江西省临川二中临川二中实验学校2020届高三数学上学期第三次月考试题理

江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三数学上学期第三次月
考试题 理
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四
个选项中，只有一个是符合题目要求的。

）
1．已知i 为虚数单位,复数z 满足：()z 12i i +=-，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知全集U =R ，集合{
}
2
|60A x x x =--≤，4|01x B x x -⎧
⎫
=≤⎨⎬+⎩⎭
，那么集合A ∩（C U B ）=（ ）
A ．{}|24x x -≤<
B ．{}|13x x -<≤
C ．{}|21x x -≤≤-
D ．{}|13x x -≤≤
3.已知向量(2,1),(,1)a b m ==-r r ，且()a a b ⊥-r
r r ，则m 的值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．1或3
D ．4
4.下列判断正确的是（ ）
A.“若sin cos ,x x =则4
x π
=
”的逆否命题为真命题
B .∀ x >0，总有1sin x e x >+
C .二次函数2()1f x x ax =-+在R 上恒大于0的充要条件是a < 2
D .已知扇形的弧长为1，半径为1，则该扇形的面积为1
5.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，19a =，
95
495
S S -=-,则67a a +=（ ） A .4- B . 4 C . 1- D . 8
6.已知锐角的终边与单位圆
交于点P 01(,)3
x ，则sin2=（ ）
A .
229 B .29- C . 2
9
D . 49
7.若,x y满足
30
230
x y
x y
y m
+-≤
⎧
⎪
--≥
⎨
⎪≥
⎩
，且2
z x y
=+的最小值为1，则实数m的值为（）
A.5
- B.1
- C.1 D.5
8.函数()sin cos
f x x x x
=+在[,]
-ππ上的大致图象是（）
9.《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵
4
3
时，堑堵
的外接球的体积的最小值为（）
A.
4
3
π
B.
82
3
π
C.
32
3
π
D.
642
3
π
10.设曲线()2
x
f x e x
=+(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为，总存在曲线
()sin
g x ax x
=-+上某点处的切线，使得，则实数a的取值范围为（）A．[1,2]
-B．(1,2)
-C．
1
(,1)
2
-D．
1
[,1]
2
-
11.设双曲线
22
22
1
x y
a b
-=F1，F2，过F1的直线分别交双曲线左右两支于点M，N.若以MN为直径的圆经过点F2,且，则双曲线的离心率为（）6B532
C1
12.函数()cos cos(2)3
f x x x x π
=
+-+在区间[]0,π上的值域是（ ）
A .[1,1]- B. 1,32
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
C.[1,3]-
D.[]2,1- .
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
()142
10.25lg
100-⨯-=———.
14.
3
3
(sin cos x x dx -+=⎰
______.
15.若A 、B 、C 、D 四人站成一排照相，A 、B 相邻的排法总数为k ，则二项式(1)k
x
k
-的展开式中含2x 项的系数为 ．
16.对于函数()f x 和()g x ，设{}{}|()0|()0x f x x g x αβ∈=∈=，，若对所有的αβ，都有-1αβ≤，则称()f x 和()g x 互为“零点相邻函数”.若函数1
()2x f x e
x -=+-与
2()3g x x ax a =--+互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是______.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.
17. （12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且2n n S a n =- (1) 证明数列{}1n a +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式; (2) 记(21)(1)n n b n a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18．（12分）已知向量a r =(cos ,1)x -，b r =1
,)2
x -，函数()()2f x a b a =+-r r r g
(1) 求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间;
(2) 在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数()f x 的图象经过点1
(,)2
A ，
b 、a 、
c 成等差数列，且9AB AC =u u u r u u u r
g ，求a 的值．
19．（12分）如图1，在△ABC 中，AC =2，∠ACB =90°，∠ABC =30°，P 是AB 边的中点，现把△ACP 沿CP 折成如图2所示的三棱锥A ﹣BCP ，使得10AB =． (1) 求证：平面ACP ⊥平面BCP ；
(2) 求平面ABC 与平面ABP 夹角的余弦值．
20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的
离心率为
2
2
，焦点分别为12F F ，，点P 是椭圆C 上的点，12PF F ∆面积的最大值是2． (1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r
，
判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由. 21.（12分）设函数211
()ln (1)1()22
f x x x ax a x a a R =+
-+++∈,()()g x f x '= (1) 若1a =-，求函数()g x 的单调区间；
(2) 若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.
（二）选考题：共10分.(请考生在22、23两题中选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分)
22．（10分）[选修4 - 4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为32x t
y t
=--⎧⎨
=+⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点,x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,点P 的极坐标532,
4
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，曲线C 的极坐标方程为22cos 4πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)若Q 为曲线C 上的动点,求PQ 中点M 到直线l 的距离最小值． 23.（10分）[选修4 - 5：不等式选讲] 已知函数()126f x x x =-+-
(1)求不等式(1)3f x +≤的解集；
(2)若函数()f x 的最小值为c ,且22+m n c =，求m+3n 的取值范围.
一． 选择题 DDBBA CABBD CC 二、填空题
14.92π 15.1124 16.72,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
三、解答题
17.(1)21n
n a =- （2）1
(23)26n n T n +=--g
18.（1）()sin(2)6
f x x π
=+
2T π
πω
=
=
函数的增区间为[,]36
k k k Z π
π
ππ-
+∈
（2）a = 19.（1）略
（2）cos 13
θ=
20（1）22
142
x y +=
（2）OMDN S =21.（1）函数g(x)的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）
（2）a ∈（-2，-1）∪（-1，0） 22.（1）l :x +y +1=0 C:（x-1）2
+（y+1）2
=1
（2）min 2
d =
23.（1）不等式的解集为72,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（2）3m n ⎡+∈-⎣。