2018届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时作业22函数y=Asin(ωx+φ)的

课时作业22函数y = A sin( 3 x + © )的图象及应用
基础达标演练
、选择题
1. (2016 •新课标全国卷I )将函数y = 2sin(2
x +n 6)的图象向右平移；个周期后，所得
图象对应的函数为(
)
A. y = 2sin(2 x +
于)
n
C. y = 2sin(2 x - -4)
解析：函数y = 2sin(2 x +n )的周期为n,所以将函数y = 2sin(2 x +卡)的图象向右平
6 6
n
n n
移"4个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为
y = 2sin[2( x — 4 ) +石]=2sin(2 x —
■—).故选D.
答案：D
n
B. y = 2sin(2 x + —)
n
D. y = 2sin(2 x — ■—)
2. =(
已知函数f (x) = A sin( 3x+ © ) |A>0,
3 >0, | © |<-2的部分图象如图所示，则A.
)
冗r 兀
D §
解析：由图可知A = 2, T = 4X i 3 —12 =冗，故3 = 2，又打器=2，所以2X 活+ $
n n n
n
=—+ 2k n (k € Z)，故 0=~3 + 2k n , k € Z ,又 | $ |< —，所以 $=-3.
2
3
2
3
答案：D
n
3. (2017 •渭南模拟)由y = f (x )的图象向左平移 -个单位长度，再把所得图象上所有
答案：B
4.已知3 >0,0< $ < n ,直线x =:和x
=二一是函数f (x ) = sin( 3 x + $ )图象的两条相
4 4
邻的对称轴，则 $ =(
)
n
B. §
3n
D 3?
5 n n
2 n
i 4 — 4
= 2n ,• 2n =二，即卩 3 = 1 ,
点的横坐标伸长到原来的
2倍，得到y = 2sin
3x —■n 的图象，贝y f (X )为(
A. 2sin |x+-6
€ 6丿
B.
2sin 6x-
■?
C. 2sin /+才
D. 2sin j 6x +n 3
解析：y = 2sin j 3x — 6
横坐标变为原来的井
v - 2sin
6x- — J
I 6 J
向右平督手个单位长度
----------------------- 吋-2sin [6(
T
T
、
打
77
；C .
7
解析：由题意得
/• f (x ) = sin( x + $ ),
上I n 1
•••f
— = sin
in 亍 + $ =± 1.
)
n
A. 7
•/ 0<$ < n ,
答案：A
平移午个单位后与原图象重合，则
3的最小值是(
)
4
C.
3
答案：A
6. (2017 •福建漳州三校联考 )设函数f (x ) = 3sin( 3 x + 0 ) 3 >0,—专<0 <专 的图
2 n
象关于直线x =-亍对称，它的最小正周期是 n,则( )
A. f (x )的图象过点 0, 1
b. f (x )图象的一个对称中心是：筈,0
c. f (x )在|；2，牛上是减函数
J 2
3
」
D.
将f (x )的图象向右平移I 0 |个单位得到函数 y = 3sin 3 x 的图象 解析：因为函数的最小正周期为
n ,所以3 = 2,又函数的图象关于直线 x =彳冗对称,
^2
^5 ■n .n /n
,
n
所以 2X ；n+0 = k n +_ ( k € Z).即 0 =
k n ( k € Z)，又一三 <0 < 石.所以 0 = * •
3 2 6 2 2
6
(n 、
•••函数的解析式为 f (x ) = 3sin i 2x +"6 .
r n
2 n n n i n 当存x <
i",即2x +
n €
旨,
时，函数f (x )不是单调减函数，故 C 不正确;
3
5 n
当x = 0时，f (0) = 2,故A 不正确；当x =石时，f (x ) = 0，所以函数f (x )图象的一个
5. (2017 •湖北武汉南昌区调研 )已知函数f (x ) =
>0)的图象向右
A. 3
D-
2n
2 n
2sin[ 3 (x —可)
+ -6] — 1 = 2sin 『
2 3 n n _2 3 n _
3 x — 3 + 6 — 1,所以 3 一 2k n , k € Z ,所以 3 — 3k , k € 乙因为
对称中心是
12 ,
0，故B 正确;
解析：将f (x )的图象向右平移
3
个单位后得到图象的函数解析式为
3 >0, k € Z ,所以3的最小值为3，故选A.
将f (x )的图象向右平移| $ |个单位得到函数y = 3sin( w x + — 3 | $ |)的图象，不是
函数y = 3sin w x 的图象，故D 不正确，故选 B.
答案：B 二、填空题
7. (2016 •江苏卷)定义在区间［0,3 n ］上的函数y = sin2 x 的图象与y = cos x 的图象的 交点个数
是
.
1
3 n 5 n
解析： 由 sin2 x = cos x 可得 cos x = 0 或 sin x = 2，又 x € [0,3 n ]，贝U x = -2, 或x = n ，5n, 些，竽，故所求交点个数是
7.
6 6 6 6
答案：7
& (2016 •新课标全国卷n )函数y = sin x - 3cos x 的图象可由函数 y = sin x + * 3cos x
解析： 函数 y = si n x — 3cos x = 2s in( x -才)的图象可由函数 y = sin x +• 3cos x =
I 1 7t 7t i A = 1, T
= 2 7 + 7 = n ，
的图象至少向右平移
个单位长度得
2sin( x +
的图象至少向右平移 婪个单位长度得到.
3
答案：I n
9. (2017 •辽宁沈阳名校联考
)函数f (x ) = A sin( w x +$ ) A >0,
w >0, i $ i< nn 的部
sin 2x
n +
n
解析: 分图象如图所示，若 X 1, X 2€
-6，3，且 f (x i ) = f (X 2)，贝y f (x i + X 2)=
T
=
2，由 f 令=1，得 sin
TT TT TT TT ,,
结合| $ |< —，得 $ =—，由f (X1)= f(X2)，知X1 + X2= 2X 12 =—，于是f(X1 + X2)= 答案：-2
10. (2017 •云南昆明一中考前强化)某港口水的深度y(米)是时间t(0 < t W 24,单位:
时)的函数，记作y = f(t)，下面是某日水深的数据，经长期观察，y= f(t)的曲线可以近似
地看成函数y = A sin w t + b(A>0, w >0)的图象.
t（时）03691215182124
y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据以上数据，可得函数y= f(t)的近似表达式为______________
解析：从表可以看出，当t = 0时，y = 10; t = 12时，y = 10,可知函数的最小正周期T
2 n n n
=12，由=12 得w=石，b= 10; 由t = 3 时，y= 13 得A sin + 10= 13,即A= 3,所w 6 2
n
以函数y = f (t)的近似表达式为y = 3sin ©t +10,0 W t W24.
答案：y = 3sin + 10,0 < t < 24
三、解答题
11. 已知函数f(x) = 2sin j2x—才+ 1.
(1) 求它的振幅、最小正周期、初相；
(2) 画出函数y= f (x)在］—才，"2上的图象.
解：(1)振幅为•. 2，最小正周期T= n，初相为一話
(2)图象如图所示.
12. 设 f (x ) = 2 3si n( n -x )sin x — (sin x — cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；
⑵ 把y = f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
2倍(纵坐标不变)，再把得到的
n
n
图象向左平移 可个单位，得到函数 y = g (x )的图象，求g (—)的值.
解：(1)由 f (x ) = 2 3sin( n — x )sin x — (sin x — cos x ) 2= 2 3sin 2x — (1 — 2sin x cos x ) =
3(1 — cos2x ) + sin2 x — 1
=sin2 x — 3cos2x + 3 — 1 =2sin(2 x -专)+
3— 1,
5 n
「亠
n n n,”_、 /口 n 5n,”-、
由 2k n — -^ W2x — 3 W2k n+~2(k € Z)，得 k n —乜三 x W k n + ^(k € Z).
所以f (x )的单调递增区间是
n
厂
⑵ 由(1)知 f (x ) = 2sin(2 x —石)+
3— 1.
3
(
毋
把y = f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
n
尸
得到 y = 2sin( x — 3 ) + ■ 3 — 1 的图象，
3
再把得到的图象向左平移3个单位， 3
得到y = 2sin x + • 3— 1的图象；
vU V r 即 g (x ) = 2sin x + . 3 — 1.
yKQ ¥
所以g (方=2sin 青+羽一1 = ^3.
生冲击名綾
1. (2017 •福建师大附中联考
)已知函数f (x ) = a s in x — , 3cos x 的图象关于直线 x =—
jr "6对称，且f (X 1)• f (X 2)= — 4，则|X 1+ X 2|的最小值为(
)
B.卫
n
[k
n —
12，
k
n
5 n
+ p]( k € Z).
(或(k n
冗
12, 5 n
k n + p)( k € Z))
2倍(纵坐标不变),
7t
3. (20i7 •湖南郴州第一次质量检测
)已知函数f (x ) = a sin x + b cos x (其中ab ^0)，且
5 n C.-6
D.
2n 解析：f (x ) = a sin x — 3cos x = a 2 + 3 sin( x — $ )其中 tan
•
n
••• f (x)的图象的对称轴为直线
x =——,
...f
n 1 3
6 =
—
—
2
得(a — 1) = 0,. a = 1. .f (x ) = 2sin x —-
n
.
f (x i ) • f (X 2)=— 4.
.直线x = x i , x = X 2是y = f (x )图象的两条对称轴，且 f (x )在x = x i 和x = X 2处的函数 值互为相反数.
-n n 2 n ~6 —
~6 =亍
. n
- n
“
令 X i =— =+
2k i
n ,
k i
€ Z , X 2=
+ 2k 2n ,
k 2Z ,则 |x i + X 2I min = 6 6
答案：D
数，它的部分图象如图所示，
M 是函数f (x )图象上的点，K , L 是函数f (x )的图象与X 轴的
n
i
$ = 2，所以 f (x ) = ^sin
n
n X +
=~cos n x .
答
案： i
^cos n
X
交点，且△ KLM 为等腰直角三角形，则 f (x ) = ____________
Q
A
以3= 彳=n ，则函数f (x )=尹n( n X + $ ) •又函数f (x )为偶函数，则 $ = k n +专,
因为0< $ <n ，所以
对任意x € R,有f (x ) W f n ，给出以下命题：① a = b ；②f x + -4为偶函数；③函数 y =
f (x )的图象关于点
，0对称；④函数y = f '( x )的图象可由函数 y = f (x )的图象向左平
n 1 一
移_2得到；⑤函数f (x )在y 轴右侧的图象与直线 y = q a 的交点按横坐标从小到大依次为 P ,
F 2, P 3, P 4,…，贝U | P 2P 4I = 2n .
解析：f (x ) = a sin x + b cos x = a 2 + b 2
sin( x + $ ),其中 tan $ = 对任意 x € R,有 f (x ) W 4 .则 sin 『；+ $ = 1, $ =寸
+ 2k n (k € Z) •
n
b
①项，0 =〒+ 2k n , tan $ =~ = 1, a = b ，故①项正确;
4 a ②项，由上可得f (x ) =*』a 2+ b 2sin j x + —
则 f i x + -^ =
a 2+
b 2sin |x + y + -
=,a 2+ b 2cos x ，为偶函数，故②项正确；
n
③项，函数y =f (x )的图象的对称轴为
x = 4 + k n ,
项错误;
•••④项错误.
⑤项，根据正弦函数图象的性质，
| Pp 4| = T = 2 n ，故⑤项正确.故本题正确答案为①
②⑤•
答案：①②⑤
4.已知函数 f (x ) = 2cos n x • cos 2_2 + sin[( x + 1) n ] • sin cos n x[o<0
其中正确命题的序号是
•(将所有正确命题的序号都填上 )
7
t
对称中心为i 乎+ k n , 0，故③
7
t
④项f (x ) =7a 2+ b 2sin 'x+—r
<n 的部
f ，( x )=
分图象如图所示.
⑴求$的值及图中X o的值;
最大值和最小值.
由题图可知，cos $=¥,
n n
又0<$ <2，所以$-6
⑵由⑴可知f (x) = cos n x + nn，将图象上的各点向左平移彳个单位长度得到y =
=
cos n
x+3的图象，然后将各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来
A r\
n x+ n^ = o,即x = —3时，g( x)取得最大值.3;当n x+ nn = n
⑵将函数f(X)的图象上的各点向左平移1
个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标6
不变，纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数g( X)的图象,
解：⑴ f(x) = 2cos n x • cos2
+ sin[( x + 1) n ] • sin $COS n
x
cos n x •2cos2-2 —1 —sin n x •sin =cos n x • cos $ —sin n x • sin $ = cos( n x +
又cos n X o+~6 ，所以
n 11 n
n
x o
+
石，所以
cos
的.3倍后得到g( x) = . 3cos (n x + n3 的图象.因为x € -| —111 n n
2, 3，所以—E —x +E 三
71
n 2 n 3可.
所以当
1
3，即x=3时，
g(x )
求函数g(x)在区间i—2
取得最小值-于.。