激光传输的基本理论

G G 通过对 P 与 E 作 Fourier 变换，得到：
∞
−∞
0
χ (1) (ω ) = ∫ χ (1) (τ )e iωτ dτ
0
χ (ω ) 是 依 赖 频 率 的 电 极 化 率 。 严 格 地 讲 (6) 式 是 不 正 确 的 。 介 电 常 数
(1)
ε = 1 + χ (1) 的实部和虚部分别代表折射率 n 和损耗系数 α ：
是十分关键的一步，对简化问题具有重要作用。在物理上，被分离的快变部分 是一个均匀平面波（共性部分） ，需要具体研究的对象只是余下的时空包络部 ；在数学上，提供了近似处理的条件，可以很大地简 分 A(r , t ) （特殊性部分） 化方程和有关的运算。 概念：<单色、相干、稳态>：数学上严格的单频震荡波是从无穷长的，因此是 相干的、稳态的。物理上的单色光是有限长度的，其频谱必然是有一定宽度， 我们常称为 CW 连续波(Continuous Wave)，以区别于脉冲波(Pulse)。他是稳态 的，在一定范围内（相干长度）是相干的。光脉冲的持续时间越短，其频谱越 宽，相干性也越差。
αc ⎞ nαc ⎛ 2 ε (ω ) = ⎜ n + i ⎟ ≈ n +i 2ω ⎠ ω ⎝ 1 n(ω ) = 1 + Re χ (1) (ω ) 2
2
[
]
(7)
nc 这里我们平常所讲的极化率、介电常数、折射率和损耗系数等概念都是特定频
α (ω ) =
ω
Im χ (1) (ω )
[
]
率的，而不是在时间域。 概念： <色散>： 介质的折射率 n 和损耗系数 α 均是频率的函数， 称为频率色散。 G 近似 3： 我们以下只讨论各向同性介质， 这样(i) χ (1) 和 ε 是标量数值， (ii) P 与 G E 之间的方向相同，光场可以保持规定的偏振方向。对于非各向同性介质中的 双折射等效应我们不考虑。 近似 4：我们将假定介质是均匀的，即 χ (1) 和 ε 不随空间坐标变化。 近似 5： 我们暂时忽略介质的损耗，即 ε = n 2 G G 由 ∇ ⋅ D = ε∇ ⋅ E = 0 所以： G G 1 ∂ 2 E 1 ∂ 2 t (1) G 2 ∇ E − 2 2 − 2 2 ∫ χ (t − τ ) E (τ )dτ = 0 c ∂t c ∂t −∞ G G 作 Fourier 变换， E (ω ) = ∫ E (t ) Exp(iωt )dt 在频率域中：
对23式作反fourier变换yxyxyxyxdkdk??tykxkizkkkkiexpkkatkziexp?zyxatzyxe??????????????2??0212225不同频率yxkk的有效传输常熟kkkkkyxz222?是不同的从而引起光束分布的变化即衍射
激光传输的基本理论
胡巍
本文将简要介绍激光传输的傍轴传输理论，分为线性介质传输、非线性传输 等二部分，包括了 Wave equation、Helmholtz Equation、Paraxial Equation 以及 Gauss 光束等的传输。
4i
∂A ⎛ ∂ 2 ∂2 ⎞ ⎟A = 0 +⎜ + 2 ∂z ′ ⎜ ∂y ′ 2 ⎟ ⎝ ∂x ′ ⎠
(12)
2. 准稳态传输
将 E(x, y, z, t ) = A(x, y, z)e i ( β 0 z −ω0t ) 代入方程(8)，作 Fourier 变换：
⎛ ∂2 ∂ 2 ⎞ 2 2 ⎜ ⎜ ∂z 2 + 2iβ 0 ∂z + ∇ ⊥ ⎟ ⎟ A(ω − ω 0 ) + β − β 0 A(ω − ω 0 ) = 0 ⎝ ⎠ nω 其中 β (ω ) = 。 c
似，以方便求解并突出主要物理过程。 G 近似 1：我们处理的光学介质是无电流、无自由电荷的，即 j = 0 , ρ = 0 。也
就是说光学介质大都是非导体。导体中不能传输电磁波。对于等离子体、半导 体等介质，其中可能含有电荷、电流，其传输现象需要更复杂的处理。 G 近似 2：介质是非铁磁体，即 M = 0 。 G G 于是得到 E 的方程（对 B 有同样的方程，下略） ： G G G G G 1 ∂2E ∂2P 2 ∇ × ∇ × E = ∇(∇ ⋅ E ) − ∇ E = − 2 2 − μ 0 2 (3) c ∂t ∂t G G G 其中利用了 μ 0 ε 0 = 1 / c 2 和矢量性质 ∇ × ∇ × E = ∇(∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E 。
足此近似。 由傍轴近似(10)式中第一项可以忽略。
∂A + ∇2 (11) ⊥A = 0 ∂z 这就是傍轴方程，Paraxial Equation, 是研究激光传输的基本方程。作归一化处理： 2iβ 0 x ′ = x / w, y ′ = y / w, z ′ = z / L ， L = β 0 w 2 / 2 衍射长度， w 为光束宽度，则
方向相同。
i
∓
≺
2
G 时刻以前的各个时刻 τ < t 的电场 E (τ ) 所决定的，而不是简单的由该时刻的瞬 G 时电场 E (t ) 所确定。也就是说电极化强度与产生电极化的场的历史有关：
t ∞ GL G G (1) P (t ) = ∫ ε 0 χ (t − τ ) E (τ )dτ = ∫ ε 0 χ (1) (τ ) E (t − τ )dτ
(
)
(13)

近似：慢变振幅近似，缓变包络近似，Slowly Varying Envelope Approximation： 光场包络在随时间的变化是缓慢的，变化速度远远小于震荡本身的变化，即在 一个光学周期的时间内上基本不变。数学上表示为：
第一部分 线性介质中的激光传输 §1 Wave Equation
1. Maxwell Equations
光的本质是电磁波，在经典物理学的范围内描述激光传输的基础是 Maxwell Equations。
G G ∂B ∇× E = − ∂t G G ∂D K (1) ∇× H = + j ∂t G ∇⋅D = ρ G ∇⋅B = 0 同时还有该包含三个介质方程： G G G D = ε0E + P G G G (2) B = μ0 H + M G K j = σE 原则上一切电磁现象都可以由以上 2 组方程E(ω ) + n (ω ) 2 E (ω ) = 0 c (8)式称为 Wave Equation, (9)式称为 Helmholtz Equation.
2
(9)

近似 6：上面式(8,9)中各个矢量分量之间已无关联，不失一般性，我们取 x 分 量为光的偏振方向，可以用一个分量的标量方程代替矢量方程。以下我们将只 讨论标量光场的传输。
i ∓ ≺ 1
2. 折射率的基本概念和唯象描述
折射率是介质和光场相互作用的表现：一方面，光波作用于介质，激发介质极 化，例如，使电中性的原子感生偶极矩，或使随机取向的极性分子有序化等。另 一方面，极化的介质又辐射次级电磁场，反作用于光波。折射率就是这种相互作 用的宏观描述。当光场不很强时，极化强度和外加电场成线性关系，表现为通常 的线性折射率；当光波电场足够强时，还必需考虑二阶，三阶及更高阶的极化， 相应的折射率需包含非线性修正项。 介质在外电场作用下，其分子、原子或离子（以下统称粒子）内部的电荷分布 和运动状态将发生一定形式的变化，从而感生出电偶极矩（矢量） ，这种现象称为 “极化” 。对于大量粒子集合的介质，极化的宏观效应可用单位体积中各粒子的感 应偶极矩矢量之和来描述，这就是极化强度矢量，定义为：
i
∓
≺
3
§2 传输方程
以下我们介绍激光的传输方程前，先给出几个概念。 概念：<传输>：我们关心的传输是一个在有限的时间-空间范围内分布的电磁 波包沿一定方向的演化过程，一般取 z 轴为传输方向。我们物理上关心的传输 问题应该是一个初值问题， 即给定初始位置 （一般 z = 0 处） 的光场分布 ( x, y, t ) ， 求解在一定距离 z 处光场的变化，但波动方程(8)式的性质决定其是边值问题。 概念： <稳态及准稳态电磁场>： 这相当于静电场或频率为 ω 的单色连续电磁场 情况。实际上最常见的情况是准稳态，典型例子是频率为 ω 0 的脉冲电磁场。 此时，场与物质的互相作用必然与时间过程有关，介质既不能瞬时地响应外场 脉冲的变化， 又会在脉冲过去后一段时间内遗留影响。 这就引出了 “响应时间” 和“弛豫速率”等问题。同时，脉冲场必然包含一定范围的频谱，尽管在频域 与介质极化的频谱分量之间有简单的对应关系， 但在时域上两者呈现较为复杂 关系。 概念：<复数表示法>：考虑波的震荡形式，我们可以用复数指数函数
G N G P = ∑ pi
i =1
(4)
G 其中， pi 为第 i 个粒子的偶极矩矢量， N 为单位体积中的粒子数。此式表明介质的
极化强度取决于两方面因素：一是单个粒子在外场作用下的感生电偶极矩；其次 是粒子密度及统计叠加特性。 显然，介质的极化强度与电场强度相关。在通常的弱场条件下，为线性关系， 而当外场足够强时，呈现非线性关系，可用下式表示： G G GG GGG P = ε 0 χ (1) ⋅ E + ε 0 χ ( 2 ) : EE + ε 0 χ ( 3) # EEE + "" 其中， χ
1． 稳态传输
稳态传输中包络不含时间， E(x, y, z, t ) = A(x, y, z)e i ( β 0 z −ω 0t ) ，同时方程(8)中的积 分可以简化：
i ∓ ≺ 4
其中 β 0 =
n 0ω 0 。 c
∂A ∂2 A + 2iβ 0 + ∇2 ⊥A = 0 2 ∂z ∂z
(10)
近似 7：Paraxial Approximation 傍轴近似：我们假定光束基本上是沿平行 z 轴 的方向传输，光场包络在沿 z 轴的变化是缓慢的，变化速度远远小于震荡本身 的变化， 即在一个波长的传输距离上基本不变。 数学上表示为：
∂A << β 0 A 或 ∂z
∂2 A ∂A << β 0 。这是我们传输光学中最重要的近似，我们的激光光束大都满 2 ∂z ∂z
一阶线性电极化率，是 2 阶张量，有 9 个分量； χ
（χ
( 3)
2 阶张量，有 9 个分量即：
(1) ⎛ PxL ⎞ ⎛ χ xx ⎜ L⎟ ⎜ (1) ⎜ Py ⎟ = ε 0 ⎜ χ yx ⎜PL ⎟ ⎜ χ (1) ⎝ z ⎠ ⎝ zx (1) χ xy (1) χ yy (1) χ zy (1) ⎞⎛ E x ⎞ χ xz ⎟⎜ ⎟ (1) χ yz ⎟⎜ E y ⎟ ⎟ (1) ⎟⎜ χ zz ⎠⎝ E z ⎠
E(x, y, z, t ) = A(x, y, z, t )e i ( β 0 z −ω 0t ) 表示震荡的场， 但不是任何情况都能简单地用复
函数代替实函数。(i)实际的物理量，如 E 应该是实数。(ii)用复数量代表是实数 量时，复数量的实部等于实数量。(iii)存在非线性项时，一般不能这样做，而 是要用下列表达形式： E = Re Ae i ( β 0 z −ω 0t ) =
[
] [Ae
1 2
i ( β 0 z −ω 0t )
+ c.c. 。(iv)对极端的超
]
短脉冲问题，须使用 CAS 信号，其虚部的选取是唯一的。 概念：<准单色场>：对准单色情况，我们可以把场用复数函数表示
E(x, y, z, t ) = A(x, y, z, t )e i ( β 0 z −ω 0t ) ，这对简化方程和数学运算都带来很大方便。这
(1)
(5)
( 2)
）是 2 阶（3 G 阶）非线性电极化率，是 3 阶（4 阶）张量。对于线性极化介质，电位移矢量 D 为： G G G G G G D = ε 0 E + P = ε 0 E + ε 0 χ (1) E = ε 0 εE (6) 其中的 ε = 1 + χ (1) 称为介电常数。 G G 概念： <电极化率张量>：P 与 E 之间的方向可以不同， 所以 χ ( i ) 是张量。χ (1) 是
3 阶张量有 27 个元素，4 阶张量有 81 个元素。由于介质本身的对称性，实际
独立的元素个数是比较少的。如介质是立方晶系的晶体或各向同性介质，则张 G G 量 χ (1) 只有对角元素是非零的且全部相等，张量退化为标量，即 P 与 E 之间的
G 概念：<因果性原理>：在给定时刻 t ，介质中感应的电极化强度 P (t ) ，是由该