精选最新2019高中数学单元测试《立体几何初步》专题模拟题(含答案)

2019年高中数学单元测试卷
立体几何初步
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．已知三棱柱111ABC A B C -的
6
个顶点都在球O 的球面上,若
34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为
（ ）
A
B
．
C ．
132
D
． （2013年高
考辽宁卷（文））
2．正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为
A
．
3
B
．
3
C ．
23
D
．
3
全国I ）文 3． 四棱锥P ABCD -底面为正方形,侧面PAD 为等边三角形,且侧面PAD ⊥底面
ABCD ,点M 在底面正方形ABCD 内运动,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD
内的轨迹一定是 （ ）
4．
1．有下列四个命题：
①过平面外一点平行于此平面的所有直线必在同一平面内；②平行于同一平面的两条直线平行；③过平面外一点作与该平面平行的平面，有且只有一个；④分别在两个平行平面内的两条直线一定平行。

其中真命题的个数是-------------------------------------------------------------------------------------A
B
C
D
C.
A
B
C
D
A.
A B
C
D
B.
A
B
D.
第17题图
（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 二、填空题
5．已知βα,表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”的______________条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出一种填空.）
6．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，
F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使 平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．
7．用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题，正确的有 ． ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b .
8．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是__________寸.
(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) （2013年高考湖北卷（文））
9．如图，倒置的顶角为60°的圆锥形容器，有一个实心铁球浸没于容器的水中，水面恰好与球相切，若取出这个铁球，测得容器的水面深度为3
15cm ，则这个铁球的表面积为 ▲ cm 2.
10．已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题： ①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确命题的序号是 11．下列四个命题：
①若αα⊂b a ,//则b a //，②若αα//,//b a 则b a // ③若α⊂b b a ,//则α//a ，④若b a a //,//α则α//b 或α⊂b 其中为真命题的序号有 ☆ ．（填上所有真命题的序号）④ 12．用a b c 、、表示三条不同的直线，γ表示平面，有下列四个命题： ①若a //b ,b //c ,则a ∥c ; ②若a ⊥b ,b ⊥c ,则a c ⊥; ③若a //γ,b //γ,则a ∥b ; ④若a ⊥γ,b ⊥γ,则a ∥b ． 其中正确的命题是 ．
13．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均等于1，且1160A AB A AC ∠=∠=，则该三棱柱的体积是 ▲ ．(江苏省徐州市2011届高三第一次调研考试)
4
14．正三棱锥ABC P -高为2，侧棱与底面成0
45角，则点A 到侧面PBC 的距离是
15．关于直线,m n 和平面,αβ，有以下四个命题：
①若//,//,//m n αβαβ，则//m n ；②若//,,m n m n αβ⊂⊥，则αβ⊥； ③若,//m m n α
β=，则//n α且//n β；④若,m n m αβ⊥=，则n α⊥或n β⊥.
其中假命题的序号是 ．
16．空间四边形的对角线长相等，则各边中点连线构成的图形是_____________________
A
B
C
A 1
B 1
C 1
（第11题）
三、解答题
17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上
一点，PF EC ⊥. 已知,2
1
,2,2=
==
AE CD PD 求： （Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离； （Ⅱ）二面角E PC D --的大小
.
18．在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC
ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD . （1）求证：PA ⊥平面ABCD ；
（2）若平面PAB ⋂平面PCD l =，问：l 直线能否与平面 ABCD 平行？请说明理由. （本小题满分16分）
19．如图：AD=2,AB=4的长方形ABCD 所在平面与正PAD ∆所在平面互相垂直，Q M ,分别为AD PC ,的中点．
（1）求四棱锥P -ABCD 的体积；（2）求证：//PA 平面MBD ；
（3）试问：在线段AB 上是否存在一点N ，使得平面⊥PCN 平面PQB ？若存在，试指出点N 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．（本题满分16分）
20．四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面B C D E ，
,2,2==CD BC AB AC =．
（1）取CD 的中点为F ，AE 的中点为G ，证明：||FG 面ABC ； （2）证明：AD CE ⊥．
21．如图，平面⊥ABDE 平面ABC ，BC AC ⊥，BC AC =，四边形ABDE 是直角梯形，AE BD //，BA BD ⊥，BD AE 2=.O ，M 分别为CE ，AB 的中点. （1）证明：//OD 平面ABC ；
（2）在EM 上是否存在一点N ，使得⊥ON 平面ABDE ？若存在，请指出点N 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.
C
D
E
A
B
22．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知90o
ACB ∠=，M 为A 1B 与AB １的交点，N 为棱B 1C 1的中点
（１） 求证：M N ∥平面AA １C １C （２） 若AC ＝AA 1，求证：MN ⊥平面A 1BC
23．如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO
的中点，4AB BC AC ===
，PA PC == （1）PA ⊥平面EBO ； （2）FG ∥平面EBO ．
【证明】由题意可知，PAC ∆为等腰直角三角形， ABC ∆为等边三角形． …………………2分
（1）因为O 为边AC 的中点，所以BO AC ⊥， 因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC
平面ABC AC =，
BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ． …………………5分
因为PA ⊂平面PAC ，所以BO PA ⊥，
在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点，所以OE PA ⊥， 又BO OE O =，所以PA ⊥平面EBO ；…………………8分
C 1
B 1
A 1
N
M B
A
C
P
A
B
C
O
E
F
G
(第15题)
P
A
C
O
E F G
Q
（2）连AF 交BE 于Q ，连QO ．
因为E 、F 、O 分别为边PA 、PB 、PC 的中点，
所以2AO OG =，且Q 是△PAB 的重心，…………………10分
于是
2AQ
AO QF OG
==，所以FG //QO . …………………12分 因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以FG ∥平面EBO ． …………………14分 【注】第（2）小题亦可通过取PE 中点H ，利用平面FGH //平面EBO 证得.
24． 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。

（I ）求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； （II ）求证：AC 1//平面CDB 1。

25．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点，求证： （1）1//BD EAC 平面； （2）1EAC AB C ⊥平面平面。

26
．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC =AD ，
A
B C
D E
F (第16
DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．
（1） 求证：AF ∥平面BCE ；（2） 求证：平面BCE ⊥平面CDE ．
27．如图，ABCD 的边长为2的正方形，直线l 与平面ABCD 平行，g 和F 式l 上的两个不同点，且EA=ED ，FB=FC ， E '和F '是平面ABCD 内的两点，E F ''和F 'F '都与平面ABCD 垂直，
（Ⅰ）证明：直线E F ''垂直且平分线段AD ： （Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面
体ABCDEF 的体积。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
28．正方形ABCD 所在平面α外有一点P ，且PA PB PC PD ===，求证：点P 与正方形对角线交点O 的连线PO 垂直于,AB AD 。

29．已知点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，DE ⊥平面ABCD ，BF ⊥平面
ABCD ，且2AB BF DE ==.
(Ⅰ）求证：EO ⊥平面AFC ；(5分) (Ⅱ）在线段EF 上找一点M ， 使三棱锥M ACF -为正三棱锥；(5分)
(Ⅲ）试问在线段DF (不含端点)上是否存在一点R ,
A
B
C
D
E
F
O
使得CR ∥平面ABF ,若存在,请指出点R 的位置； 若不存在,请说明理由.(5分)
30．如图所示，在边长为12的正方形11AA A A ''中，点B 、C 在线段AA '上，且3AB =，
4BC =，作1BB ∥1AA ，分别交11A A '、1AA '于点1B 、P ，作1CC ∥1AA ，分别交11A A '、1AA '于点1C 、Q ，将该正方形沿1BB 、1CC 折叠，使得1A A ''与1AA 重合，构成如图2所示
的三棱柱111ABC A B C -．
(1）在三棱柱111ABC A B C -中，求证：AB ⊥平面11BCC B ；
(2）求平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分几何体的体积之比．
图2
图1
Q
C 1
C
B
1
A'
C
A。