第1章波导模式

第1章 波导的模式
1. 简述光波导模式理论在优化设计和分析模拟光波导器件方面的重要性。

光波导是许多光电子器件的大体结构，如滤波器、波分复用器、路由器、波长变换器、调制器、开关、放大器、激光器等等，这些光电子器件在光通信网络中具有十分普遍的应用。

在优化设计和分析模拟这些光电子器件时都要涉及到有关光波导模式的大体理论，因此了解和掌握光波导模式理论就显得十分重要。

2. 光波导是如何的一种器件？
咱们明白，光束在介质中传输时，由于介质的吸收和散射而引发损耗，由于衍射而引发发散，这些情形都会致使光束中心部份的强度随传输距离的增大不断地衰减。

光波导是如此一种器件，它能使光束的能量在横的方向上受到限制，从而能够引导光束沿特定的方向传输，并使损耗和噪声降到最小。

光波导简称波导。

3. 简述三层平板波导的大体结构。

结构最简单的波导是由三层均匀介质组成的，中间的介质层称为波导层或芯层，芯层双侧的介质层称为包层或限制层。

芯层的折射率要比双侧包层的折射率大，使得光束能够集中在芯层中传输，从而起到导波的作用。

令
1
、
2
、
3
别离为波导芯、下包层和上包层的相对介电常数，n 1、n 2、n 3别离为相
应的折射率。

当n 1、n 2、n 3各自为常数时，称为陡变式折射率散布，或称为阶梯式折射率散布。

为了分析方便，常令123n n n >≥。

当23n n =时，称为对称型三层平板波导，当23n n ≠时，称为非对称型三层平板波导。

三层平板波导的横截面及相对介电常数散布如图所示。

24
68
10
2
4
6
810
b
b
b
x
ε3=ε2ε1
ε(x )
ε3ε1
ε20
ε(x )
x
y
x
上包层
下包层波导芯ε2 = n 2
2
ε1 = n 2
1
ε3 = n 2
3
(a) 横截面图 (b) 非对称型
1
> 2
>
3
(c) 对称型
1
>
2
=
3
(3题图) 三层平板波导的横截面及相对介电常数散布
4. 对光波导模式特性的分析，能够采用那些方式？各有什么特点?
对光波导模式特性的分析，能够采用射线光学理论。

射线光学理论的长处是对平板波导的分析进程简单直观，对某些物理概念能给出直观的物理意义，容易理解。

缺点是对于其他结构更为复杂的波导，射线光学理论不便于应用，或只能得出粗糙的结果。

光在本质上是一种电磁波。

研究光在波导中传输的最大体的方式是采用电磁理论，亦即波动光学理论。

这种方式是从麦克斯韦方程组动身导出波动方程和亥姆霍兹方程，在必然的边界条件下求其解。

一般而言，若想全面、正确地分析各类结构波导的模式特性，必需采用电磁理论，才能够给出波导模式全面、正确的解析结果或数值结果。

5. 什么是波导的模式？波导的模式类型有那些？并说明各类模式的入射角、有效折射率和传播常数的转变范围。

咱们把波导中所能传输的电磁场型称为波导的模式。

波导中的模式分为空间辐射模、衬底辐射模、导模和表面模等几大类。

空间辐射模、衬底辐射模和导模的入射角1
、效折射
率N 和传播常数的转变范围为
折射率散布 模式类型
1
N
n 1>n 2>n 3 空间辐射模 1310θθ≤< 30n N ≤< 300n k ≤<β
衬底辐射模 12113θθθ≤< 23n N n ≤< 2030n k n k ≤<β 导 模 . 12190θθ<≤ 12n N n ≤< 1020n k n k ≤<β
n 1>n 2=n 3 空间辐射模 1210θθ≤< 20n N ≤< 200n k ≤<β
导 模 12190θθ<≤ 12n N n ≤< 1020n k n k ≤<β
6. 什么是空间辐射模？
光在三层平板波导中传输时，从射线的角度来看，要不断地在波导的两个界面上发生反射和折射，如图所示。

当入射角θ1较小时，使得光在上下两个界面上都不发生全反射。

在这种情形下，光在传输进程中不断地有折射光进入上下包层，即光能量不断地从上下包层中辐射出去，这种模式称为空间辐射模。

(6题图) 空间辐射模
7. 什么是衬底辐射模？
若是入射角θ1增大到使光在上界面发生全反射但在下界面还没发生全反射，如图所示，此光阴在传输进程中不断地有折射光进入下包层，即光能量不断地从下包层
(有时也为衬底)中辐射出去，这种模式称为衬底辐射模。

(7题图) 衬底辐射模
8. 什么是导模？
若是入射角θ
1增大到使光在上下两个界面上都发生全反射，现在上下包层中再也不有折射光，如图所示。

在这种情形下，光能量再也不向包层中辐射，光被限制在波导芯中以锯齿波的形式沿z 方向传输，这种模式称为导模。

(8题图) 导模
9. 什么是表面模？
导模的有效折射率N 不可能大于波导芯的折射率n 1，传播常数β不可能大于k 0n 1，可是对于某些特殊结构的波导，如金属包层型波导和非线性波导，会出现其有效折射率N 大于波导芯折射率n 1的情形。

这种N > n 1的模式称为表面模。

10. 什么是“快波”？什么是“慢波”？
令真空中光波长为λ0，频率为f ，角频率为ω，在波导中光波长为λ，则波导中模式传播的相速度为
β
ωω
λωλ=
=
π=
=N
k N
f v 00
2 在上面讨论的几种模式中，辐射模的传播常数最小，因此辐射模的相速度最大，称为“快波”，而表面模的传播常数最大，因此表面模的相速度最小称为“慢波”。

11. 给出平板波导的标量亥姆霍兹方程的表达式，并论述其在分析平板波导模式特性方面的重要性。

平板波导的标量亥姆霍兹方程的形式为
()()[]
()0d d 22
02
2=-+x x k x
x ψβεψ 式中φ 代表电磁场6个分量E x 、E y 、E z 、H x 、H y 、H z 中的任何一个分量。

分析各类结构的波导的模式特性都是从亥姆霍兹方程动身，在必然边界条件下求其解，取得波导的特征方程和场散布函数，进一步数值求解特征方程则可取得波导的模有效折射率N 和相应的模传播常数β。

因此亥姆霍兹方程在分析平板波导模式特性方面具有十分重要性的意义。

12. 什么是本征模？本征模的作用是什么？
在必然的电磁场边界条件下求解波导的横向亥姆霍兹方程，可取得其一系列特解：场函数()x m ψ和传播常数m β，这些特解称为本征模。

在平板波导中存在两种大体的本征模式，一种称为TE 模，另一种称为TM 模。

而波导中其他形式的电磁场都能够按这两种大体模式进行傅里叶展开来表达。

13. 简述平板波导中的两种大体模式TE 模和TM 模。

平板波导中存在两种大体的本征模式TE 模和TM 模，用光的电场和磁场的偏振方向来概念比较直观。

选择电场只沿平行于波导界面的y 方向偏振，现在电场垂直于光的传输方向z ，是横向的，因此把这种模式称为横电模(Transverse Electric Mode)，又称为TE 模。

选择磁场只沿平行于波导界面的y 方向偏振，现在磁场垂直于光的传输方向z ，是横向的，因此把这种模式称为横磁模(Transverse Magnetic Mode)，又称为TM 模。

14. 平板波导TE 模的电磁场分量的表达式为
()00x E x = ()00z E x =
()()x E x H y x 0
00ωμβ
-
= ()00=x H y
()()000d j d y z E x H x x
ωμ=
试论述它们之间的彼此关系。

由上面公式可知，TE 模电磁场的6个分量中有3个分量为零，另外3个分量不为零，即E x 0(x ) = 0，E z 0(x ) = 0，H y 0(x ) = 0，E y 0(x ) ≠ 0，H x 0(x ) ≠ 0，H z 0(x ) ≠ 0。

还可看出，只要明白E y 0(x )的表达式，H x 0(x )、H z 0(x )的表达式都能够用E y 0(x )表示出来。

因此对于TE 模咱们只要求出E y 0(x )的表达式，则H x 0(x )和H z 0(x )的表达式亦可求出。

15. 给出平板波导TE 模的边界条件。

在波导介质层的分界面处，电场和磁场的切线分量都是持续的。

y 方向和z 方向都是介质分界面的切线方向，因此E y 0(x )、H z 0(x ) 在介质分界面处都是持续的。

由分量关系式()()000d j d y z E x H x x
ωμ=
可知，H z 0(x )持续相当于()0d d y E x x 持续。

令第i 层介质与第j 层介质在x = a 处存在一个介质分界面，则TE 模在x = a 处的边界条件可写为
()()()
()a E a E j y i y 00=
()
()
()
()
00d d d d i
j
y y E a E a x
x
=
16. 平板波导TM 模的电磁场分量的表达式为
()00x H x = ()00z H z =
()()x H x E y x 000ε
ωεβ
=
()00=x E y
()()000d j
d y z H x E x x
ωεε
=-
试论述它们之间的彼此关系。

由上面公式可知，TM 模电磁场的6个分量中有3个分量为零，另外3个分量不为零，
即H x 0(x ) = 0，H z 0(x ) = 0，E y 0(x ) = 0，H y 0(x ) ≠ 0，E x 0(x ) ≠ 0，E z 0(x ) ≠ 0。

还可看出，只要明白H y 0(x )的表达式，E x 0(x )、E z 0(x )的表达式都能够用H y 0(x )表示出来。

因此对于TM 模咱们只要求出H y 0(x )的表达式，则E x 0(x )、E z 0(x )的表达式亦可求出。

17. 给出平板波导TM 模的边界条件。

在波导介质层的分界面处，电场和磁场的切线分量都是持续的。

y 方向和z 方向都是介质分界面的切线方向，因此H y 0(x )和E z 0(x )在介质分界面处都是持续的。

由分量关系式
()()000d j
d y z H x E x x
ωεε
=-
可知，E z 0(x )持续相当于()0d 1
d y H x x
ε
持续。

令第i 层介质与第j 层介
质在x = a 处存在一个介质分界面，则TM 模在x = a 处的边界条件可写为
()()()
()a H a H j y i y 00= ()()()()00d d 11d d i j y y i j H a H a x x
εε=
18. 试由平均能流密度公式()
*⨯=
H E S Re 2
1
和平板波导TE 模电磁场的分量关系 ()00x E x = ()00z E x =
()()x E x H y x 00
0ωμβ
-
= ()00=x H y
()()000d j d y z E x H x x
ωμ=
导出TE 模在y 方向单位波导宽度上的传输功率P 的表达式
()()
x x E x x S P y z d 2d 2
00
⎰⎰∞
∞-∞
∞-=
=ωμβ
19. 试由平均能流密度公式()
*⨯=
H E S Re 2
1
和平板波导TM 模电磁场的分量关 ()00x H x = ()0z H z =
()()x H x E y x 0
00εωεβ
=
()00=x E y
()()000d j
d y z H x E x x
ωεε
=-
导出TM 模在y 方向单位波导宽度上的传输功率P 的表达式
()()x x H x x S P y z d 1
2d 2
00
⎰⎰∞
∞-∞
∞-=
=ε
ωεβ
20. 令三层平板波导的相对介电常数散布为
()()()
⎪⎩⎪⎨⎧∞<<≤≤<<∞-=x b b x x 3
1
200εεεε 式中b 为波导层厚度，123εεε>≥。

试由亥姆霍兹方程
()()()2022
002
d 0d y y E x k x E x x
εβ⎡⎤+-=⎣⎦
求出其TE 导模电场()0y E x 的场散布函数和特征方程。

(1) 场散布函数
()()()
()()[]
()()()[]()[]()
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧∞<≤--+≤≤+≤<∞-=x b b x b T b A b x x T x A x x A x E y 312112120exp sin cos 0sin cos 0exp γγγγγγ (2) 特征方程
321arctan arctan T T m b ++π=γ ()
,2,1,0=m 式中
212021βεγ-=k 22
0222εβγk -= 222303k γβε=-
2
21T γγ=
331
T γγ=
21. 令三层平板波导的相对介电常数散布为
()()()
⎪⎩⎪⎨⎧∞<<≤≤<<∞-=x b b x x 3
1
200εεεε 式中b 为波导层厚度，123εεε>≥。

试由亥姆霍兹方程
()()()2022
002
d 0d y y H x k x H x x εβ⎡⎤+-=⎣⎦
求出其TM 导模磁场()x H y 0的场散布函数和特征方程。

(1) 场散布函数
()()()
()()[]
()()()[]()[]()
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧∞<≤--+≤≤+≤<∞-=x b b x b T b A b x x T x A x x A x H y 312112120exp sin cos 0sin cos 0exp γκκγγγ (2) 特征方程为
321arctan arctan T T m b ++π=γ ()
,2,1,0=m 式中
212021βεγ-=k 22
0222εβγk -= 222303k γβε=-
12221T εγεγ=
13331
T εγ
εγ=
22. 什么是三层平板波导导模的功率限制因子?
导模的功率限制因子Γ 概念为波导芯中的传输功率P 1与波导中的传输总功率P 之比。

功率限制因子Γ是一个衡量波导对光场限制程度的参量，功率限制因子越大，进入包层中的倏逝场就越小，光场就越集中在波导芯中，芯中的传输功率就越大，因此波导对光场的限制就越好。

23. 解释三层平板波导的穿透深度和有效波导芯厚度的物理意义。

在以前的讨论中，当光在波导界面上发生全反射时，以为光就在入射点上发生反射，入射和反射在同一点上发生，也就是说以为入射点和反射点是同一个点。

这光阴在波导中的轨
迹是一个锯齿波，但实际上却不然。

Goos 和nchen a
H 二人曾于1947年在实验中发觉，光的反射并非发生在入射点上，光的反射点和入射点并非是同一点，反射点离入射点有一段距离或位移，如图1-5所示。

这是因为任何相移都要与必然的光程或位移相联系，光在界面上产生的全反射相移也不例外。

如此看来，光在波导上下界面处发生全反射时，入射光似乎并非是在实际界面上发生反射，而恍如是深切到折射率较低的包层中的某一点A 或B ，然后再反射回来。

点A 和B 到其相邻的波导界面的垂直距离x 3和x 2称为穿透深度。

波导芯的真实厚度b 与场在上下包层中的穿透深度x 3、x 2之和称为有效波导芯厚度。

正因为场能够穿过芯与包层的分界面而进入包层，其结果相当于增大了波导芯的真实厚度，这就是有效波导芯厚度的物理意义。

(23题图) 穿透深度和有效波导芯厚度
24. 试论述导模和辐射模的传播常数谱的特点。

导模的特征方程是传播常数β的超越方程，由它不可能取得β的解析解，只能取得β的数值解。

又因为这一方程中含有整数m ，取值不持续，因此β的取值也不持续，取分立值，即导模的传播常数组成份立谱。

辐射模的特征方程中含有持续转变的参量，因此辐射模的传播常数取持续值，即辐射模的传播常数组成持续谱。

25. 对称型三层平板波导中导模的有效折射率随波导芯厚度的转变曲线如图所示，试论述其转变规律。

3
69
12
15
1.465
1.4701.475
1.4801.485
1.4901.4954
5
3
2
1
m =0
N
b /μm
(25题图) 对称型三层平板波导中TE(实线)和TM(虚线)导模的有效折射率N 随波导芯厚度b 的转变曲线
图中能够看出，有效折射率N 随波导芯厚度b 的增大而增大，随模阶数m 的增大而减小，其中0阶导模的传播常数为最大。

当波导芯厚度给定后，传播常数取分立值，并组成份立谱。

在此算例中芯层与上下包层的折射率差较小，模阶数相同的TE 和TM 导模的传播常数趋于相同而接近简并，相应的TE 和TM 导模的传输曲线近于重合。

所谓简并，是指同一
个有效折射率的值对应两个或两个以上的模式。

若是芯层与上下包层的折射率差增加到足够大，这种简并将会被消除，相应的TE 和TM 导模的传输曲线将会分离。

当导模的有效折射率N 等于包层的折射率n 2时，2γ变成零，现在导模再也不存在，辐射模产生，称为导模截止，图中传输曲线与横轴的交点称为导模的截止点，这些截止点等间距散布。

图中能够看出，0阶导模的传输曲线通过坐标原点，即0阶导模的截至芯厚度等于0，这意味着对于任何芯厚度的对称型平板波导，TE 0和TM 0基模总能在其中传输，永不截止。

26. 对称型三层平板波导中导模的场散布如图所示，试论述其特点。

-10
-5
5
10
-1.5
-1.0-0.50.00.51.0
1.5m =2 x -b /2 /μm
x -b /2 /μm
E y 0(x ), H y 0(x )
E y 0(x ), H y 0(x )
-10
-5
510
-1.5-1.0
-0.50.00.51.01.5m =3
-10-5
5
10
-1.5
-1.0
-0.50.00.51.0
1.5m =0
-10-5
5
10
-1.5-1.0
-0.50.00.51.01.5m =1
(26题图) 对称型三层平板波导中TE 和TM 导模的场散布E y 0(x ) (实线)和H y 0(x ) (虚线)随波导横截面坐标x 的转变曲线，竖直的虚线为波导芯界面
对称型三层平板波导中，场散布以2
b
x =
为对称轴，由于介电常数是对称散布的，因此场有对称和反对称两种散布。

图中可见，对于偶阶模(m = 0, 2, 4,…)场是对称散布的，对于奇阶模(m = 1, 3, 5,…)场是反对称散布的。

电磁场分量的表达式可表示为
()()()[]z t x t z x βωψφ-=j ex p ,,，其振幅ψ(x )即为TE 和TM 导模的场散布函数，与空间位置
有关，其相位因子()[]z t βω-j ex p 具有平面波的形式，波导中的这种电磁波称为本地平面波。

对于导模，由场散布函数可知，x 方向的横场在波导芯中为余弦或正弦散布，而在芯双侧的包层中具有指数衰减的形式，在无穷远处变成零，包层中这种指数衰减的场称为倏逝场或消失场。

包层中的倏逝场衰减的快慢随2γ而定，包层的介电常数或折射率越大，2γ就越小，
场衰减得越慢。

当x 等于包层中的穿透深度即21γ-=x 和2
1γ+=b x 时，包层中的场强衰减
到边界场强的e
1。

在此算例中由于芯层和上下包层的折射率差较小，TE 和TM 导模的场散
布曲线大体重合。

若是芯层与上下包层的折射率差增加到足够大，TE 和TM 导模的场散布曲线将会彼此分离。

27. 非对称型三层平板波导中导模的有效折射率随波导芯厚度的转变曲线如图所示，试论述其转变规律。

03691215
1.465
1.4701.4751.4801.485
1.4901.4954
5
3
2
1
m =0
N
b /μm
(27题图) 非对称型三层平板波导中TE(实线)和TM(虚线)导模的有效折射率N 随波导芯厚度b 的转变曲线
图中能够看出，有效折射率N 随波导芯厚度b 的增大而增大，随模阶数m 的增大而减小，其中0阶导模的传播常数为最大。

当波导芯厚度给定后，传播常数取分立值，并组成份立谱。

当导模的有效折射率N 等于下包层的折射率n 2时，2γ变成零，现在导模再也不存在，辐射模产生，称为导模截止，图中传输曲线与横轴的交点称为导模的截止点，这些截止点等间距散布。

图中还可看出，与对称型平板波导的情形不同的是，非对称型平板波导0阶导模的传输曲线不通过坐标原点，即0阶导模的截至芯厚度大于0，这意味着对于非对称型平板波导，若要在其中进行模式传输，其波导芯厚度必需大于0阶导模的截至芯厚度，不然波导中不能进行光的传输。

在此算例中芯层与上包层的折射率差较大，模阶数相同的TE 和TM 导模的传播常数再也不相同，简并被消除，因此相应的TE 和TM 导模的传输曲线已分开。

28. 非对称型三层平板波导中导模的场散布如图所示，试论述其特点。

-5
5
10
15-1.5-1.0
-0.50.00.51.01.5m =2
x /μ
m x /μm
E y 0(x ), H y 0(x ) E y 0(x ), H y 0(x )
-5
51015
-1.5-1.0
-0.50.0
0.51.01.5m=3
-50
5
10
15
-1.5-1.0-0.50.00.51.0
1.5m =0
-50
5
10
15
-1.5-1.0
-0.50.00.51.01.5m =1
(28题图) 非对称型三层平板波导中TE 和TM 导模的场散布E y 0(x ) (实线)和H y 0(x ) (虚线)随波导横截面坐标x 的转变曲线，竖直的虚线为波导芯界面
非对称型三层平板波导中，由于介电常数是非对称散布的，因此场再也不有对称和反对称之分，场呈现非对称散布。

电磁场分量的表达式可表示为()()()[]z t x t z x βωψφ-=j ex p ,,，其振幅ψ(x )即为TE 和TM 导模的场散布函数，与空间位置有关，其相位因子()[]z t βω-j ex p 具有平面波的形式，波导中的这种电磁波称为本地平面波。

对于导模，由场散布函数可知，x 方向的横场在波导芯中为余弦或正弦散布，而在芯双侧的包层中具有指数衰减的形式，在无穷远处变成零，包层中这种指数衰减的场称为倏逝场或消失场。

下包层和上包层中的倏逝场衰减的快慢随2γ、3γ而定，由于下包层的介电常数或折射率比上包层的介电常数或折射率大，2γ比3γ小，因此场在下包层中衰减地比在上包层中慢。

当x 等于包层中的穿透深度即2
1γ-
=x 和21
γ+=b x 时，下包层和上包层中的场强衰减到边界场强的e 1。

在此算例中由
于芯层和上包层的折射率差较大，TE 和TM 导模的场散布曲线已经分离。

29. 什么是导模截止？
导模的有效折射率N 的转变范围为12n N n <<，在此范围内导模能够在波导中传输。

当导模的有效折射率N 等于下包层折射率n 2时，即N = n 2，导模不复存在，辐射模产生，称为导模截止。

30. 导模截止时，其有效折射率N 等于下包层折射率n 2，即N = n 2，试由对称型三层平板波导的特征方程
122arctan b m T γ=π+ () ,2,1,0=m
式中
212021βεγ-=k 22
0222εβγk -= 12221
s
T εγεγ⎛⎫= ⎪⎝⎭
s = 0对应于TE 导模，s = 1对应于TM 导模，导出下述物理量的表达式，并论述其与相关参量的关系：
(1) 波导中能够传输的导模数量； (2) 第m 阶导模截止时的波导芯厚度; (3) 第m 阶导模的截止条件； (4) 相邻两个导模截止点的间距。

(1) 给定波导芯厚度b ，当第m 阶导模截止时，波导中能够传输的导模数量为
()122
120
2n n b
m λ-=
能够看出，芯厚度b 越大，或芯与包层的折射率差越大，或工作波长0λ越小，则波导中所能传输的导模数量就越多。

当m 不为整数时，波导中所能传输的最高导模阶数为m max = int(m )，考虑到0阶模，因此波导中所能传输的导模数量为M = m max +1 = int(m )+1。

当m 恰为整数时，m max = m -1，考虑到0阶模，因此波导中所能传输的导模数量为M = m max +1 = m 。

(2) 给定波导芯厚度b ，波导中第m 阶导模截止时的波导芯厚度为
()(
)
2122
2
1
cut 2
n n m b m -=
λ
能够看出，模阶数m 越高，或工作波长0λ越大，或芯与包层的折射率差越小，则第m 阶导
模截止芯厚度()
m b cut 就越大，因此第m 阶导模就越容易截止。

(3) 给定波导芯厚度b ，波导中第m 阶导模的截止条件为
()
(
)
2122
2
1
cut 2
n n m b b m -=
≤λ
上式说明，当芯厚度b 等于或小于第m 阶导模的截止芯厚度()
m b cut 时，第m 阶导模截止。

对
于0阶导模，称为基模，m = 0，由上式知其截止芯厚度为()
00cut
=b ，这意味着对于任何芯厚度的对称型波导，TE 0和TM 0基模总能在其中传输，永不截止。

(4) 相邻两个导模截止点的间距为
()()
(
)
2122
2
1
cut 1cut 2
n n b b m m -=
-+λ
能够看出，相邻两个导模截止点的间距与模阶数无关，即各阶导模的截止点等间距排列。

还可看出，工作波长0λ越大，或芯与包层的折射率差越小，则相邻两个导模截止点的间距就越大。

31. 给出对称型三层平板波导中实现单模传输的条件。

在波导器件的实际应用中，常要求在其中使高阶导模截止，只传输TE 或TM 基模，这种波导称为单模波导。

因此在设计和制作单模波导时，其芯厚度要大于0而且小于或等于1
阶导模的截止芯厚度，则对称型三层平板波导中实现单模传输的条件为：()
1
cut 0b b <≤。

32. 导模截止时，其有效折射率N 等于下包层折射率n 2，即N = n 2，试由非称型三层平板波导的特征方程
321arctan arctan T T m b ++π=γ () ,2,1,0=m
式中
212021βεγ-=k 22
0222εβγk -= 222303k γβε=-
12221s T εγ
εγ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 31331
s
T γεεγ⎛⎫= ⎪⎝⎭
s = 0对应于TE 导模，s = 1对应于TM 导模，导出下述物理量的表达式，并论述与其相关参量的关系：
(1) 波导中能够传输的导模数量； (2) 第m 阶导模截止时的波导芯厚度; (3) 第m 阶导模的截止条件； (4) 相邻两个导模截止点的间距。

(1) 给定波导芯厚度b ，当第m 阶导模截止时，波导中能够传输的导模数量为
()12212(c)30
21
arctan n n b
m T λ-=
-π
式中
()()12
22
223(c)
13122223
12s
n n n T n n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭- 能够看出，芯厚度b 越大，或芯与包层的折射率差越大，或工作波长0λ越小，则波导中所能传输的导模数量就越多。

当m 不为整数时，波导中所能传输的最高导模阶数为m max = int(m )，考虑到0阶模，因此波导中所能传输的导模数量为M = m max +1 = int(m )+1。

当m 恰为整数时，m max = m -1，考虑到0阶模，因此波导中所能传输的导模数量为M = m max +1 = m 。

(2) 给定波导芯厚度b ，波导中第m 阶导模截止时的波导芯厚度为
()()(c)0
cut 31222121arctan 2m
b m T n n λ⎛⎫=
+ ⎪π⎝
⎭- 能够看出，模阶数m 越高，或工作波长0λ越大，或芯与包层的折射率差越小，则第m 阶导
模截止芯厚度()m b cut 就越大，因此第m 阶导模就越容易截止。

(3) 给定波导芯厚度b ，波导中第m 阶导模的截止条件为
()
()
(c)0
cut 31222121arctan 2m
b b m T n n λ⎛⎫≤=
+ ⎪π⎝⎭- 上式说明，当芯厚度b 等于或小于第m 阶导模的截止芯厚度()m b cut 时，第m 阶导模截止。

对
于0阶导模即基模，m = 0，知其截止芯厚度为
()
()
0(c)0
cut 312
2212
arctan 02b T n n
λ=
≠π-
这一点与对称型波导不同。

对于对称型波导，其0阶导模的截止芯厚度为零，这意味着对于任何芯厚度的对称型波导，TE 0和TM 0基模总能在其中传输，永不截止。

而对于非对称型波导，其0阶导模的截止芯厚度不为零。

因此在波导器件的设计和制作中，波导芯厚度应大于0阶导模的截止芯厚度，不然波导将不能导波。

(4) 相邻两个导模截止点的间距为
()()(
)
2122
2
1
cut 1cut 2
n n b b m m -=
-+λ
能够看出，相邻两个导模截止点的间距与模阶数无关，即各阶导模的截止点等间距排列。

还可看出，工作波长0λ越大，或芯与包层的折射率差越小，则相邻两个导模截止点的间距就越大。

33. 给出非对称型三层平板波导中实现单模传输的条件。

在波导器件的实际应用中，常要求在其中使高阶导模截止，只传输TE 或TM 基模，这种波导称为单模波导。

因此在设计和制作单模波导时，其芯厚度要大于0阶导模的截止芯厚度而且小于或等于1阶导模的截止芯厚度，则非对称型三层平板波导中实现单模传输的条件为
(0)(1)
cut cut b b b <≤
34. 设三层对称平板波导的芯厚度为2a ，芯层折射率为n 1，芯双侧包层折射率为n 2，其TE 导模电场E y 0(x )知足的亥姆霍兹方程为
()
0022
1202
02=-+y y E n k dx
E d β (芯内),
()
002
22022
02=--y y E n k dx
E d β (芯外)。

试把上述方程与质量为 μ 的粒子在阱宽为2a 、势垒高度为U 0的一维方势阱中波函数φ(x )和能级E 知足的薛定谔方程
02222=+φμ
φE dx d
(阱内), ()020222=--φμ
φE U dx d
(阱外) 相较较，利用势阱中只有单一能级的条件
()
12
022a U μπ
≤
找出在这种波导中只传输TE 0基模的条件。

应用类比法：
222012
2E
k n μβ→-
()
0222
022
2U E k n μβ-→-
上两式相加有
()222
0122
2U k n n μ→-
()()12
12
022
0122U k n n μ→-
()
()12
122
2001
2
12U k n n
μ→
-
()
()
12
1222001
2
2U k n n
μπ
π→
-
()
()
12
1222001
2
222a a U k n n
μπ
π≤
→≤
-
()
()
12
122201
2
2222a a U n n
λμπ
≤
→≤
-
所以在三层对称平板波导中只传输TE 0基模的条件为
()
12221
2
22a n n
λ≤
-。

35. 什么是一维限制的二维波导？什么是二维限制的三维波导？
上面讨论的三层平板波导，芯厚度是有限的，而芯宽度是无穷的，光场仅在芯厚度方向上受到限制，在芯宽度方向上不受限制，光场沿z 方向传输，属于一维限制的二维波导。

但实际上常见的波导结构有很多都是芯厚度和芯宽度都是有限的，即光场在芯厚度和芯宽度两个方向上同时受到限制，这种结构属于二维限制的三维波导。

36. 在什么情形下才能够把波导看成是二维平板波导？在什么情形下采用三维条形波导结构模型？
实际上常见的波导结构的芯厚度和芯宽度都是有限的，仅当波导的芯宽度的尺寸远远大于芯厚度的尺寸时，才能够把波导看成是二维平板波导。

当波导芯宽度的尺寸与芯厚度的尺寸可比拟时，即可采用三维条形波导结构模型。

37. 常见的条形波导有哪些结构？并加以说明。

几种常见的条形波导横截面的结构如图所示，说明如下：
图(a)所示的结构称为凸起条形波导，它是在衬底或下包层上生长折射率较大的芯层后，再对芯层进行掩膜光刻而形成的。

图(b)所示的结构称为嵌入条形波导，它是在衬底或下包层上光刻开槽后再填充折射率较大的介质而形成芯区。

图(c)所示的结构称为掩埋条形波导，它的芯区周围被折射率较小的同一种介质所包围。

图(d)所示的结构称为脊形波导，它是在衬底或下包层上生长折射率较大的芯层后，再对芯层进行掩膜光刻而形成的。

图(e)所示的结构称为加载条形波导，它是在衬底或下包层上依次生长折射率较大的芯层和折射率较小的加载层后，再对加载层进行掩膜光刻而形成的。

其中的凸起条形波导、嵌入条形波导和掩埋条形波导为矩形波导，而脊形波导和加载条形波导能够用有效折射率法或等效折射率法将其转化成等效平板波导或等效矩形波导后进行分析。

(37题图) 几种条形波导的横截面简图
(d) 脊形
(e) 加载条形
2
2(f) 坐标系
n。