高考数学一轮复习备课手册：第29课三角函数的最值问题

第29课 三角函数的最值问题
一、教学目标
1．会通过三角恒等变形，将函数关系式化为一个角的一种三角函数形式（即()sin()f x A x B ωϕ=++），然后借助于三角函数的图像和性质，求三角函数的最值和值域；
2．能利用换元、求导、数形结合等方法求三角函数的最值和值域。

二、基础知识回顾与梳理
1、函数()sin ,[,]63
f x x x ππ=∈的值域为 【教学建议】本题主要是帮助学生回顾三角函数的图像和性质，并进一步让学生知道连续函数的最大值和最小值不一定在端点处取得！
2、函数2()3sin(2)3
f x x π=-的最大值是 ，此时x 的值为 。

【教学建议】本题选自必修四第44页习题1.3第四题，主要是复习三角函数的最值、周期性，有了第1题的铺垫，不妨令23
t x π
=-，则转化为()3sin f t t =的最值问题，故问题迎刃而解。

3、函数()sin cos f x a x b x =+（,a b 均为正数）的最大值是 【教学建议】本题选自必修四第99页习题3.1第13题，是求三角函数最值（或值域）问题中的一种基本
模型。

处理方法：引入辅助角ϕ，化为())f x x ϕ=+,利用函数|sin()|1x ϕ+≤即可求解。

形如22()sin sin cos cos f x a x b x x m x n =+++型亦可以化为此类。

4、函数()sin cos 2f x x x =+的值域是 。

【教学建议】如何化简原函数？方向是什么？减少角的个数，将2x x →，得到2()2sin sin 1f x x x =-++ 再换元得2()21f t t t =-++，强调[1,1]t ∈-，结合二次函数的图像求解。

三、诊断练习
1、教学处理：课前由学生自主完成，并将解题过程扼要地写在学习笔记栏。

教师通过课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。

教师课上作适当点评，点评要精要，准确把握重、难点，揭示其中所蕴含的数学方法、思想，给学生以启迪、思考和指导。

2、诊断练习点评
题1：函数2()sin ,(,)63f x x x ππ
=∈的值域为 ； 【分析与点评】1(,1]2,学生要熟悉求三角最值两种最基本的方法：
1.函数图象法，
2.单位圆法. 结果注意区间开闭.
题2．函数()sin cos 6f x x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
的值域为 ．答案为：⎡⎣. 【分析与点评】
问题1：三角函数式化简的基本原则是什么？消灭三角函数式在“角、名（函数名称）、次（式子次数）”
等方面的差异性，走向统一，从而达到化简之目的。

问题2：如何统一三角函数名？往往是对两角和与差的正弦、余弦公式的使用，尤其是逆使用，即辅助角公式。

注意对辅助角公式的灵活运用。

题3．若函数()(1)cos ,02f x x x x π
=≤< ，则()f x 的最大值为 .
【分析与点评】
问题1：三角函数式化简的基本原则是什么？消灭三角函数式在“角、名（函数名称）、次（式子次数）”
等方面的差异性，走向统一，从而达到化简之目的。

问题2：此题如何消灭在“名称”上存在的差异？切化弦！易得()2sin()6f x x π
=+，追问角x 的范围的作
用是什么？如果改为求此函数的值域呢？体现整体思想和单调性的作用。

题4．已知2()tan 5tan f x x x =+(||4x π
≤)，则()f x 的最小值是 ．
【分析与点评】
问题1：这是什么函数？三角函数。

从整体上看，这又是什么函数？二次函数。

如何操作？
问题2：最值问题常与函数的哪个性质有关？单调性！如何研究二次函数的单调性？二次函数的最值是否
一定在对称轴取得？
3、要点归纳
（1）通过上述问题的交流,让学生了解:求三角函数值域（或最值）问题时，我们常常将所给函数化为熟知的函数类型如()sin()f x A x B ωϕ=++、二次函数等。

进而通过研究这些函数的单调性，求出原函数的值域（或最值）。

（2）求解的关键是借助三角公式将所给的三角函数式进行三角恒等变形，化为我们熟悉的、已知的函数模型，或用导数求极值，因此应要求学生熟记三角公式（特别是二倍角公式及其变形公式！）。

（3）强化函数定义域优先的意识。

化简过程中也应对自变量的取值范围所发生的变化进行仔细地考察，理解定义域发生变化后，值域（或最值）可能随之发生变化。

四、范例导析
例1、已知函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-.
（1）求()3
f π
的值； （2）求()f x 的最大值和最小值。

【教学处理】可让学生板演，教师点评；
【引导分析与精讲建议】
问题1：()3
f π
对应的具体表达式是什么？亦即目标要具体化!通过具体化发现是求特殊角的三角函数值，因此，不难求得答案。

问题2：()f x 可化简吗？化简的方向是什么？2x x →！消灭角上的差异性，统一为关于角x 的形式的
三角函数，经过化简发现是“cos x ”的二次函数型。

借助我们熟知的二次函数知识就可以顺利求解。

【变式】求函数()24sin cos 2f x a x x =--的最大值和最小值。

【引导分析与精讲建议】
问题：化简的方向？异角化同角得2()2sin 4sin 1f x x a x =-+，换元后转化为二次函数问题，其中要注
意什么？换元就要换范围！令sin t x =，则2()241f t t at =-+，问题转化为二次函数在“动轴定区间”上的最值问题，数形结合得解。

例1变式：求函数()24sin cos 2f x a x x =--的最大值与最小值.
解：max 34,034,0a a y a a -≤⎧=⎨+>⎩，2min 34,112,1134,1a a y a a a a +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩
变式2
：已知函数22sin sin cos (0)y a x x x a b a =-++≠的定义域为[0,]2π
，值域为[5,1]-，求
常数,a b 的值
变式3
：已知函数()2sin cos f x x x x x =++
（1）当x R ∈，求函数的值域；（2）当||4x π
<，求函数的值域
例2：已知3sin sin 2x y +=，求cos cos x y +的范围.
【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行
点评。

也可在学生恒等变形过程中遇到困难时，教师适时介入与学生交流，并给予指导。

【引导分析与精讲建议】
问题1：sin sin x y +与cos cos x y +有怎样的关系？
交流：平方和化简后可以用同一个函数式子表达.
问题2：求cos cos x y +的范围，用什么方法将其简化到式子中去？
交流：可以设cos cos a x y =+.
问题3：对于3sin sin 2x y +=中的,x y 是否能够任意取值？ 交流：受sin ,sin x y 自身范围的限制，[]1sin ,sin 1,1sin ,sin ,12x y x y ⎡⎤
∈-⇒∈⎢⎥⎣⎦.
问题4：经过运算得到()212cos 4
a x y =-+-，如何探求()cos x y -的范围？ 【点评】本题重点突出化归思想的教学，将要研究的量用同一个三角函数进行表达。

例3：（1）已知(0,)x π∈，求函数2sin sin y x x =+
的最小值． （2）已知(0,)x π∈，求函数3sin y θ=的最大值； （3）求函数(sin 2)(cos 2)y x x =--的最大、最小值．
【教学处理】要求学生独立思考并解题，点几名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进
行点评。

也可在学生恒等变形过程中遇到困难时，教师适时介入与学生交流，并给予指导。

【引导分析与精讲建议】
（1）题1直接利用三角函数的有界性，并直接利用基本不等式去求解。

（2）题2首先是对分数函数的一般的处理方式，然后回到题1的步骤去解决。

（3）sin sin a y x x
=+型三角函数求最值，当sin 0x >，1a >时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解．
（4）题3含有“正、余弦三姐妹”，即含有sin cos ,sin cos x x x x ±的函数的最值问题，常用的方法是令sin cos ,2x x t t ±=≤,将sin cos x x 转化为关于t 的函数关系式，从而转化为二次函数的最值问题．在转化过程中尤其要注意新变量t 的范围的确定。

例3变式： (1) 求函数2sin sin 2
x y x -=
+的最小值. (2) 若0<x <2
π，求函数11(1)(1)cos sin y x x =++的最小值. 解：(1) 42sin 411sin 2sin 23x y x x --==-≥++，所以最小值为13
(2) 11sin cos 1(1)(1)1cos sin sin cos x x y x x x x ++=++=+， 令sin cos ,2]t x x t =+∈，则21sin cos 2
t x x -⋅=，
∴22212112111111
2
t t t t y t t t t ++++=+===+----，
由1t <≤
，得3y ≥+
3+.
五、解题反思
1、求三角函数最值（或值域）的常用方法有：①配方法（主要利用二次函数性质及三角函数的有界性），如例1；②化为一个角的一个三角函数形式（主要利用和差角公式及三角函数的有界性），如例2；③基本不等式法，如例3（1）和（2）；④含有sin cos ,sin cos x x x x ±的，进行整体代换，转变成二次函数，如例3（3）。

2、三角函数的最值（或值域）都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间.
（1）求三角函数最值（或值域）时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及正、余弦函数的有界性，如例2中变式3.
（2）含参数的三角函数的最值问题，要注意参数的作用和影响。

如例2中变式2
3、要养成用设角的方法解决图形问题的意识，要掌握用导数方法求三角函数的最值的技能。