2022年 《示范1.6 三角函数模型的简单应用》优秀教案5

三角函数模型的简单应用
整体设计
教学分析
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用
三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习本节教材通过4个例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质特别是周期性的应用
通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等
三维目标
1能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型
2通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用体会和感受数学思想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力
3通过函数拟合得到具体的函数模型,提高数学建模能力并在探究中激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神
重点难点
教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取根本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题
教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1问题导入既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课
思路2我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用〞,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的
②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么
③上述的数学模型是怎样建立的
④怎样处理搜集到的数据
活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的根本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题
这点很重要,学生只要有了这个认知根底,本节的简单应用便可迎刃而解新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带着学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知
讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型
②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法
③解决问题的一般程序是:
1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；
2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；
3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；
4°复原:把数学结论复原为实际问题的解答
④画出散点图,分析它的变化趋势,确定适宜的函数模型
应用例如
例1 如图1, 某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数=inωφb
图1
1求这一天的最大温差;
2写出这段曲线的函数解析式
活动:这道例题是2021年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决
题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型其中第1小题实际上就是求函数图象的解析式,然后再求函数的最值差教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差〞实际指的是“求6是到14时这段时间的最大温差〞,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用第2小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式其中求ω是利用半周期14-6,通过建立方程得解
解:1由图可知,这段时间的最大温差是2021
2从图中可以看出,从6—14时的图象是函数=Ainωφb的半个周期的图象,
∴A=30-10=10,b= 3010=2021·=14-6,
∴ω=将=6,=10代入上式,解得φ=
综上,所求解析式为=10in2021[6,14]
点评:本例中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉
例2 2021全国高考函数=|in|的一个单调增区间是
A, B, Cπ,D,2π
答案:C
例3 如图2,设地球外表某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值
如果在北京地区纬度数约为北纬40°的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少
活动: 如图2本例所用地理知识、物理知识较多,综合性比拟强,需调动相关学科的知识来帮助理解问题,这是本节的一个难点在探讨时要让学生充分熟悉实际背景,理解各个量的含义以及它们之间的数量关系
首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球外表某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值
根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图3,由画图易知
太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系:
h0=htanθ
由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况
图3
解:如图3,A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度－23°26′依题意两楼的间距应不小于MC
根据太阳高度角的定义,
有∠C＝90°－|40°－－23°26′|＝26°34′,
所以MC＝=≈,
即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距
点评:本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型,然后根据所得的函数模型解决问题要直接根据图2来建立函数模型,学生会有一定困难,而解决这一困难的关键是联系相关知识,画出图3,然后由图形建立函数模型,问题得以求解这道题的结论有一定的实际应用价值教学中,教师可以在这道题的根底上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究
变式训练
某市的纬度是北纬23°,小王想在某住宅小区买房,该小区的楼高7层,每层3米,楼与楼之间相距15米要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡,他应选择哪几层的房？
图4
解:如图4,由例3知,北楼被南楼遮挡的高度为
h=15tan［90°-23°23°26′］=15tan43°34′≈,
由于每层楼高为3米,根据以上数据,
所以他应选3层以上
知能训练
课本本节练习1、2
解答:
轴的对称点处
点评:因为波从乙点传到戊点正好是一个周期,经过周期,波正好从乙点传到丁点,又因为在波的传播过程中,绳上各点只是上下震动,纵坐标在变,横坐标不变,所以经过周期,乙点位置将移至它关于轴的对称点处,即横坐标不变,纵坐标与图中的丁点相同
—1新闻联播节目播出的周期是1天
点评:了解实际生活中发生的周期变化现象
课堂小结
1本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图象建立解析式,根据解析式作出图象,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的根本步骤吗？
2实际问题的背景往往比拟复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取根本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题
作业
的函数关系
图5
I=Ainωφω>0,|φ|
0,0≤φ≤π为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为
1求函数f的解析式；
2假设inf＝,求inco的值
解:1∵f为偶函数,
∴f－＝f,即in－ωφ＝inωφ
∴φ＝
∴f＝inω＝coω
相邻两点代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象假设他将纵坐标改用2 cm代表一个单位长度,横坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式是什么？假设他将横坐标改用2 cm代表一个单位长度,而纵坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？
解:小明原作的曲线为=in,∈R,由于纵坐标改用了2 cm代表一个单位长度,与原来1 cm代表一个单位长度比拟,单位长度增加到原来的2倍,所以原来的1 cm只能代表个单位长度了由于横坐标没有改变,曲线形状没有变化,而原曲线图象的解析式变为＝in,∈R同理,假设纵坐标保持不变,横坐标改用2 cm代表一个单位,那么横坐标被压缩到原来的,原曲线周期就由2π变为π故改变横坐标后,原曲线图象的解析式变为＝in2,∈R
＝in实根的个数
解:由方程式模型构建图象模型
在同一坐标系内作出函数＝g和＝in的图象,如图10可知原方程的解的个数为3
图10
点评:单解方程是很困难的,而根据方程式模型构建图象模型,利用数形结合来解就容易多了,教师要让学生熟练掌握这一方法
知能训练
课本本节练习3
3此题可让学生上网查一下,下载有关人体节律的软件,利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人体节律曲线,它们都是正弦型函数图象,根据曲线不难答复题中的问题让学生在课下总结一下自己在什么时候应当控制情绪,在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加以锻炼,在什么时候应当保持体力,以利于学生的高效率学习
点评:通过解决可用三角函数模型描述的自身问题,让学生增强学习三角函数的兴趣,并进一步体会三角函数是描述周期性变化现象的重要模型,体会数学应用的广泛性
课堂小结
1让学生回忆本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题,用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来方案,以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用
2三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题,其解答流程大致是:审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活的运用三角函数的图象和性质解决现实问题
作业
图11
如图11,一滑雪运发动自h=50 m高处A点滑至O点,由于运发动的技巧不计阻力,在O点保持速率v0不变,并以倾角θ起跳,落至B点,令OB=L,试问,当α=30°时,L的最大值为多少当L取最大值时,θ为多大分析:此题是一道综合性题目,主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力首先运用物理学知识得出目标函数,其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题
解:由条件列出从O点飞出后的运动方程:
由①②,整理得v0coθ=,v0inθ=gt
∴v02gLinα=g2t2≥2=gL
运发动从A点滑至O点,机械守恒有mgh=mv02,
∴v02=2gh∴L≤=2021,
即L ma=2021
又g2t2==,
∴t=,=Lcoα=v0tcoθ=2gh··coθ,
得coθ=coα∴θ=α=30°
∴L最大值为2021,当L最大时,起跳倾角为30°
设计感想
1本节是三角函数内容中新增加的一节,目的是加强学生的应用意识,本节教案设计的指导思想,是让学生围绕着采集到的数据展开讨论,在学生思考探究的过程中,学会积极冷静地对待陌生背景,正确处理复杂数据以及准确分析问题中的数量关系,这很符合新课改理念
2现实生活中的问题是多变的,学生的思维是发散的,观察的视角又是多样的,因此课题教学中,教师要善于挖掘并发现学生思维的闪光点,通过讨论例题这个载体,充分激发学生的潜能,让学生从观察走向发现,从发现走向创造,走向创新
3学生面对枯燥的数据,潜意识里是讨厌的,因此教师要在有限的课堂时间里,着重解决物理背景下、地理背景下的三角函数的函数模型的选定,不要把时间浪费在一些计算上。