创新方案高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布第十节热点专题概率与统计中的热点问题课件
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第十五页，共41页。
(1)求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的
概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电
机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系：
年入流量 X 40<X<80 80≤X≤120 X>120
发电机多 1
可运行台数
2
3
第十六页，共41页。
若某台发电机运行，则该台年利润为 5 000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大， 应安装发电机多少台？
第十七页，共41页。
[听前试做] (1)依题意，p1＝P(40<X<80)＝1500＝0.2， p 2＝P(80≤X≤120)＝3550＝0.7， p 3＝P(X>120)＝550＝0.1. 由二项分布，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量 超过 120 的概率为 p＝C04(1－p 3)4＋C14(1－p 3)3 p 3＝1904 ＋4×1903×110＝0.947 7.
第十二页，共41页。
所以随机变量 X 的分布列为
X0 1 2 3
P
1 5
13 30
3 10
1 15
所以 E(X)＝0×15＋1×1330＋2×130＋3×115＝3370.
第十三页，共41页。
利用离散型随机变量的均值与方差，对现实 生活中的问题进行分析、作出决策是高考考查离 散型随机变量分布列、均值与方差的一个重要考 向，常与古典概型、二项分布、相互独立事件概 率等知识综合，以解答题的形式出现．
第三十页，共41页。
第三十一页，共41页。
(1)将 T 表示为 X 的函数； (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值 代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为 需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量 X∈[100,110)则取 X＝105，且 X＝105 的概率等于需求量 落入[100,110)的频率)，求 T 的均值．
第十八页，共41页。
(2)记水电站年总利润为 Y(单位：万元)． ①安装 1 台发电机的情形． 由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机 运行的概率为 1，对应的年利润 Y＝5 000，E(Y) ＝5 000×1＝5 000.
第十九页，共41页。
②安装 2 台发电机的情形．
依题意，当 40<X<80 时，一台发电机运行，此时
第三十二页，共41页。
[听前试做]：(1)T＝500X－300(130－X)＝800X －39 000，
当 X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
第三十三页，共41页。
(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元，当且仅当 120≤X≤150.由直方图知需求量 X∈[120,150]的频 率为 0.7，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元概率的估计值为 0.7.
第二十三页，共41页。
某电视台举办猜歌曲的娱乐节目：随机播放歌曲片 段，选手猜出歌曲名称可以赢取奖金．曲库中歌曲足够 多，不重复抽取．比赛共分 7 关：前 4 关播放常见歌曲； 第 5,6 关播放常见或罕见歌曲，曲库中常见歌曲与罕见 歌曲的数量比为 1∶4；第 7 关播放罕见歌曲，通过关卡 与对应的奖金如下表所示．选手在通过每一关(最后一关 除外)之后可以自主决定退出比赛或继续闯关，若退出比 赛，则可获得已经通过关卡对应的奖金之和；若继续闯 关但闯关失败，则不获得任何奖金.
Y ＝ 5 000 － 800 ＝ 4 200 ， 因 此 P(Y ＝ 4 200) ＝
P(40<X<80)＝p1＝0.2；当 X≥80 时，两台发电机运行，
此时 Y＝5 000×2＝10 000，因此 P(Y＝10 000)＝
P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得 Y 的分布列如下
Y 4 200 10 000
第三十六页，共41页。
统计以考查抽样方法、样本的频率分布、 样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算 为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实 际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起 来，只有这样才能有效地解决问题．
第三十七页，共41页。
(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2(同一组中的数据用该区间的中点 值作代表)；
第五页，共41页。
(2)X 的可能取值为 200,300,400. P(X＝200)＝AA2225＝110， P (X＝300)＝A33＋CA2153C13A22＝130，
a2D(X)
P (X＝400)＝1－P (X＝200)－P (X＝300)＝1－110－130＝100 300 400
第三十四页，共41页。
(3)依题意可得 T 的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4
所以 ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋ 61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.
第三十五页，共41页。
从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产 品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
①若比赛中，甲已顺利通过前 5 关，求甲闯过第 6 关的概率； ②在比赛前，甲计划若能通过第 1,2,3 关的任意一关，则继续； 若能通过第 4 关，则退出，求这种情况下甲获得奖金的均值； (2)设选手乙猜对罕见歌曲的概率为 p，且乙已经顺利通过前 6 关，当 p 满足什么条件时，乙选择继续闯第 7 关更有利？
第二十四页，共41页。
关卡 关卡奖金/元 累计奖金/元
1
1 000
1 000
2
2 000
3 000
3
3 000
6 000
4
4 000
10 000
5
8 000
18 000
6
12 000
30 000
7
20 000
50 000
第二十五页，共41页。
(1)选手甲准备参赛，在家进行自我测试时 50 首常见歌曲，甲 能猜对 40 首；40 首罕见歌曲，甲只能猜对 2 首，以甲在自我测试 中猜对常见歌曲与罕见歌曲的频率为概率．
(2)若乙通过前 6 关后退出比赛，可获得奖金 30 000 元， 设他继续闯第 7 关，可获得奖金 Y 元，则 Y 的可能取值 为 0,50 000， 所以 Y 的分布列为
Y 0 50 000 P 1－p p 所以 E(Y)＝50 000p，令 50 000 p＞30 000，解得 p＞35， 即当35＜p＜1 时，乙选择继续闯第 7 关更有利．
第八页，共41页。
某自助银行有 A，B，C 三台 ATM 机，在某一时刻 这三台 ATM 机被占用的概率分别为12，13，25，且这三台 ATM 机是否被占用互不影响．
(1)如果某客户只能使用 A 或 B 这两台 ATM 机，求 该客户不需要等待的概率；
(2)若 X 表示在该时刻这三台 ATM 机被占用的数量， 求随机变量 X 的分布列和均值．
第十四页，共41页。
[典题 2] 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显 示，水库年入流量 X(年入流量：一年内上游来 水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在 40 以上．其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的 年份有 5 年．将年入流量在以上三段的频率作 为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互 独立．
第九页，共41页。
解：(1)该客户不需要等待，即 A 或 B 这两台 ATM 机至少有一台不被占用，设事件 M 为“该客 户不需要等待”．
法一：由题意知 P(M)＝1－12×13＋12×1－13 ＋1－12×1－13＝56.
第十页，共41页。
法二：考虑用对立事件的概率求解． 设事件 N 为“该客户需要等待”，则 P(M) ＝1－P(N)，又 P(N)＝12×13＝16， 所以 P(M)＝1－P(N)＝56.
第二十六页，共41页。
解：(1)①甲闯过第 6 关的概率为15×4500＋45×420＝15. ②设甲获得的奖金为 X 元，则 X 的可能取值为 0,10 000， 所以其分布列为
Y 0 10 000 P 1－454 454 所以 E(X)＝0×1－454＋10 000×454＝4 096.
第二十七页，共41页。
第二十一页，共41页。
因此得 Y 的分布列如下： Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1
所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1 ＝8 620.
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安 装发电机 2 台．
第二十二页，共41页。
[解题模板] 解决均值与方差的应用问题的步骤
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是 正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示 直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检 测费用(单位：元)，求 X 的分布列和均值(数学期望)．
第四页，共41页。
[听前试做] (1)记“第一次检测出的是次品 且第二次检测出的是正品”为事件 A，P(A)＝AA12A52 13 ＝130.
第二十八页，共41页。
概率与统计作为考查学生应用意识的重要载体， 已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识 融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工 具性和交汇性．
第二十九页，共41页。
[典题 3] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内， 每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏 损 300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的 频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购 进了 130 t 该农产品．以 X(单位：t,100≤X≤150)表示下一 个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售 季度内经销该农产品的利润．
第十一页，共41页。
(2)由题意知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3， P(X＝0)＝1－12×1－13×1－25＝15； P (X＝1)＝12×1－13×1－25＋1－12×13×1－25＋ 1－12×1－13×25＝1330； P (X＝2)＝12×13×1－25＋12×1－13×25＋1－12×13 ×25＝130； P (X＝3)＝12×13×25＝115，
P 0.2
0.8
所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840.
第二十页，共41页。
③安装 3 台发电机的情形． 依题意，当 40<X<80 时，一台发电机运行，此时 Y＝ 5 000－1 600＝3 400，因此 P(Y＝3 400)＝P (40<X<80)＝p 1 ＝0.2；当 80≤X≤120 时，两台发电机运行，此时 Y＝ 5 000×2－800＝9 200，因此 P (Y＝9 200)＝P (80≤X≤120) ＝p 2＝0.7；当 X>120 时，三台发电机运行，此时 Y＝5 000×3 ＝15 000，因此 P(Y＝15 000)＝P (X>120)＝p 3＝0.1.
P
1 10
3 10
6 10
E(X)＝200×110＋300×130＋400×160＝350.
第六页，共41页。
离散型随机变量的均值和方差的求解，一 般分两步：
(1)定型，即先判断随机变量的分布是特殊 类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、 超几何分布等属于特殊类型；
第七页，共41页。
(2)定性，对于特殊类型的均值和方差可 以直接代入相应公式求解，而对于一般类型 的随机变量，应先求其分布列然后代入相应 公式计算，注意离散型随机变量的取值与概 率间的对应．
第一页，共41页。
第二页，共41页。
离散型随机变量的均值与方差是每年高考的热点，常 与古典概型、互斥事件、对立事件、事件的相互独立等相 结合考查，弄清随机变量的取值及其对应的概率是解决此 类问题的关键．
第三页，共41页。
[典题 1] (2015·安徽高考)已知 2 件次品和 3 件正品 混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测 一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检 测出 3 件正品时检测结束．
(1)求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的
概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电
机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系：
年入流量 X 40<X<80 80≤X≤120 X>120
发电机多 1
可运行台数
2
3
第十六页，共41页。
若某台发电机运行，则该台年利润为 5 000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大， 应安装发电机多少台？
第十七页，共41页。
[听前试做] (1)依题意，p1＝P(40<X<80)＝1500＝0.2， p 2＝P(80≤X≤120)＝3550＝0.7， p 3＝P(X>120)＝550＝0.1. 由二项分布，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量 超过 120 的概率为 p＝C04(1－p 3)4＋C14(1－p 3)3 p 3＝1904 ＋4×1903×110＝0.947 7.
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所以随机变量 X 的分布列为
X0 1 2 3
P
1 5
13 30
3 10
1 15
所以 E(X)＝0×15＋1×1330＋2×130＋3×115＝3370.
第十三页，共41页。
利用离散型随机变量的均值与方差，对现实 生活中的问题进行分析、作出决策是高考考查离 散型随机变量分布列、均值与方差的一个重要考 向，常与古典概型、二项分布、相互独立事件概 率等知识综合，以解答题的形式出现．
第三十页，共41页。
第三十一页，共41页。
(1)将 T 表示为 X 的函数； (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率； (3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值 代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为 需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量 X∈[100,110)则取 X＝105，且 X＝105 的概率等于需求量 落入[100,110)的频率)，求 T 的均值．
第十八页，共41页。
(2)记水电站年总利润为 Y(单位：万元)． ①安装 1 台发电机的情形． 由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机 运行的概率为 1，对应的年利润 Y＝5 000，E(Y) ＝5 000×1＝5 000.
第十九页，共41页。
②安装 2 台发电机的情形．
依题意，当 40<X<80 时，一台发电机运行，此时
第三十二页，共41页。
[听前试做]：(1)T＝500X－300(130－X)＝800X －39 000，
当 X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
第三十三页，共41页。
(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元，当且仅当 120≤X≤150.由直方图知需求量 X∈[120,150]的频 率为 0.7，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元概率的估计值为 0.7.
第二十三页，共41页。
某电视台举办猜歌曲的娱乐节目：随机播放歌曲片 段，选手猜出歌曲名称可以赢取奖金．曲库中歌曲足够 多，不重复抽取．比赛共分 7 关：前 4 关播放常见歌曲； 第 5,6 关播放常见或罕见歌曲，曲库中常见歌曲与罕见 歌曲的数量比为 1∶4；第 7 关播放罕见歌曲，通过关卡 与对应的奖金如下表所示．选手在通过每一关(最后一关 除外)之后可以自主决定退出比赛或继续闯关，若退出比 赛，则可获得已经通过关卡对应的奖金之和；若继续闯 关但闯关失败，则不获得任何奖金.
Y ＝ 5 000 － 800 ＝ 4 200 ， 因 此 P(Y ＝ 4 200) ＝
P(40<X<80)＝p1＝0.2；当 X≥80 时，两台发电机运行，
此时 Y＝5 000×2＝10 000，因此 P(Y＝10 000)＝
P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8.由此得 Y 的分布列如下
Y 4 200 10 000
第三十六页，共41页。
统计以考查抽样方法、样本的频率分布、 样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算 为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实 际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起 来，只有这样才能有效地解决问题．
第三十七页，共41页。
(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2(同一组中的数据用该区间的中点 值作代表)；
第五页，共41页。
(2)X 的可能取值为 200,300,400. P(X＝200)＝AA2225＝110， P (X＝300)＝A33＋CA2153C13A22＝130，
a2D(X)
P (X＝400)＝1－P (X＝200)－P (X＝300)＝1－110－130＝100 300 400
第三十四页，共41页。
(3)依题意可得 T 的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4
所以 ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋ 61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.
第三十五页，共41页。
从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产 品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
①若比赛中，甲已顺利通过前 5 关，求甲闯过第 6 关的概率； ②在比赛前，甲计划若能通过第 1,2,3 关的任意一关，则继续； 若能通过第 4 关，则退出，求这种情况下甲获得奖金的均值； (2)设选手乙猜对罕见歌曲的概率为 p，且乙已经顺利通过前 6 关，当 p 满足什么条件时，乙选择继续闯第 7 关更有利？
第二十四页，共41页。
关卡 关卡奖金/元 累计奖金/元
1
1 000
1 000
2
2 000
3 000
3
3 000
6 000
4
4 000
10 000
5
8 000
18 000
6
12 000
30 000
7
20 000
50 000
第二十五页，共41页。
(1)选手甲准备参赛，在家进行自我测试时 50 首常见歌曲，甲 能猜对 40 首；40 首罕见歌曲，甲只能猜对 2 首，以甲在自我测试 中猜对常见歌曲与罕见歌曲的频率为概率．
(2)若乙通过前 6 关后退出比赛，可获得奖金 30 000 元， 设他继续闯第 7 关，可获得奖金 Y 元，则 Y 的可能取值 为 0,50 000， 所以 Y 的分布列为
Y 0 50 000 P 1－p p 所以 E(Y)＝50 000p，令 50 000 p＞30 000，解得 p＞35， 即当35＜p＜1 时，乙选择继续闯第 7 关更有利．
第八页，共41页。
某自助银行有 A，B，C 三台 ATM 机，在某一时刻 这三台 ATM 机被占用的概率分别为12，13，25，且这三台 ATM 机是否被占用互不影响．
(1)如果某客户只能使用 A 或 B 这两台 ATM 机，求 该客户不需要等待的概率；
(2)若 X 表示在该时刻这三台 ATM 机被占用的数量， 求随机变量 X 的分布列和均值．
第十四页，共41页。
[典题 2] 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显 示，水库年入流量 X(年入流量：一年内上游来 水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在 40 以上．其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的 年份有 5 年．将年入流量在以上三段的频率作 为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互 独立．
第九页，共41页。
解：(1)该客户不需要等待，即 A 或 B 这两台 ATM 机至少有一台不被占用，设事件 M 为“该客 户不需要等待”．
法一：由题意知 P(M)＝1－12×13＋12×1－13 ＋1－12×1－13＝56.
第十页，共41页。
法二：考虑用对立事件的概率求解． 设事件 N 为“该客户需要等待”，则 P(M) ＝1－P(N)，又 P(N)＝12×13＝16， 所以 P(M)＝1－P(N)＝56.
第二十六页，共41页。
解：(1)①甲闯过第 6 关的概率为15×4500＋45×420＝15. ②设甲获得的奖金为 X 元，则 X 的可能取值为 0,10 000， 所以其分布列为
Y 0 10 000 P 1－454 454 所以 E(X)＝0×1－454＋10 000×454＝4 096.
第二十七页，共41页。
第二十一页，共41页。
因此得 Y 的分布列如下： Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1
所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1 ＝8 620.
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安 装发电机 2 台．
第二十二页，共41页。
[解题模板] 解决均值与方差的应用问题的步骤
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是 正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示 直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检 测费用(单位：元)，求 X 的分布列和均值(数学期望)．
第四页，共41页。
[听前试做] (1)记“第一次检测出的是次品 且第二次检测出的是正品”为事件 A，P(A)＝AA12A52 13 ＝130.
第二十八页，共41页。
概率与统计作为考查学生应用意识的重要载体， 已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识 融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工 具性和交汇性．
第二十九页，共41页。
[典题 3] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内， 每售出 1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏 损 300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的 频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购 进了 130 t 该农产品．以 X(单位：t,100≤X≤150)表示下一 个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售 季度内经销该农产品的利润．
第十一页，共41页。
(2)由题意知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3， P(X＝0)＝1－12×1－13×1－25＝15； P (X＝1)＝12×1－13×1－25＋1－12×13×1－25＋ 1－12×1－13×25＝1330； P (X＝2)＝12×13×1－25＋12×1－13×25＋1－12×13 ×25＝130； P (X＝3)＝12×13×25＝115，
P 0.2
0.8
所以，E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840.
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③安装 3 台发电机的情形． 依题意，当 40<X<80 时，一台发电机运行，此时 Y＝ 5 000－1 600＝3 400，因此 P(Y＝3 400)＝P (40<X<80)＝p 1 ＝0.2；当 80≤X≤120 时，两台发电机运行，此时 Y＝ 5 000×2－800＝9 200，因此 P (Y＝9 200)＝P (80≤X≤120) ＝p 2＝0.7；当 X>120 时，三台发电机运行，此时 Y＝5 000×3 ＝15 000，因此 P(Y＝15 000)＝P (X>120)＝p 3＝0.1.
P
1 10
3 10
6 10
E(X)＝200×110＋300×130＋400×160＝350.
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离散型随机变量的均值和方差的求解，一 般分两步：
(1)定型，即先判断随机变量的分布是特殊 类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、 超几何分布等属于特殊类型；
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(2)定性，对于特殊类型的均值和方差可 以直接代入相应公式求解，而对于一般类型 的随机变量，应先求其分布列然后代入相应 公式计算，注意离散型随机变量的取值与概 率间的对应．
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离散型随机变量的均值与方差是每年高考的热点，常 与古典概型、互斥事件、对立事件、事件的相互独立等相 结合考查，弄清随机变量的取值及其对应的概率是解决此 类问题的关键．
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[典题 1] (2015·安徽高考)已知 2 件次品和 3 件正品 混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测 一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检 测出 3 件正品时检测结束．