最新-江苏高二数学复习学案+练习8 函数的奇偶性与对

学案8 函数的奇偶性与对称性
一、课前准备： 【自主梳理】
1.奇偶函数的定义：一般地，对于函数()f x 的定义域内的________一个x ，都有____________，那么()f x 就叫做奇函数．对于函数()f x 的定义域的________一个x ，都有______________，那么()f x 就叫做偶函数．
2．奇偶函数的性质：⑴具有奇偶性的函数，其定义域关于 对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于_________对称．
（2）一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于__________对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于__________对称．
（3）若奇函数)(x f 的定义域包含0，则=)0(f ___________．
（4）定义在R 上的任意函数)(x f 都可以表示成一个奇函数=)(x g _____________和一个偶函数=)(x h ______________的和．
（5）在定义域的公共部分内，两个奇函数之积（商）为___________；两个偶函数之积（商）为____________；一奇一偶函数之积（商）为_____________（注：取商时应使分母不为0）． 3．函数图像的对称性：（1）定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图像关于_________对称．
（2）定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x a f x a f --=+，则)(x f 的图像关于_________对称． 【自我检测】
1．对于定义在R 上的函数)(x f ，下列判断正确的是__________．
①若(2)(2)f f -=，则函数()f x 是偶函数；②若(2)(2)f f -≠，则函数()f x 不是偶函数； ③若(2)(2)f f -=，则函数()f x 不是奇函数．
2．给出4个函数：①24
1()3x f x x +=-；②()25f x x =-+；③1()lg 1x f x x -=+；④1
()1
x f x x -=+． 其中 是奇函数； 是偶函数； 既不是奇函数也不是偶函数．
3.已知2
2
()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++为奇函数，则=m ______,=n _________． 4.函数x x x f -=3)(的图像关于点__________对称．
5.函数1sin )(3++=x b ax x f ，若2f =，则(f 的值为___________．
6.已知函数)(x f 是定义在R 的奇函数，则函数)()()(x f x f x g --=的奇偶性是________． 二、课堂活动：
【例1】填空题：
（1）函数()11f x x x =++-是_________函数．（填奇偶性）
（2）已知函数b a bx ax x f +++=3)(2，其定义域为[]a a 2,1-，则)(x f 为偶函数的充要条件为_________________．
（3）已知()f x 是R 上的奇函数,且当(0,)x ∈+∞时,()(1f x x =,则()f x 的解析式为____________________．
（4）若函数x
x k k x f 2
12)(⋅+-=是奇函数，则=k ___________．
【例2】判断下列各函数的奇偶性：
（1）()(f x x =-（2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（3）22(0)()(0)x x
x f x x x
x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩
【例3】
（1）已知函数)(x f 是偶函数，当[)1,0∈x 时，x x f -=1)(，又)(x f 的图象关于直线1=x 对称，求)(x f 在[)1,2--上的解析式；
（2）若函数()f x 是偶函数，定义域为[1,1]-且在区间[1,0]-上为增函数，解关于x 不等式
)3()15(x f x f <-．
课堂小结
三、课后作业
1.下列函数中，是偶函数的是____________.
①2()f x x =②()1f x x =+ ③2
2
()f x x x -=+ ④2()[2,2)f x x x x =+∈-
2.若函数()log (a f x x =是奇函数，则实数a = .
3.奇函数()f x 的定义域是R ，当0x >时，2
()22f x x x =-++，则()f x 在R 上的表达式为
_______________.
4.已知)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，若1
1
)()(-=
+x x g x f ，则)(x f 的解析式是_________. 5.若函数()()(2)(,)f x x a bx a a b R =++∈常数是偶函数，且它的值域为(],4-∞，则该函数的解析式为__________________.
6.若函数()y f x =是定义在[1,1]-上
的奇函数，且在[]0,1-上为减函数，若2(1)(45)0f a a f a --+->，则实数a 的取值范围为________________.
7.若奇函数()f x 满足(3)1,(3)()(3),f f x f x f =+=+则3()2
f =_____________. 8.已知()f x 是定义R 在上的偶函数，并满足)
(1
)2(x f x f -
=+，当32≤≤x 时，x x f =)(，则)5.5(f 的值为__________.
9.函数()(0)y f x x =≠是奇函数，且当(0,)x ∈+∞时是增函数，若(1)0f =，求不等式
1
[()]02
f x x -<的解集.
10.已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+. （1）求证：()f x 是奇函数； （2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f .
学案10 函数的奇偶性与对称性答案
一、课前准备： 【自主梳理】
1.任意，)()(x f x f -=-，任意，)()(x f x f =-.
2.（1）原点，原点.（2）原点，y 轴.（3）0.（4）2)()()(x f x f x g --=，2
)
()()(x f x f x h -+=.
（5）偶函数，偶函数，奇函数. 3.（1）直线a x =.（2）点()0,a . 【自我检测】 1.②.
2.③，①，②④.
3.2,1-=±=n m .
4.()0,0 .
5.0.
6.奇函数.
二、课堂活动：
【例1】（1）偶.（2）0,31==b a .（3
）(10
()(10
x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩.（4）1.
【例2】【解析】（1）由101x
x
+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数．
（2）由2
210
|2|20
x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)-，∴22
lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-， ∵2222
lg[1()]lg(1)
()()x x f x x x ----=-=-
-()f x = ∴()f x 为偶函数． （3）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，
当0x >时，0x -<，则22
()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，
综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数．
【例3】【解析】（1）∵)(x f 的图象关于直线1=x 对称，∴)1()1(x f x f -=+，即
)2()(x f x f -=．
当[)2,1∈x 时，1)2(1)2()(-=--=-=x x x f x f ．
又()f x 为偶函数，∴[)1,2--∈x 时，1)()(--=-=x x f x f ． （2）∵函数()f x 是偶函数，定义域为[1,1]-且在区间[1,0]-上为增函数， ∴)(x f 在[]1,0上为减函数.∴由)3()15(x f x f <-得：)3()15(x f x f <-
∴x x 315>-，即：81<x 或21>x ，又131,1151≤≤-≤-≤-x x ，即310≤≤x ∴不等式的解为：8
1
0<≤x ．
三、课后作业 1.③.
2.
． 函数是实数R 上的奇函数 2
202log 0)0(2=
∴=∴=∴a a f a 3. 22220()0
0220x x x f x x x x x ⎧+-<⎪
==⎨⎪-++>⎩
． 4.1
1
)(2+=
x x f ． 5.42)(2+-=x x f ．
6.2
33
31+-<≤a ． 7.
2
1
． 8.2.5．【解析】
11
(4)[(2)2]()4
1(2)()
(5.5)(1.54)(1.5)(1.5)(1.54)(2.5)23()(2.5) 2.5(5.5) 2.5
f x f x f x T f x f x f f f f f f x f x x f f +=++=-
=-=∴=+-∴=+==-=-+=≤≤=∴=∴=函数的最小正周期为时，
9.【解析】
111
[()]00()1()-1222
f x x x x x x -<∴<-<-<由题得或 ，
解之得1{|
0}2x x x <<<<，
所以不等式的解集为111{|
0}244
x x x <<<<. 10. 【解析】
（1）显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中，
令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =， ∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数． （2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数， 得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-．
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