上述三视图的三等关系是：主、俯上对正，主、左高平齐，俯、左宽相等。

简称为三视图的关系是上对正，高平齐，宽相等关系。

（注意：不仅物体整体的三视图符合三等关系，物体上的没一部分都应符合三等关系。

图2—9三视图的三等关系
§2－2点的投影
空间物体都是由面围成的，而面可视为线的轨迹，线则是点的轨迹，所以点是最基本的集合元素。

学习和掌握集合元素的投影规律和特性，才能透彻理解工程图样所表示物体的具体结构形状。

一. 点的投影和三面投影规律
点的投影仍然是点，如图2—10所示，设：空间有一点A ，自A 分别向三个投影面作垂线（即投影线），得三个垂足a 、a '、a ''。

a 、a '、a ''分别表示A 点在H 面、V 面、W 面的投影。

（通常规定空间点用大写字母如：A 、B 、C ……等表示，其投影用响应的小写字母，如a 、b 、c ……等表示）见上图。

这样，A 点到W 面的距离为A 点的X 坐标，A 点到V 面的距离为A 点的Y 坐标，A 点到H 面的距离为A 点的Z 坐标。

若用坐标值确定点的空间位置时，可用下列规定书写形式：
A=（X A ，Y A ，Z A ）， B=（X B ，Y B ，Z B ）………。

图2—10点的三面投影
由作图可知，Aa ⊥H 面，a A '⊥V 面，a A ''⊥W 面。

则通过a A '所作的平面P 必然同时垂直于H 面和V 面，当然，也垂直于H 面与V 面的交线OX 轴，它与OX 轴的交点用
x a 表示，显然A a 'a x a 是一矩形，同理A a ''a y a 和A a 'a z a ''也是矩形。

这三个矩形平面都与响应的投影轴相交，且是正交，并与三个投影面的响应矩形围成一长方体。

因为长方体中相互平行棱线长度相等，故可得点与三个投影面的关系为：
a A ''=aa y =a a 'z =oa x （均为坐标X A ）
a A '=aa x =a a ''z =oa y （均为坐标Y A ）
Aa =a a 'x =a a ''y =oa z （均为坐标Z A ）
可见，空间点在某一投影面上的投影，都是由该点的两个坐标值决定的。

点a 由o a x 和o a y ，即A 点的X A ，Y A 两坐标决定；点a '由o a x 和o a z ，即A 点的X A ，Z A 两坐标决定；点a ''由o a y 和o a z ，即A 点的Y A ，Z A 两坐标决定。

如图2—10（a ）所示，将三投影面展开，使其与V 面成同一平面。

为便于进行投影分析，用细实线将点的两面投影连接起来得到a a '和a a '''（称为投影连线），分别与X 、Z 轴相交于a x 和a z 点。

由于Y 轴展开后分为Y h 和Y w ，在作图时，一种方法是采用以O 点为圆心画弧a y H 和a y w ，如图2—10（b ），另一种方法是自O 点作450斜线，再从a y H 引Y 轴的垂线与450斜线得交点，再从此点引Y w 的垂线与由a '引出的Z 轴的垂线交点，即为a ''点。

注：在投影面上通常住画出投影轴，不画投影面的边界，如图2—10（c ）所示。

按照点与三投影面关系，由立体展开成平面，可得出点的三面投影规律：
1．点的正投影和水平投影的连线垂直于X 轴，即a a '⊥OX 两投影都反映横坐标，表示空间点到侧投影面的距离。

即：a a '⊥OX ，a a 'z =aa yH =X A 。

2．点的正面投影a '和侧面投影a ''的连线垂直于Z 轴，这两个投影都反映空间点的Z 坐标，即便表示点到水平面的距离。

a a '''⊥Z 轴，a a 'x =a ''a yw =Z A 。

3．点的水平投影到X 轴的距离等于其侧面投影到Z 轴的距离，这两个投影都反映空间的Y 坐标，表示空间点到正投影面的距离：aa x =a a ''z=Y A 。

显然，点的投影规律和前面所讲的三视图的画图规则“长对正、高平齐、宽相等”是一致的。

应用：（1）根据点的投影规律，可由点的三个坐标值X 、Y 、Z 画出其三面投影图。

（2）也可根据点的两面投影图作出第三投影图。

例题1：已知：A （20，10，35）
求作：A 点的第三面投影
例题2：已知：点的两面投影
求作：点的第三面投影
例题3：已知A 、B 两点的两面的投影
求作：第三面投影并确定其相对位置
解：∵X B ＞X A ，∴B 点在左，A 点在右
∵Z A ＞Z B ， ∴A 点在上，B 点在下
∵Y A ＞Y B ， ∴B 点在后，A 点在前
总的结论：A 点在B 点的右前上方，B 点在A 点的左后下方。

其它的例题自学。

二. 两点的相对位置和重影点
1．两点的相对位置
根据相对于投影面的距离确定如图2—11所示。

（1）距离W 面远者在左，近者在右（根据V 、H 的投影分析）；（2）距离V 面远者在前，近者在后（根据H 、W 面的投影分析）；（3）距离H 面远者在上，近者在下（根据V 、W 面的投影分析）
图2—11两点的相对位置
2．重影点
当两点的某个坐标相同时，该两点将处于同一投影线上，因而对某一投影面具有重合的投影，则这两个点的坐标称为对该投影面的重影点。

在投影图上，如果两个点的投影重合，则对重合投影所在的投影面的距离（即对该投影面的坐标值）较大的那个点是可见的，而另一个点是不可见的，应将不可见的点用括弧括起来，如图2—12中的（b）点的投影。

如图2—12所示，∵A、B两点到V面、W面的距离相等，所以A、B两点在H面投影重合，故称A、B两点为对H面的一对重影点，B点在H面的投影不可见。

图2—12重影点的投影
§2－3直线的投影
空间两点确定一条空间直线段，空间直线段的投影一般仍为直线，如图2—13所示将直线AB向H面投影，因为线段上的任意两点可以确定线段在空间的位置，所以直线段上两端点A、B的同面投影a、b的连线就是线段在该面上的投影。

图2—13空间线段的投影
一．直线段对于一个投影面的投影
空间直线段对于一个投影面的位置有倾斜、平行、垂直三种。

三种不同的位置具有不同的投影特性。

1．收缩性
当直线段AB倾斜于投影面时，如图2—14（a），它在该投影面上的投影ab长度比空间AB 线段缩短了，这种性质称为收缩性。

2．真实性
当直线段AB平行于投影面时，它在该投影面上的投影与空间AB线段相等，这种性质称为真实性。

如图2—14（b）。

3．积聚性
当直线段AB垂直于投影面时，它在该投影面上的投影重合于一点，这种性质称为积聚性。

如图2-14（c）。

图2—14线段的投影特性
二．直线段在三面投影体系中的投影特性
图2—15投影面的平行线
空间线段因对三个投影面的相对位置不同，可分为三种：投影面的平行线，投影面的垂直线，投影面的一般位置直线（倾斜线）前面两种称为特殊位置直线，后一种称为一般位置直线。

1．投影面的平行线
平行于一个投影面，而对另两个投影面倾斜的直线段，称为投影面平行线。

正平线——平行于V 面的直线段；水平线——平行于H 面的直线段；侧平线——平行于W 面的直线段如图2—15所示，列出了三种投影面的平行线的投影特点和性质。

以水平线为例：按照定义，它平行于H 面，线上所有点与H 面的距离都相同，这就决定了它的投影特性是：（1）AB 的水平投影ab =AB ，即反映实长；（2）正面投影平行于OX 轴，即b a ''∥OX 轴；（3）侧面投影平行于OY w 轴，即b a ''''∥OY w 轴；（4）水平投影ab 与OX 轴的夹角，反映该直线对V 面的倾角β；水平投影ab 与OY 轴的夹角，反映该直线对W 面的倾角γ。

其它二投影面平行线的分析同上。

投影面平行线的投影特性概括为：如图2—15所示，（1）在直线段所平行的投影面上的投影反映实长，且其投影与投轴的夹角反映直线与另两投影面的倾角；（2）另两投影面平行
于相应的投影轴（构成所平行的投影面的两根轴）。

投影面平行线的辨认：
（1）当直线的投影有两个平行于投影轴时；
（2）第三投影与投影轴倾斜时，则该直线一定是投影面的平行线，且一定平行于其投影为倾斜线的那个投影面。

2．投影面垂直线
垂直于一个投影面，即与另两个投影面都平行的直线段，称为投影面的垂直线。

投影面垂直线有三种：铅垂线——直线⊥H面；正垂线——直线⊥V面；侧垂线——直线⊥W面。

图2—16列出了三种投影面垂直线的投影特点及性质。

投影面垂直线的投影特性概括为：（1）在所垂直的投影面貌上的投影积聚为一点；
（2）在另外两个投影面上的投影，垂直于相应的投影轴，且反反应直线段的实长。

如何判断投影面的垂直线？根据投影面垂直线的投影特性来判断即可。

图2—16垂直线
3．一般位置直线
由直线段对一个投影面的投影特性可知，当直线倾斜于投影面时，它在投影面上的投影的长度比空间线段的长度缩短了，具有收缩性，如图2—17所示。

此特性对于在三面投影体系中的倾斜（一般位置）线段同样适用，因而，同理可得在三面投影体系中它的投影特性为：（1）三个投影都是一般倾斜线段，且都小于线段的实长；
（2）三面投影都与投影轴倾斜，投影与投影轴的夹角，均不反应直线段对投影面的倾角。

图2—17一般位置直线的投影
判断：若直线段的投影与三个投影轴都倾斜，可判断该直线为一般位置直线。

三．求一般位置直线的实长及对投影面的倾角
一般位置直线的投影不能反应其时常及其对投影面的倾角，因此，若求其时常及其对投影面的倾角时有两种方法：一是利用直角三角形法，二是利用换面法。

1．利用三角形法求直线段的实长及与投影面的倾角
如书中图2—18（a）中，在由直线AB及其对H面的投影线所形成的平面Abba上的直角三角形ABC中可知，其两直角边分别为：AC=ab、BC=Z B－Z A，R而斜边AB即为实长，该直线对H面的倾角∠BAC=，α，而B、A点的高度民主坐标差，可从b'、a'中得到。

由此，通过一般的几何作图便可得到如图2—18（c）或（d）所示，求直线段的实长及对投影面倾角了。

作图方法：
（1）以水平投影ab为一直角边，以正投影的坐标为另一直角边（Z B－Z A），作一直角三角形，该直角三角形可以画在原投影之外，也可以画在原投影之内。

（2）三角形的斜边即为实长，斜边（实长）与水平投影的夹角即为α。

a''=Z B－Z C（Z A）∠α
用同样的方法，即可求出β角和γ角：b
ad=Y A－Y D（Y B）∠β
ae=X A－X E（X B）∠γ
（a） (b) (c) (d)
图2—18直角三角形法求空间直线段的实长和倾角
四．直线上点的投影
从图2—19（a ）可以看出，点在直线实长的几何条件及投影特性： 1．直线上点的投影必定在该直线的同面投影上。

K 点的投影k 、k '、k ''分别在ab 、b a ''、b a ''''上。

2．同一直线上两线段长度之比等于其投影长度之比。

由于对同一投影面面的投影面线
互相平行，因此：
KB AK =kb ak =k b k a ''''=b k k a '
''''''' 。

由直线有积聚性的投影面特性可知： （1）如果点在已知直线上，则根据点的一个投影面（头版头条面垂直线有积聚性的投影面除外），求出它的另外两个投影面，如上图（c ）所示；
（2）也可通过作第三面投影的方法求得；
（3）也可如图所示，通过a 作一辅助线，在该线上量取：ak o =k a ''，k o b o =b k ''，然后连接B o b ，并通过k o 作k o k ∥B o b 交于ab 上的k 点，即为所求。

（a ） （b ） （c ）
图2—19直线上点的投影
五．两直线的相对位置
图2—20两直线的相对位置
1．平行两直线
（1）平行两直线的所有同面投影面都互相平行；
（2）反之若两直线的同面投影均互相平行，则空间两直线必定互相平行；
（3）判定方法：（a）一般情况下，只要看他们的两个同面投影是否平行就可以了；
（b）特殊情况，当两直线为某一投影面平行线时，则需根据他们在所
平行的那个投影面上的是否平行才能判定。

2．相交两直线
（1）若空间两直线相交，则它们的所有同面投影都相交，且各同面投影的交点之间的
关系符合点的的规律。

这是因为交点是两直线的共有点，如图2—20所示；
（2）反之，若两直线的各同面投影都相交，且交点的投影符合点的投影规律，则该两直线必相交；
（3）特殊情况：当直线为某一投影面平行线时，它们是否相交需进一步判断之。

通常有两种方法：（a）用定比方法判定；（b）用两条直线的第三投影来判定。

3．交叉两直线
如图2—20，交叉两直线的同面投影可能相交，但各投影的交点不符合点的投影规律。

交叉两直线上对该投影面的一对重影点的投影。

可用它来判断这两直线的相对位置。

4．直角投影定理
（1）定理：a）空间两条互相垂直的直线，如果其中一条为某一投影面的平行线，则它们在该投影面上的投影仍互相垂直；
b）逆定理也成立；
c）垂直交叉的两直线仍具有上述特性。

（2）定理的应用：（P22）
§2—4 平面的投影
由初等几何学可知，不在一条直线上的三点、一条直线和线外一点、两平行直线、两相交直线可决定一平面；在投影图上可利用几何元素来表示平面。

但是形体上任何一个平面图形都有一定的形状、大小和位置。

从形状上看，常见的平面图形有三角形、矩形、正多边形等直线轮廓的平面图形。

一．平面的表示方法（几何元素表示法和迹线表示法）
1．不在一条直线上的三点；
2．一条直线和线外一点；
3．两平行直线；
4．两相交直线；
5．任意一平面图形。

图2—21迹线表示平面
二．平面在三面投影体系中的特性
平面的投影一般仍为平面，特殊情况下为一条直线。

平面投影的作图方法是将图形轮廓线上的一系列点（多边形则是其顶点）向投影面投影，即得平面投影。

三角形是最简单的平面，如图2—25所示，将△ABC三顶点向三投影面进行投影的直观图和三面投影图。

其各投影即为三角形之各顶点的同面投影的连线。

其它多边形的作法与此类似。

又此可见，作平面的投影，实质上仍是以点的投影为基础而得的投影。

图2—22一般位置平面的投影
图2—23投影面平行面的投影特性
平面形在三面投影体系中的位置可分为三种：
1．一般位置平面——对于三个投影面都倾斜平面
对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面，如图图2—22所示。

一般位置的三角形平面的投影情况，由于它对三个投影面都倾斜，所以三个投影仍为三角形，且不反映实形，都比实形缩小了。

由此得到一般位置平面的投影特性：
（1）类似性——在三个投影面上的投影均为相仿的平面图形，且形状缩小；
（2）判断——平面的三面投影都是类似的几何图形，该平面一定是一般位置平面。

2．投影面平行面——平行于一个投影面的平面
平行于一个投影面也即同时垂直于其它两个投影面的平面，称为投影面平行面。

如图2—23所示，投影面平行面有三种：水平面（∥H面）、正平面（∥V面）、侧平面（∥W面）。

三种投影面平行面的投影特征：
（1）真实性——如平面用平面形表示，则在其所平行的投影面上的投影，反映平面形的实形；
（2）积聚性——在另外两个投影面上的投影为直线段（有积聚性）且平行于相应的投影轴；
（3）判断——若在平面形的投影中，同时有两个投影分别积聚成平行于投影轴的直线，而只有一个投影为平面形，则此平面平行于该投影所在的那个投影面。

该平面形投影反映该空间平面形的实形。

1．投影面垂直面——垂直于一个投影面的平面
图2—24投影面垂直面的投影特性
仅垂直于一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。

如图2—24所示。

投影面垂直面有三种：铅锤面（⊥H面）、正垂面（⊥V面）、侧垂面（⊥W面）。

三种投影面垂直面的投影特征：
（1）积聚性——在其所垂直的投影面上的投影为倾斜直线段，该倾斜直线段与投影轴的夹角，反映该平面对相应投影面的倾角；
（2）相仿性——若平面用平面形表示，则在另外两个投影面上的投影仍为平面形，但不是实形；
（3）判断——若平面形在某一投影面上的投影积聚成一条倾斜于投影轴的直线段，则此平面垂直于积聚投影所在的投影面。